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函数的基本性质知识点总结


函数的基本性质
基础知识:
1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)为奇函数;如 果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函数。如果函数 f(x)不具有 上述性质,则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则 f(x)既是奇函数,又是 偶函数。
注意: ① 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ② 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,则-x 也 一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 。

(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ① 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ② 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ③ 作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数。 (3)简单性质: ①图象的对称性质: 一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称; 一个函 数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴成轴对称; ②设 f ( x ) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的 任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)) ,那么就说 f(x)在区间 D 上 是增函数(减函数) ;
注意: ① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ② 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2)。

(2)如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具 有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 (3)设复合函数 y= f[g(x)],其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定义域的某个区间,B 是映射 g : x →u=g(x) 的象集: ①若 u=g(x) 在 A 上是增(或减)函数,y= f(u)在 B 上也是增(或减)函数,则函数 y= f[g(x)]
1

在 A 上是增函数; ②若 u=g(x)在 A 上是增(或减)函数,而 y= f(u)在 B 上是减(或增)函数,则函数 y= f[g(x)] 在 A 上是减函数。 (4)判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: ① 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ② 作差 f(x1)-f(x2); ③ 变形(通常是因式分解和配方) ;

④ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ;⑤ 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调 性) 。 (5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内: 增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数; 增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数; 减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减函数; 减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数。

④ 若函数 y ? f ( x) 是偶函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ;若函数 y ? f ( x ? a) 是偶函数, 则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) . 3.函数的周期性 如果函数 y=f(x)对于定义域内任意的 x,存在一个不等于 0 的常数 T,使得 f(x+T)=f(x)恒 成立,则称函数 f(x)是周期函数,T 是它的一个周期. 性质: ①如果 T 是函数 f(x)的周期,则 kT(k∈ N+)也是 f(x)的周期. ②若周期函数 f(x)的周期为 T,则 f (?x ) ( ? ? 0 )是周期函数,且周期为

T |? |



③ 若 f ( x) ? ? f (? x ? a) , 则 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 点 ( ,0) 对 称 ; 若

f ( x) ? ? f ( x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 为周期为 2 a 的周期函数.

a 2

例题:
1. y ?

1? x 的递减区间是 1? x

; y ? log 1 (? x ? 3x ? 2) 的单调递增区间是
2 2



2.函数 f ( x ) ? lg(

2 ? 1) 的图象( ) 1? x A.关于 x 轴对称 B. 关于 y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线 y ? x 对称
2

3.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,若当 x ? 0 时, f ( x) ? log3 (1 ? x) ,则 f ( ?2) ? 4.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) , 若 f ( x ) 在 [?2,0] 上递增, 则 ( A. f (1) ? f (5.5) B. f (1) ? f (5.5) C. f (1) ? f (5.5)

。 )

D.以上都不对

5.讨论函数 f ( x) ? x ?

1 的单调性。 x

6.已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数 m
的取值范围。 7.已知函数 f ( x ) 的定义域为 N,且对任意正整数 x ,都有 f ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 。若

f (0) ? 2004,求 f (2004) 。

习题:
题型一:判断函数的奇偶性 1. 以下函数: ( 1 ) y ? 1 ( x ? 0) ; (2) y ? x ?1 ; (3) y ? 2 ; ( 4 ) y ? log2 x ; (5)
4 x

x

y ? log2 ( x ? x ? 1) ,(6) f ( x ) ?
2

1? x2 ;其中奇函数是 x?2 ?2

,偶函数是



非奇非偶函数是

。 )

2.已知函数 f ( x) = x ? 1 ? x ? 1 ,那么 f ( x) 是( A.奇函数而非偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 题型二:奇偶性的应用

B. 偶函数而非奇函数 D.既非奇函数也非偶函数

1.已知偶函数 f ( x) 和奇函数 g ( x) 的定义域都是(-4,4),它们在 ?? 4,0? 上的图像分别如 图(2-3)所示,则关于 x 的不等式 f ( x) ? g ( x) ? 0 的解集是_____________________。
y

y

-4

-2

0

x

-4

-2

0 y=g(x)

x

y=f(x) 图(2-3)

2.已知 f ( x) ? ax7 ? bx5 ? cx3 ? dx ? 5 , 其中 a, b, c, d 为常数, 若 f (?7) ? ?7 , 则 f (7) ? ____

3

3.下列函数既是奇函数,又在区间 ??1,1? 上单调递减的是( A. f ( x) ? sin x B. f ( x) ? ? x ? 1 C. f ( x ) ?

) D. f ( x) ? ln

1 x ? a ? a?x ? 2

2? x 2? x

4.已知函数 y ? f ( x) 在 R 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ,则 x ? 0 时, f ( x) 的 解析式为 。 ) 5.若 f ? x ? 是偶函数,且当 x ? ?0, ?? ? 时, f ? x ? ? x ?1,则 f ? x ?1? ? 0 的解集是( A. x ? 1 ? x ? 0

?

?

B.

? x x ? 0或1 ? x ? 2?

C.

? x 0 ? x ? 2?

D.

? x 1 ? x ? 2?

题型三:判断证明函数的单调性

1.判断并证明 f ( x ) ?
2

2 在 (0,??) 上的单调性 x ?1

2.判断 f ( x) ? ?2 x ? 2 x ? 1在 (??,0) 上的单调性 题型四:函数的单调区间 1.求函数 y ? log0.7 ( x2 ? 3x ? 2) 的单调区间。 2.下列函数中,在 (??,0) 上为增函数的是( A. y ? x 2 ? 4 x ? 8 3.函数 f ( x) ? x ? A. ?0, B. y ? ax ? 3(a ? 0) ) C. y ? ?

2 x ?1

D. y ? log 1 (? x)
2

1 的一个单调递增区间是( x
B. ?? ?,



? ??

0?

C. ?0, )

1?

D. ?1,???

4.下列函数中,在(0,2)上为增函数的是( A.y=-3x+1 B.y=|x+2| C.y= )

4 x

D.y=x -4x+3

2

5.函数 y= 5 ? 4x ? x 2 的递增区间是( A.(-∞,-2) 题型五:单调性的应用 B.[-5,-2]

C.[-2,1]

D.[1,+∞)

1.函数 f(x)=x +2(a-1)x+2 在区间(-∞,4)上是减函数,那么实数 a 的取值范围是( A.[3,+∞ )
2

2

)

B.(-∞,-3]

C.{-3}

D.(-∞,5]

2.已知函数 f(x)=2x -mx+3,当 x∈(-2,+∞)时是增函数,当 x∈(-∞,-2)时是减函数,则 f(1)等于( A.-3 ) B.13 C.7 D.由 m 而决定的常数.

4

3.若函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? 7 在 R 上单调递增,则实数 a, b 一定满足的条件是( A. a ? 3b ? 0
2



B. a ? 3b ? 0
2

C. a ? 3b ? 0
2

D. a ? 3b ? 1
2

4.函数 f ( x) ? 3ax ? 2b ? 2 ? a, x ? [?1,1], 若f ( x) ? 1 恒成立,则 b 的最小值为 5.已知偶函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(2)=0,解不等式 f[log2(x2+5x+4)]≥0。 题型六:周期问题 1.奇函数 f ( x) 以 3 为最小正周期, f (1) ? 3 ,则 f (47) 为( )



A.3 B.6 C.-3 D.-6 2.设 f(x)是定义在 R 上以 6 为周期的函数, f(x)在(0,3)内单调递增, 且 y=f(x)的图象关于 直线 x =3 对称,则下面正确的结论是( ) A.f(1.5)<f(3.5)<f(6.5) B.f(3.5)<f(1.5)<f(6.5) C.f(6.5)<f(3.5)<f(1.5) D.f(3.5)<f(6.5)<f(1.5)
x 3. 已知 f ?x ? 为偶函数 , 且 f ?2 ? x ? ? f ?2 ? x ? , 当 ? 2 ? x ? 0 时 , f ?x? ? 2 , 则 f ? 2006? ?



) B.4 C. ? 4 D.

A.2006

1 4

4.设 f ( x) 是 (??,??) 上的奇函数,f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x , 则 f (47.5) 等于_____ 5.已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(x+m)=-f(x),求证:2m 是 f(x)的一个周期.

6、已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(m+x)=f(m-x),且 f(x)是偶函数, 求证:2m 是 f(x)的一个周期.

7、函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(-1)=3,对任意的 x∈ R,均有 f(x+4)=f(x)+f⑵ , 求 f(2001)的值.

5


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