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2001年全国高中数学联赛试卷及答案


2001 年全国高中数学联合竞赛试题 第一试 (10 月 14 日上午 8:00 9:40) 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)本题共有 6 小题,每题均给出(A)、(B)、 (C)、(D)四个结论,其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题 后的括号内.每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在 括号内),一律得 0 分. 1. 已知 a 为给定的实数, 那么集合 M ? x | x 2 ? 3x ? a 2 ? 2 ? 0, x ? R 的子集的个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D)不确定 2. 命题 1 长方体中,必存在到各顶点距离相等的点; 命题 2 长方体中,必存在到各棱距离相等的点; 命题 3 长方体中,必存在到各面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有 (A) 0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 3 个 3. 在四个函数 y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以 上单调递增的偶函数是 (A) y=sin|x| (B) y=cos|x| (C) 【答】( ) ? ? 【答】( 为周期、 在 (0, 【答】( ) ? 2 ) ) y=|ctgx| (D) y=lg|sinx| 4.如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k 的△ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围是 (A)k= 8 3 (B)0<k≤12 (C) k≥12(D) 0<k≤12 或 k= 8 3 5.若 1 ? x ? x 2 【答】( ) ? ? 1000 的展开式为 a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ? ? a2000 x2000 ,则 【答】( (D) ) a0 ? a3 ? a6 ? a9 ? ? ? a1998 的值为 (A) (B) (C) 6.已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元,而 4 枝玫瑰与 5 枝康乃馨的价格之 和小于 22 元,则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较结果是 【答】( ) (A) 2 枝玫瑰价格高 (B) 3 枝康乃馨价格高 (C) 价格相同 (D) 不确定 二、填空题(满分 54 分,每小题 9 分)本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上. 7.椭圆 ? ? 1 的短轴长等于 2 ? cos ? . 8.若复数 z1,z2 满足| z1|=2,| z2|=3, 3 z1 ? 2 z2 ? 3 ? i ,则 z1·z2= 2 . . 9.正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,则直线 A1C1 与 BD1 的距离是 10. 不等式 1 3 ? 2 ? 的解集为 log 1 x 2 2 . 11.函数 y ? x ? x 2 ? 3x ? 2 的值域为 . 12.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图),要求 同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有 4 种不同的植物可供选择,则有 种栽种方案. 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 2 2 2 13.设 ?an ? 为等差数列, ?bn ? 为等比数列,且 b1 ? a1 ,b2 ? a2 , b3 ? a3 ,(a1 ? a2 ) , 又 lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? n ??? 2 ? 1 .试求{an}的首项与公差. 14.设曲线 C1: x2 2 ? y 2 ? 1 (a 为正常数)与 C2:y =2(x+m) 在 x 轴上方仅有一 2 a 1 时,试求 Δ OAP 的面积的最 2 个公共点 P.(1) 求实数 m 的取值范围(用 a 表示) ; (2) O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0 ? a ? 大值(用 a 表示). 15.用电阻值分别为 a1、a2、a3、a4、a5、a6 (a1>a2>a3>a4>a5>a6) 的电阻组装成一个 如图的组件,在组装中应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论. 2001`年全国高中数学联合竞赛加试试题 (10 月 14 日上午 10:00 考生注意:(1) 本试卷共三大题,全卷满分 150 分. 一.(本题满分 50 分) 如图,△ABC 中,O 为外心,三条高 AD、BE、CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于点 M,FD 和 AC 交于点 N. 求证:(1) OB⊥DF,OC⊥DE; (2) OH⊥MN. 12:00) 二.(本题满分 50 分) n n k xk x j ? 1 ,求 ? x i 的最大值与最小 j i ?1 设 xi ? 0 (i=1,2,…,n)且 值. ? xi ? 2 2 i ?1 1? k ? j ? n ? 三. (本题满分 50 分) 将边长为正整数 m,n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形.每个正方形的边均平 行于矩形的相应边.试求这些正方形边长之和的最小值. 2001 年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 一. 选择题: 6.A 1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 二.填空题: 7. 2 3 3 8. ? 30 72 ? i 13 13 9. 6 6 10. 2 ? 7 ? ? ?0,1? ? ?1, 2 ? ? ? ?4 , ? ? ? 11. ? ? ? 3? ?1 , 2 ? ? ?2 , ? ? ? 12. 732 ? ? 三.解答题: 13.设所求公差为 d,∵a1<a2,∴d>0.由此得 2 a1 (a1 ? 2d ) 2 ? (a1 ? d ) 4 2 化简得: 2a1 ? 4a1d ? d 2 ? 0 解得: d ? (?2 ? 2 )a1 ……………………………………………………… 5 分 而 ? 2 ? 2 ? 0 ,故 a1<0 若 d

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