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【热点重点难点专题透析】2015届高考数学(文科·湖北)二轮专题复习课件:第6专题 概率与统计


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【考情报告】
年份 题型 考点 小 题 大 题 2012 年 第 2 题:频率分布 第 10 题:几何概型 第 11 题:抽样方法 2013 年 2014 年

第 4 题:线性相关 第 5 题:古典概型 第 12 题:平均数、标 第 6 题:回归直线方程 准差的计算 第 11 题:分层抽样 第 15 题:几何概型

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【考向预测】 概率与统计是高中数学的一个重要学习内容,也是高 考考查的必考重点内容之一.本部分考查的内容主要有:抽 样方法,统计图表(样本频率分布表与直方图、茎叶图),统 计数据的数字特征(平均数、方差、中位数、众数),变量间 的关系,随机事件的概率、古典概型、几何概型,以及回归 分析.由于新课标的影响及概率与统计自身的特征,概率与 统计试题的背景与日常生活最贴近,联系也最为紧密,不管 是从内容上,还是从思想方法上,都体现着应用的观念与意 识,考查学生处理数据的能力,考查学生对概率事件的识别 及概率计算,以及分类与整合、化归与转化、或然与必

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然思想的运用,考查学生的阅读与理解能力、分析问题 及解决问题的能力. 从近三年高考来看,该部分在高考试卷中一般是三个 小题,对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方 法.预测 2015 年高考概率与统计部分题型仍然保持平稳,以 低中档题目出现,难度不大.在高考小题考查中,抽样方法、 古典概型、几何概型仍将可能出现,也有可能把频率分布直 方图、回归分析作小题考查.

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【问题引领】 1.(2014 广东卷)为了解 1000 名学生的学习情况,采用系统 抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本,则分段的间隔为 ( ). A.50 B.40 C.25 D.20

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【解析】由系统抽样的规则可知得分段的间隔为
1000 40

=25.

【答案】C 2.某班有男生 36 人,女生 18 人,用分层抽样的方法从该班 全体学生中抽取一个容量为 6 的样本,则抽取的女生人数为 ( ). A.6 B.4 C.3 D.2

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【解析】根据分层抽样的规则可得抽取的女生人数为
6 36+18

×18=2.

【答案】D

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3.(2014 山东卷)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿 者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的 分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17], 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,?,第 五组,如图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第 一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第 三组中有疗效的人数为( ).

A.6 B.8 C.12 D.18

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【解析】由图知,样本总数为 N=
6+

20

0.16+0.24

=50,设第三组

中有疗效的人数为 x,则 50 =0.36,解得 x=12,故选 C. 【答案】C 4.以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力 测试中的成绩(单位:分),已知甲组数据的中位数为 17,乙 组数据的平均数为 17.4,则 x,y 的值分别为( ). A.7,8 B.5,7 C.8,5 D.8,7

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【解析】 根据茎叶图及甲组数据的中位数为 17,知 y=7; 又乙组数据的平均数为 17.4,所以 解得 x=8. 【答案】D
9+16+(10+ )+19+25 5

=17.4,

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5.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的 时间,为此进行了 5 次试验,根据收集到的数据(如下表),由 最小二乘法求得回归直线方程 y =0.68 x +54.6,利用下表中 数据推断 a 的值为( ). 零件数 10 20 30 40 50 x(个) 加工时 间 62 a 75 81 89 y(min) A.68.2 B.68 C.69 D.67
^ ^

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【解析】由表可得零件数 x 的平均数为
? 10+20+30+40+50

x=

5

=30,
? 62+ +75+81+89 307+ 5

加工时间 y 的平均数为y= 归直线方程 y =0.68 x +54.6 得
^ ^

=

5

,代入回

307+ 5

=0.68×30+54.6,解得

a=68.
【答案】B 6.(2014 全国新课标Ⅰ卷)将 2 本不同的数学书和 1 本语文 书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书相邻的概率 为

.

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【解析】根据题意显然这是一个古典概型,其基本事件 有:数 1,数 2,语;数 1,语,数 2;数 2,数 1,语;数 2,语,数 1; 语,数 2,数 1;语,数 1,数 2 共有 6 种,其中 2 本数学书相邻 的有 4 种,则其概率为 P=6=3. 【答案】
2 3 4 2

7.(2014 辽宁卷)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2,BC=1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内 的概率是( ).
π π π π

A. 2

B. 4 C. 6 D. 8

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【解析】将一个质点随机投入长方形 ABCD 中,基本事 件总数有无限多个,且每一个基本事件发生的概率相等,所 以它是一个几何概型.由已知得,以 AB 为直径的半圆的面积 为 π×1 = π.而长方形 ABCD 的面积为 2×1=2,所以质点落
2 2 1
2

1

在以 AB 为直径的半圆内的概率为 P= 【答案】B

1 π 2

2

=4.

π

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8.从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品 的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:
质量指标 [75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125) 值分组 频数 6 26 38 22 8

(1)作出这些数据的频率分布直方图;

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(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的 数据用该组区间的中点值作代表); (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产 品符合 “质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80 ”的规定?

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【解析】(1)频率分布直方图如下:

(2)质量指标值的样本平均数为
?

x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×

0.08=100. 2 2 2 质量指标值的样本方差为 s =(-20) ×0.06+(-10) × 0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100,方 差的估计值为 104.

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(3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于 0.8,故不能认为该企业生产的这种 产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80 ”的规定.

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9.(2014 天津卷)某校夏令营有 3 名男同学 A,B,C 和 3 名女 同学 X,Y,Z,其年级情况如下表: 一年级二年级三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到 的可能性相同). (1)用表中字母列举出所有可能的结果; (2)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同 学和 1 名女同学”,求事件 M 发生的概率.

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【解析】(1)从 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛 的所有可能结果为 {A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B ,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共 15 种. (2)选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名 女同学的所有可能结果为 {A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共 6 种. 因此,事件 M 发生的概率 P(M)=15 =5.
6 2

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【诊断参考】 通过学生做上述题目,教师从知识和能力两方面对学 生出现的问题给出诊断建议: 1.抽样方法是统计中最基础的内容,也是高考中常会 涉及的考点之一.高考题型既有选择题也有填空题,主要考 查随机抽样方法的判断、分层抽样的计算、样本的抽取.解 答此类问题,要熟悉简单随机抽样中随机数表法、分层抽样 与系统抽样的抽取样本的规则,注意三种基本抽样方法的 区别与联系. 2.用样本估计总体一般是应用样本频率直方图、茎叶 图,求解平均数、方差、中位数、众数等问题.解决该类问

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题的关键是正确理解已知数据的含义,掌握图表中各 个量的意义,通过图表对已知数据进行分析. 3.从近几年高考卷来看,随机事件的概率出现在各个 题型之中,常与统计相关知识交汇在一起,其中古典概型的 概率计算是命题的热点,重点考查学生分析问题与数学运 算能力.解题时要注意抓住古典概型的两个基本特征,厘清 事件之间的关系,正确使用互斥、对立事件的概率公式. 4.几何概型是新课标教材中新增的内容,纵观近三年 湖北与其他省份的高考试题来看,是一个热点,多与平面几 何、立体几何、线性规划等知识综合考查.解决此类问题, 要注意选择适当的观察角度,先将基本事件转化为与之对 应区域的长度(或角度、面积、体积),然后再把随机事件 A

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转化为与之对应的长度(或角度、面积、体积),最后利 用几何概型的概率公式计算. 5.回归分析中的基本思想方法是统计中的重要思想方 法之一,在近几年的高考试题中考查呈现增多的趋势,重在 考查同学们的数据处理能力和计算能力.对于变量间的关 系,要注意正相关与负相关的概念,求线性回归直线方程要 抓住线性回归直线必过样本中心点(x,y),会根据最小二乘 法求其方程.
? ?

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【核心知识】 一、统计与统计案例 1.抽样方法 抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样 三种,这三种抽样方法各自适用不同特点的总体,但无论哪 种抽样方法,每一个个体被抽到的概率都是相等的,都等于 样本容量和总体容量的比值.解决此类问题的关键是深刻 理解各种抽样方法的特点和适用范围.如分层抽样适用于 各部分之间具有明显差异的总体.

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2.用样本估计总体 用样本估计总体是研究统计问题的一个基本思想方法 , 用样本的频率分布对总体进行估计. (1)频率分布直方图 利用直方图反映样本的频率分布规律,这样的直方图 称为频率分布直方图.画频率分布直方图的一般步骤: ①计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差;② 确定组距和组数;③将数据分组;④绘制频率分布表;⑤画 频率分布直方图. (2)茎叶图 当数据只有个位和十位时,用中间的数字表示十位数, 两边的数字表示个位数,它的中间部分像植物的茎,两边部

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分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫 作茎叶图.用茎叶图表示数据有两个优点:一是统计图上没 有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中 得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便 记录与表示. (3)样本的数字特征 ①众数:在样本数据中,频率分布最大值所对应的样本 数据(或出现次数最多的那个数据). ②中位数:样本数据中,将数据按大小排列,位于最中 间的数据.如果数据的个数为偶数,就取正中间两个数据的 平均数作为中位数.

③平均数:样本数据的算术平均数,即x= (x1+x2+?+xn).

? 1

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④方差与标准差
方差:s = [(x1-x) +(x2-x) +?+(xn-x)2].
2 2 2

1

?

?

?

标准差:s=

1

[(1 -x) + (2 -x) + ? + ( -x) ].

? 2

? 2

? 2

需要注意的是:①现实中总体所包含的个体数往往较 多,总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的, 所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体 的平均数与标准差、方差. ②平均数反映了数据取值的平均水平,标准差、方差描 述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大, 数据的离散程度越大,越不稳定;标准差、方差越小,数据的 离散程度越小,越稳定.

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3.变量间的关系与回归分析 (1)两个变量的相关性 散点图直观反映了两变量的成对观察值之间存在的某 种关系,利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性 相关.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线 的附近,我们说变量 x 和 y 具有线性相关关系.在散点图中, 点散布在从左下角到右上角的区域.对于两个变量的这种 相关关系,我们将它称为正相关.在散点图中,点散布在从 左上角到右下角的区域,两个变量的这种相关关系称为负 相关.

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(2)两变量相关关系的分析方法与步骤 利用散点图与相关系数是分析两个变量相关关系的常 用方法.对具有相关关系的两个变量进行统计分析时,首先 进行相关性检验,在确认具有线性相关关系后,再求回归直 线方程. (3)最小二乘法求回归直线的方程 设线性回归方程为 y = b x+ a .其中 b 是回归直线的斜 率, a 是截距,则有:
^ ^ ^ ^ ^

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^ ∑ x i y i -nx y ∑ ( -x )( -y ) ^ ^ ? ? =1 =1

? ?



?

?

b=

i=1

2 -nx 2 ∑

n

?

=

=1

∑ ( -x )

? 2

, a = y- b x .
? ?

注意:回归直线一定经过样本的中心点(x,y),即,据此 性质可以解决有关的计算问题. (4)回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用 方法. (1)相关系数

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? ?

①r=

=1 =1

∑ ( -x )( -y )
? 2 =1 ? 2

叫作相关系数,当 r>0 时,表明

∑ ( - x ) ∑ ( -y )

两个变量正相关;当 r<0 时,表明两个变量负相关. ②样本相关系数 r 的性质: 相关系数用来衡量变量 x 与 y 之间的线性相关程度; |r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越高,|r|越接近于 0,相关程度越低. 二、随机事件的概率 1.随机事件的概率与性质 (1)两个随机事件之间的关系:①包含关系;②相等关 系;③和事件;④积事件;⑤互斥事件:事件 A 和事件 B 在任

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何一次试验中不会同时发生;⑥对立事件:事件 A 和事 件 B 在任何一次试验中有且只有一个发生. (2)概率的基本性质:①任何事件 A 的概率都在[0,1]内, 即 0≤P(A)≤1,不可能事件的概率为 0,必然事件的概率为 1;②如果事件 A,B 互斥,则 P(A+B)=P(A)+P(B);③事件 A 与 它的对立事件的概率满足 P(A)+P()=1. 2.古典概型 (1)古典概型的特征:基本事件发生等可能性和基本事 件的个数有限性. (2)古典概型下的概率公式:P(A)= =
中所含的基本事件数 基本事件数

.

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3.几何概型 (1)几何概型的特征:基本事件个数的无限性、每个基 本事件出现的等可能性. (2)几何概型下的概率公式:

P(A)=

构成事件 的区域长度(面积或体积)

事件的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

【考点聚焦】 热点一:对抽样方法的理解与应用 高考对随机抽样的考查常以实际应用为背景命题,考 查分层抽样与系统抽样的理解与计算,考查样本的抽取,多 以选择题、填空题的形式出现,有时也会在解答题中出现, 难度不大.

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(2014 天津卷)某大学为了解在校本科生对参加 某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校 四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查. 已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数 之比为 4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取 名学生.

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【分析】根据该校一年级、二年级、三年级、四年级 的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6,可设该校一年级、 二年级、 三年级、四年级的本科生人数分别为 4x、5x、5x、6x,再根 据分层抽样比计算出应从一年级本科生中抽取的人数. 【解析】根据分层抽样的规则,应从一年级本科生中抽 取的人数为4 +5 +5 +6 ×4x=60(名). 【答案】60 【归纳拓展】1.分层抽样是等比例抽样,在分层抽样中, 如果各层的容量分别是 a1,a2,?,an,抽取的样本容量为 b, 则第 i 层抽取的样本数目是
1 + 2 +?+ 300

×ai.分层抽样中

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常涉及的问题有:求 ai、求 b、求总体数 N、求各层中 抽取的个体数等. 2.在系统抽样中,若总体数为 N,样本容量为 n,且 为整 数.则将总体分为 n 组,然后按照一定的规律每组中取一个, 相邻两个个体的编号相隔 . 3.不论用哪种抽样方法,都是按事先确定的规则,从容 量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本.抽取样本时,每一个 个体被抽取的概率 P= ,这是随机抽样的一个重要特点(随 机抽样的等概率性).


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变式训练 1 将某班的 60 名学生编号为:01,02,?,60, 采用系统抽样方法抽取一个容量为 5 的样本,且随机抽得的 一个号码为 04,则剩下的四个号码依次是

.

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【解析】 由已知条件知系统抽样的间隔为 =12,又随机
5

60

抽得的一个号码为 04,所以剩下的四个号码依次为 4+1× 12,4+2×12,4+3×12,4+3×12,4+4×12,即为 16,28,40,52. 【答案】16,28,40,52 热点二:数字特征与统计图表 统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,它 可以帮我们从数据中提取有用信息,并为制定决策提供依 据.这就决定了数字特征与统计图表在高考题中的地位.

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某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 8 名学 生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如 图所示,其中甲班学生成绩的平均分是 86,乙班学生成绩的 中位数是 83,则 x+y 的值为( ). A.9 B.10 C.11 D.13

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【分析】利用平均数求出 x 的值,中位数求出 y 的值, 解答即可. 【解析】由茎叶图可知甲班学生的总分为 70×2+80× 4+90×2+(8+9+6+5+x+2+6+4)=680+x, 因为甲班学生的平均分是 86,所以 86×8=680+x,解得 x=8. 由茎叶图知乙班的中位数为 80+y,根据题意可得
1 2

(81+80+y)=83,y=5,所以 x+y=13. 【答案】D

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【归纳拓展】1.众数、中位数、平均数都是描述数据 的“集中趋势”的特征数,而标准差与方差都是用来描述一 组数据波动情况的特征数,常用来比较两组数据的波动大 小.方差、标准差越大,数据波动越大;方差、标准差越小, 数据波动越小. 2.茎叶图是统计中重要的图表之一,它将统计中的每 个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分中,用茎叶图表示 数据有两个优点:①统计图上没有原始数据信息的损失,所 有数据信息都可以从茎叶图中得到;②茎叶图中的数据可 以随时记录,随时添加,方便记录和表示.

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变式训练 2 在一次演讲比赛中,6 位评委对一名选手 打分的茎叶图如下所示,若去掉一个最高分和一个最低分, 得到一组数据,在如图所示的程序框图中,x 是这 4 个数据的 平均数,则输出的 v 的值为

.

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【解析】由程序框图知:算法的功能是求数据 78,80,82,84 的方差.

∵x= ∴
1

? 78+80+82+84 4

=81,
9+1+1+9 4

s2=4[(78-81)2+(80-81)2+(82-81)2+(84-81)2]=

=5.

【答案】5 热点三:用样本估计总体 用样本来估计总体是统计思想方法的核心,是高考中 常会考查的内容之一.在抽取的样本具有代表性的前提下, 可以通过样本的数据特征来对总体的数据特征进行估计. 高考中常常考查频率分布直方图、茎叶图的基本知识,同

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时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总 体的特征数,具体问题中要能够根据公式求解数据的均值、 方差、众数和中位数.

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经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每 售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率 分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品,以 x(单位:t,100≤x≤150)表示下一个销 售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度 内销商该农产品的利润. (1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率.

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【分析】(1)根据农产品的利润与销售收入、需求量的 关系分段列出函数式即可;(2)由计算利润 T 不少于 57000 元的频率,再用频率估计概率. 【解析】(1)当 X∈[100,130) 时,T=500X-300(130-X)=800X-39000, 当 X∈[130,150]时,T=500×130=65000. 所以 T= 800-39000,100 ≤ < 130, 65000,130 ≤ ≤ 150. (2)由(1)知利润 T 不少于 57000 元当且仅当 120≤X≤ 150.

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由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,所以下 一个销售季度内的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值 为 0.7. 【归纳拓展】1.用样本的频率分布估计总体的分布 (1)频率分布直方图中横坐标表示组距,纵坐标表示 频率=组矩×
频率 组矩 频率 组矩

,

;

(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1. 2.茎叶图比频率分布直方图更为直观地描述出各个数 据,茎叶图中数据枝干越集中往往方差就越小,枝干越分散 方差越大.

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3.用样本的数字特征估计总体的数字特征 在估计总体时,可以利用平均数和标准差,平均数对数 据有“取齐”的作用,代表了一组数据的数值平均水平.在 频率分布直方图中,平均数是直方图的平衡点.样本方差描 述了一组数据围绕平均数波动的大小. 众数为最高矩形中点的横坐标. 中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直 线与横轴交点的横坐标.

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变式训练 3 (2014 新课标全国Ⅱ卷)某市为了考核甲、 乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位市民.根据这 50 位 市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高), 绘制茎叶图如下: 甲部门 乙部门 3 59 4 4 0448 97 5 122456677789 97665332110 6 011234688 98877766555554443332100 7 00113449 6655200 8 123345 632220 9 011456

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(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位 数; (2)分别估计该市的市民对甲、 乙两部门的评分高于 90 的概率; (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评 价.

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【解析】(1)由所给茎叶图知,将 50 位市民对甲部门的 评分由小到大排序,排在第 25,26 位的是 75,75,故样本的中 位数为 75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计 值是 75. 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在第 25,26 位的是 66,68,故样本中位数为
66+68 2

=67,所以该市的市民对

乙部门评分的中位数的估计值是 67. (2)由所给茎叶图知,50 位市民对甲、乙部门的评分高 于 90 的比率分别为50 =0.1,50 =0.16,故该市的市民对甲、乙 部门的评分高于 90 的概率的估计值分别为 0.1,0.16.
5 8

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(3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高 于对乙部门的评分的中位数,而且由茎叶图可以大致看出 对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差 , 说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部 门的评价较低、评价差异较大.(注:考生利用其他统计量进 行分析,结论合理的同样给分.) 热点四:古典概型 古典概型基本应用是高考的重点内容之一,可在选择 题与填空题中单独考查,也可在解答题中与统计等其他相 关知识综合考查.考查以基本概念、基本运算为主,难度不 大.预测 2015 年高考古典概型仍然是考查的热点,同时应注 意古典概型与统计结合命题.求解古典概型问题的关键

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是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件 数.在求基本事件的个数时,要准确理解基本事件的构成, 这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本 事件总数的求法的一致性. (2014 四川卷)一个盒子里装有三张卡片,分别标 记有数字 1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随 机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数 字依次记为 a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概 率.

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【分析】由于盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同,且随机有放 回地抽取 3 次,因此它符合古典概型的两个基本特征,是一 个古典概型问题.(1)根据“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”,所以把(a,b,c)看成一个有序的坐标,将基本事件 列举出来后,即可求解;(2)根据(1)中的基本事件,“数字 a,b,c 不完全相同” 的对立事件是 “数字 a,b,c 完全相同” , 这样先求其对立事件后,再用公式 P(A)=1-P()可简捷获解. 【解析】(1)由题意知,(a,b,c)所有的可能为: (1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3 ),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),

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(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3 ),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3), (3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共 27 种. 设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 A, 则事件 A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共 3 种, 所以 P(A)=27 =9. 因此,“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为 .
9 1 3 1

(2)设“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”为事 件 B, 则事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共 3 种.

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所以 P(B)=1-P()=1- = .
27 9

3

8

因此,“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概 率为 .
9 8

【归纳拓展】1.当试验的结果不是很多时,我们常用 “画树状图”和“列表”的方法,列举出所有结果,从而确 定事件 A 和基本事件空间的事件个数. 2.从集合角度看,事件 A 的概率是子集 A 的元素个数 (记作 Card(A))与基本事件空间对应的集合Ω的元素个数 (Card(Ω))的比值,即 P(A)=Card ( ).
Card ( )

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3.求解古典概型的问题时,常常要应用到概率的基本 性质,如概率和为 1、统计性定义、互斥事件的概率加法公 式、对立事件的概率公式等. (1)当任意两个事件不能够同时发生,且所求事件包含 多种情况或包含“至少有一个”发生时,常常考虑应用互斥 事件的加法公式.判断两个事件是互斥可以从集合的角度 考虑,即对应的两个集合交集为空集时,两个事件是互斥事 件. (2)对立事件体现了正难则反的数学思想,当从正面分 析的情况很多,而其对立事件的概率易于求解时,可采用先 求解其对立事件的概率,而后由概率的性质可求所求事件 的概率.

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变式训练 4 为了构建和谐社会,建立幸福指标体系, 某地区决定用分层抽样的方法,从公务员、教师、自由职 业者三个群体的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有 关数据见下表(单位:人). (1)求研究小组的总人数; (2)若从研究小组的公务员和教师中随机选 3 人撰写 研究报告,求其中恰好有 1 人来自教师的概率. 相关人员数抽取人数 公务员 32 m 教师 16 n 自由职业者 64 8

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【解析】(1)依题意 8 = = .解得 m=4,n=2, 研究小组的总人数为 4+2+8=14(人). (2)设研究小组中的教师为 a1,a2,公务员为 b1,b2,b3,b4, 从中随机选 3 人,不同的选取结果有: a1a2b1,a1a2b2,a1a2b3,a1a2b4;a1b1b2,a1b1b3,a1b1b4,a1b2b3,a1b 2b4,a1b3b4, a2b1b2,a2b1b3,a2b1b4,a2b2b3,a2b2b4,a2b3b4,b1b2b3,b1b2b4,b1b 3b4,b2b3b4,共 20 种. 其中恰好有 1 人来自教师的结果有: a1b1b2,a1b1b3,a1b1b4,a1b2b3,a1b2b4,a1b3b4,a2b1b2,a2b1b3,a2b 1b4,a2b2b3,a2b2b4,a2b3b4,共 12 种.

64 16 32

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所以恰好有 1 人来自教师的概率为 P=20 =5. 热点五:几何概型 几何概型是一个新增的考点,它与古典概型一样,也是 高考考查的重点内容之一.从近几年高考试题来看,主要以 选择题或填空题呈现,多为单独考查,有时会与线性规划等 知识综合考查,难度较低.利用几何概型求概率时,关键是 试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有 时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.

12 3

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一只蚂蚁在三边长分别为 3,4,5 的三角形内爬行, 则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过 1 的概率为 ( ). A.1- B.16 π π

12

C. D.
6

π

π

12

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【分析】由于蚂蚁是在所给三角形内爬行,且是任意的, 所以它符合几何概型的两个基本特征.解答时,可先计算出 三角形的面积,然后再计算此蚂蚁距离三角形三个顶点的 距离均不超过 1 的区域的面积,利用对立事件进行求解. 【解析】 三角形的面积为2×4×3=6;不满足条件的区域 是以三角形顶点为圆心,半径为 1 的三个扇形.又三角形内 角之和为 180 度,所以三个扇形的面积之和就相当于半个半 径为 1 的圆的面积,所以蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均 超过 1 的概率为 1【答案】B
1 π×12 2

1

6

=1-12 .

π

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【归纳拓展】长度、面积和体积是几何概型中的三种 基本度量,在解题时要准确把握,要把问题向它们作合理转 化,要注意古典概型与几何概型的区别(基本事件的有限性 与无限性),正确选用不同的概型解题. ≤ 0, 变式训练 5 (2014 湖北卷)由不等式组 ≥ 0, 确 --2 ≤ 0 + ≤ 1, 定的平面区域记为Ω1,不等式组 确定的平面区 + ≥ -2 域记为Ω2,在Ω1 中随机取一点,则该点恰好在Ω2 内的概率 为( ). A.8 B.4 C.4 D.8
1 1 3 7

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≤ 0, 【解析】如图所示,不等式组 ≥ 0, 确定的平面区 --2 ≤ 0 + ≤ 1, 域Ω1 为三角形 AOB,而平面区域Ω1 与不等式组 + ≥ -2 确定的平面区域Ω2 的公共部分为四边形 DBOC.

= 0, 由 得 A(0,2); --2 = 0

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+ = -2,

--2 = 0 + = 1, 由 得 C(0,1); = 0 + = 1, 1 3 由 得 D(- , ); 2 2 --2 = 0
1 2 1 1

得 B(-2,0);

易得 S△AOB= ×|BO|·|AO|= ×2×2=2,
2

1

S△ADC=2×|AC|·|xD|=2×1×2=4, S 四边形 BOCD=S△AOB-S△ADC=2-4=4,
1 7

1 1

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由几何概型公式知,该点落在Ω2 内的概率为

P=

四边形 △

= 2 =8.

7 4

7

【答案】D 热点六:变量间的相关关系与回归分析 变量间的相关关系是对具有相关关系的两个变量进行 统计分析的一种常用方法,回归直线方程是基本和重要的 统计模型,在现实生活中具有很强的实际意义.因此,在以 两个变量间的关系为考点命制试题备受高考命题者所青睐 . 课标高考对变量间的相关关系的考查常以图、表的形式为 载体,以现实生活中的例子为依托,重在考查对一些实际问

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(2014 重庆卷)已知变量 x 与 y 正相关,且由观测 数据算得样本平均数x=3,y=3.5,则由该观测的数据算得的 线性回归方程可能是(
^ ^ ? ?

).

A. y =0.4x+2.3 B. y =2x-2.4 C. y =-2x+9.5 D. y =-0.3x+4.4
^ ^

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【分析】由于变量 x 与 y 正相关,所以线性回归直 线的斜率大于 0,又线性回归直线过样本中心点,只需要再 代入线性回归直线方程验证即可. 【解析】由于变量 x 与 y 正相关,所以线性回归直线


y =bx+a 中的斜率 b>0,据此可排除 C、D; 将x=3,y=3.5,代入 A 中,有 0.4x+2.3=0.4×
? ? ? ?

3+2.3=3.5=y,所以 A 可能; 将x=3,y=3.5,代入 B 中,有 2x-2.4=2×3-2.4=3.6≠y, 所以 B 不可能. 综上所述,选 A.
? ? ? ?

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【答案】A 【归纳拓展】一般情况下,求回归直线方程务必要注意 线性回归直线方程过定点(x,y).由于回归方程将部分观测 值所反映的规律性进行了延伸,因此它在情况预测、资料补 充等方面有着广泛的应用.利用回归方程进行预测,把自变 量 x 代入回归方程对因变量进行估计,即可对个体值进行估 计.
? ?

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变式训练 6 某种产品的广告支出费 x 与销售额 y(单 位:百万元)之间有如下对应数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70


根据上表可得回归方程 y =bx+a 中的 b 为 6.5,据此模型 预报广告费用为 10 百万元时销售额为( A.65.5 百万元 B.72.0 百万元 C.82.5 百万元 D.83.0 百万元 ).

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【解析】 根据题意x=


? 2+4+5+6+8 5

=5,y=

? 30+40+60+50+70 5

=50,

所以 50=6.5×5+a,解得 a=17.5,即线性回归直线方程为 y =6.5x+17.5,将 x=10 代入得 y =6.5×10+17.5=82.5. 【答案】C


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限时训练卷(一) 一、选择题 1.(2014 四川卷)在 “世界读书日” 前夕,为了了解某地 5000 名居民某天的阅读时间,从中抽取了 200 名居民的阅读时间 进行统计分析.在这个问题中,5000 名居民的阅读时间的全 体是( ). A.总体 B.个体 C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本

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【解析】从某地 5000 名居民某天的阅读时间,从中抽 取了 200 名居民的阅读时间,样本容量为 200,抽取的 200 名 居民的阅读时间是一个样本,每个居民的阅读时间是一个 个体,5000 名居民的阅读时间是总体,由此可知选 A. 【答案】A 2.将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,?,600,采 用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的 号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区,从 001 到 300 在 第Ⅰ营区,从 301 到 495 在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ 营区,三个营区被抽中的学生人数依次为( ). A.26,16,8 B.24,17,9 C.25,16,9 D.25,17,8

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【解析】因为抽取的间隔是

600 500

=12,且随机抽得的号码
103 4

为 003,所以由 3+(k-1)· 12≤300 得 k≤

,即从 001 到 300
103 4

中应抽取 25 人;同理由 300<3+(k-1)· 12≤495 得

<k≤42,

所以从 301 到 495 中应抽取 42-25=17(人);所以从 496 到 600 中应抽取 50-(25+17)=8(人). 【答案】D

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3.某大学对 1000 名学生的自主招生水平测试成绩进行统计, 得到样本频率分布直方图(如图),则这名学生在该次自主 招生水平测试中成绩不低于 70 分的学生数是( ).

A.300 B.400 C.500 D.600

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【解析】该次自主招生水平测试中成绩不低于 70 分的 学生数为 1000×(0.035×10+0.015×10+0.010×10)=600. 【答案】D

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4.(2014 湖北卷)根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 4. 2. -0 0. -2 -3 y 0 5 .5 5 .0 .0 得到的回归方程为 y =bx+a,则( A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0


).

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【解析】作出散点图如图:

观察图象可知,回归直线 y =bx+a 的斜率 b<0,截距 a>0. 故 a>0,b<0.故选 B. 【答案】B



5.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3,若该样本 的平均值为 1,则样本方差为( ). A.2 B.2.3 C.3 D.3.5

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【解析】 ∵样本的平均值为 1,∴a+0+1+2+3=5,∴a=-1,

∴S2=5×[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2.
【答案】A 6.在五个数字 1,2,3,4,5 中,若随机取出三个数字,则剩下 两个数字的和是奇数的概率是( ). A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6

1

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【解析】由于是在五个数字 1,2,3,4,5 中,随机取出三 个数,因此它符合古典概型的两个基本特征.又在五个数字 1,2,3,4,5 中,随机取出三个数,则余下的两个数的情况 有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4) ,(3,5),(4,5),共 10 种不同的结果,其中两个数的和是奇数 的情况有:(1,2),(1,4),(2,3),(2,5),(3,4),(4,5),共有 6 种结果.故所求的概率为 P=10 =0.6. 【答案】D 7.一项射击实验的标靶为圆形.在子弹命中标靶的前提下, 一次射击能够击中标靶的内接正方形的概率是( ). A.
1 π 6

B. C.0.2π D.
π

3

2

π

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【解析】设正方形的边长为 a,则圆的半径为 2 a,所以 圆的面积为 πa2,正方形的面积为 a2,所以一次射击能够击
2 1 正 2


2

中标靶的内接正方形的概率是 = .
π

【答案】D

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8.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,下图为检 测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间 [20,25)上为一等品 ,在区间[15,20)和[25,30) 上为二等品, 在区间[10,15)和[30,35]上为三等品.用频率估计概率,现 从该批产品中随机抽取 1 件,则其为二等品的概率是 ( ).

A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45

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【解析】产品长度在[25,30)上的频率为 1-(0.02+0.03+0.04+0.06)×5=1-0.75=0.25. 该产品为二等品的频率为区间[15,20)和[25,30)上的 矩形面积之和,即 0.04×5+0.25=0.45,用频率估计概率,则 其为二等品的概率为 0.45. ∴选 D. 【答案】D

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9.假设在 5 秒内的任何时刻,两条不相关的短信机会均等地 进入同一部手机,若这两条短信进入手机的时间之差小于 2 秒,手机就会受到干扰,则手机受到干扰的概率为( ). A.25 B.25 C.25 D.25
4 8 16 24

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【解析】设两条短信分别在时刻 x、y 进入手机,则 0<x<5,0<y<5,“手机受到干扰”就是“|x-y|<2”.在直角 坐标系中,作出点 P(x,y)所在区域(如图).由几何概型知, 手机受到干扰的概率为
52 -32 16 52

=25 .

【答案】C 二、填空题 10.某高中共有 2000 名学生,采用分层抽样的分法,分别在 三个年级的学生中抽取容量为 100 的一个样本,其中在高一、 高二年级中各抽取 30 名学生,则该校高三共有 名 学生.

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【解析】由题意可知此样本中含高三年级学生 100-(30+30)=40 人.设该校高三共有 x 人,则 =
40 100 2000

,解得

x=800.
【答案】800 11.如右图所示,设“茎叶图”中表示数据的众数为 x,中位 数为 y,则 x+y=

.

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【解析】根据茎叶图可得这组数据为 20,21,25,31,31,32,34,42,43,45,47,48,共 12 个数.根据 众数概念知 x=31,根据中位数的概念知 y=
32+34 2

=33,故

x+y=64.
【答案】64 12.已知 x∈{1,2,3,4}时,函数 f(x)=6x-4 的值域为集合 A, x-1 函数 g(x)=2 的值域为集合 B,任取 a∈A∪B,则 a∈A∩B 的 概率是

.

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【解析】由题 设,f(1)=2,f(2)=8,f(3)=14,f(4)=20,A={2,8,14,20}. g(1)=1,g(2)=2,g(3)=4,g(4)=8,B={1,2,4,8}. ∴A∪B={1,2,4,8,14,20},A∩B={2,8}. 从 A∪B 中任取一元素 a,共有 6 个不同的基本事件,由 于是任意取的,每个结果出现的可能性是相等的,记事件 M 为 “a∈A∩B” ,则事件 M 共包含两个基本事件,所以 P(M)=6=3. 【答案】3
1 2 1

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三、解答题 13.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮 命中次数,乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中 以 x 表示.
35 4

(1)如果乙组同学投篮命中次数的平均数为 ,求 x 及乙组 同学投篮命中次数的方差; (2)在(1)的条件下,分别从甲、 乙两组投篮命中次数低于 10 次的同学中,各随机选取一名,求这两名同学的投篮命中次 数之和为 17 的概率.

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? +8+9+10 35 4
2

【解析】(1)依题意得:x=
2

= 4 ,解得 x=8,
35 4
2

方差 s = [2×(8- ) +(9- ) +(10- ) ]= .
4 4 4 16

1

35

2

35

11

(2)记甲组投篮命中次数低于 10 次的同学分别为 A1,A2, 他们的命中次数分别为 9,7. 乙组投篮命中次数低于 10 次的同学分别为 B1,B2,B3,他 们的命中次数分别为 8,8,9. 依题意,不同的选取方法 有:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共 6 种. 设“这两名同学的投篮命中次数之和为 17”为事件 C, 则 C 中恰含有(A1,B1),(A1,B2),共 2 种.

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∴P(C)=6=3.
限时训练卷(二) 一、选择题 1.(2014 湖南卷)对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样 本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方 法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1,p2,p3,则( ). A.p1=p2<p3 B.p2=p3<p1 C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3

2 1

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【解析】不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽 样,它们都是等概率抽样,每个个体被抽中的概率均为 ,所


以 p1=p2=p3,即选 D. 【答案】D 2.某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如 图所示,其中成绩分组区间 是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],则图中 a 的值为( ). A.0.006 B.0.005 C.0.0045 D.0.0025

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【解析】由题意有 10a+10×0.04+10×0.03+10× 0.02+10a=1,解得 a=0.005. 【答案】B

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3.某车间为了规定工时定额,需确定加工零件所花费的时 间,为此进行了 5 次试验,收集数据如下: 加工零件数 x(个)1020304050 加工时间 y(分钟)6469758290 经检验,这组样本数据具有线性相关关系,那么对于加 工零件的个数与加工时间这两个变量,下列判断正确的是 ( ). A.成正相关,其回归直线经过点(30,75) B.成正相关,其回归直线经过点(30,76) C.成负相关,其回归直线经过点(30,76) D.成负相关,其回归直线经过点(30,75)

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【解析】从表格中不难看出,加工零件的时间 y 是随着 加工零件数 x 的增加而增加,所以它们成正相关.又加工零 件数的平均数为x= 为 y=
5 ? 10+20+30+40+50 5

=30,加工时间 y 的平均数
^ ^

? 64+69+75+82+90

=76,所以回归直线 y = b x+a 过点(30,76).

【答案】B

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4.某学生在一门功课的 22 次考试中,所得分数如下茎叶图 所示,则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为 ( ).

A.117 B.118 C.118.5 D.119.5

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【解析】由上图可知,最小值为 56,最大值为 98,故极 差为 42,又从小到大排列,排在第 11,12 位的数为 76,76,所 以中位数为 76,所以极差和中位数之和为 42+76=118,选 B. 【答案】B

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5.统计某学生四次英语模拟考试,其英语作文的减分情况 如下表: 考试次数 x 1 23 4 所减分数 y4.5432.5 显然所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间有较好的线性相关 关系,则其线性回归方程为( ). A.y=0.7x+5.25 B.y=-0.6x+5.25 C.y=-0.7x+6.25 D.y=-0.7x+5.25

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【解析】 由表格知考试次数的平均数为x= 所减分数 y 的平均数为y=
? 4.5+4+3+2.5 4

? 1+2+3+4 4

=2.5,

=3.5,将点(2.5,3.5)

分别代入检验:0.7×2.5+5.25=7≠3.5,-0.6× 2.5+5.25=3.75≠3.5,-0.7×2.5+6.25=4.5≠3.5,-0.7× 2.5+5.25=3.5,只有 D 选项符合,所以选 D. 【答案】D 6.在区间[- , ]上随机取一个数 x,则 cos x 的值在 0 到 之
2 2 2 π π 1

间的概率为(
1 2 1 π

).
2

A.3 B. C.2 D.3

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【解析】 因为是在区间[- , ]上随机取一个数 x,所以
2 2

π π

它符合几何概型的两个特点,又由在区间[- 2 , 2 ]上 cos x 的值在 0 到2之间,得 3 ≤x≤ 2 或- 2 ≤x≤- 3 ,所以
1 π π π π
π π π π

π π

P=

( - )+[(- )-(- )] 1 2 3 3 2
π π -(- ) 2 2

=3,答案为 A.

【答案】A

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7.某班全体学生外出乘车、步行、骑车的人数分布直方图 和扇形分布图如图所示(两图都不完整),则下列结论中错 误的是( ). A.该班总人数为 50 人 B.骑车人数占总人数的 20% C.乘车人数是骑车人数的 2.5 倍 D.步行人数为 30 人

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【解析】由乘车人数为 25 人,百分比为 50%,可计算出 总人数为 50 人,而步行人数占 30%,所以步行人数为 50× 30%=15(人). 【答案】D 8.下图是两组各 7 名同学体重(单位:kg)数据的茎叶图.设 1,2 两组数据的平均数依次为1 和2 ,标准差依次为 s1 和 s2, 那么( ). A.1 >2 ,s1>s2 B.1 >2 ,s1<s2 C.1 <2 ,s1<s2 D.1 <2 ,s1>s2

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9.设平面向量 am=(m,1),bn=(2,n),其中 m,n∈{1,2,3,4}.记 “使得 am⊥(am-bn)成立的(m,n)” 为事件 A,则事件 A 发生的 概率为( ). A. B. C. D.
2 4 8 1 1 1 1 16

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【解析】由 am⊥(am-bn)得 m -2m+1-n=0,即 n=(m-1) .由 于 m,n∈{1,2,3,4},故事件 A 包含的基本事件为(2,1)和 (3,4),共 2 个.又基本事件的总数为 16,故所求的概率为

2

2

P(A)=16 =8.故选 C.
【答案】C 二、填空题 10.某普通高中有 3000 名学生,高一年级 800 名,男生 500 名,女生 300 名;高二年级 1000 名,男生 600 名,女生 400 名; 高三年级 1200 名,男生 800 名,女生 400 名,现按年级比例 用分层抽样的方法抽取 150 名学生,则在高三年级抽取的女 生人数为

2 1

.

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【解析】高三年级应抽取 1200×800+1000 +1200 =60 人, 所以高三女生应抽取 400×
60 1200

150

=20 人.

【答案】20 11.在区间[-5,5]上任取一个数 a,则函数 f(x)=x2-2ax+a+6 有零点的概率为

.

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【解析】 若 f(x)=x -2ax+a+6=(x-a) -a +a+6 没有零点, 则-a2+a+6>0,解得-2<a<3,则函数 y=f(x)有零点的概率

2

2

2

P=1-

3-(-2) 1 5-(-5)

=2.
1

【答案】2 12.下图是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩的茎叶图, 其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩 的概率为

.

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【解析】设被污损的数字为 x,则 0≤x≤9 且 x∈N,甲 的平均数x 甲 =5(88+89+90+91+92)=90,
? ? 1 1 5

x 乙 = (83+83+87+99+90+x)<90,
8 4

解得 x<8,故 x 的可能值有 8 个,即甲的平均成绩超过乙 的平均成绩的概率为 = .
10 5 4

【答案】5

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三、解答题 13.从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数 分布表如下: 分组(重量)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100) 频数(个) 5 10 20 15 (1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率; (2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果 中共抽取 4 个,其中重量在[80,85)的有几个? (3)在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在[80,85) 和[95,100)中各有 1 个的概率.

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【解析】(1)由图表可知苹果重量在[90,95)的频率为
20 2 50 5

=.
(2)依题意可知重量在[80,85)的苹果有 4×
5 5+15

=1(个).

(3)由(2)可知抽出的 4 个苹果在[80,85)中的有 1 个, 记为 a,在[95,100)中的有 3 个,记为 1,2,3.从中取 2 个共 有(a,1),(a,2),(a,3),(1,2),(1,3),(2,3)共 6 种情况. 在[80,85)和[95,100)中各取 1 个有(a,1),(a,2),(a,3) 共 3 种,所以概率为2.
1

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一、选择题 1.某学校有男、女学生各 500 名.为了解男、女学生在学习 兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中 抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( ). A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法

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【解析】因为对男女进行抽样,个体差异比较大,应采 用分层抽样法,故选 D. 【答案】D 2.从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,那么互 斥而不对立的两个事件是( ). A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“都是红球” C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”

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【解析】根据互斥事件概念可知,两个事件不可能同时 发生的事件为互斥事件,可排除 A、C;再根据对立事件可知 两个事件至少有一个发生,且不可能同时发生,所以“至少 有一个黑球”与“都是红球”是对立事件,而由于口袋中共 有两个黑球,“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”是互斥 事件但不对立.选 D. 【答案】D

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3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小 学生中抽取部分学生进行调查 ,事先已了解到该地区小学、 初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生 视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方 法是( ). A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样

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【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的 视力情况有较大差异,故最合理的抽样方法是按学段分层 抽样,故选 C. 【答案】C 4.从编号为 001,002,?,500 的 500 个产品中用系统抽样的 方法抽取一个样本,已知样本中编号最小的两个编号分别 为 007,032,则样本中最大的编号应该为( ). A.480 B.481 C.482 D.483

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【解析】根据题意可知,抽样间隔为 32-7=25,所以由 7+(k-1)×25≤500,解得 k≤
493 25

+1,可得 k≤20,所以样本中

最大的编号为 7+19×25=482. 【答案】C

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5.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有 线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,?,n),用 最小二乘法建立的回归方程为 y =0.85x-85.71,则下列结论 中不正确 的是( ). ... A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(x,y) C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg
? ? ^

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【解析】因为回归方程为: y =0.85x-85.71,在 D 项中, 由 x=170 得到 y =58.79,就认为其体重一定为 58.79 kg 是错 误的,应得到的体重约为 58.79 kg 才是对的,所以选 D. 【答案】D




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6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图② 所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样 的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中 生近视人数分别为( ).

A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10

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【解析】根据图甲知该地区中小学生一共有 10000 人, 由于抽取 2 的学生,所以样本容量是 10000×2 =200.由于 高中生近视率为 50 ,所以高中生近视的人数为 2000×2 × 50 =20. 【答案】A 7.先后两次抛掷一枚骰子,在得到的点数中有 3 的概率为 ( ). A.3 B.4 C.36 D.36
1 1 11 13

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【解析】由于先后两次抛掷一枚骰子的基本事 件:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2, ),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5 ,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3 ),(6,4),(6,5),(6,6),共有 6×6=36 种.而点数中有 3 的基 本事件 有:(1,3),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) ,(4,3),(5,3),(6,3),共 11 种. 故根据古典概型概率公式得所求的概率为 P=36 . 【答案】C
11

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8.若 m∈(0,3),则直线(m+2)x+(3-m)y-3=0 与 x 轴、y 轴围 成的三角形的面积小于 的概率是(
8 9

).

A. B. C. D.
3 2 3

1

1

2

1 6

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【解析】因为 m∈(0,3),所以 m+2>0,3-m>0,令 x=0 得

y=

3

3-

;令 y=0 得 x=
2 3

3

+2

,所以 S= ×
2

1

3

3-

× +2<8,解得-1<m<2,

3

9

结合 m∈(0,3)可得 m∈(0,2),根据几何概型概率公式知所 求概率为 p= . 【答案】C 9.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条 形统计图如图所示,则( ).

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A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

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【解析】 x 甲 = (4+5+6+7+8)=6,x 乙 = (5×3+6+9)=6,甲的
5 5

?

1

?

1

成绩的方差为 (22×2+12×2)=2,乙的成绩的方差为 (12×
5 5

1

1

3+3 ×1)=2.4. 【答案】C 10.设样本数据 x1,x2,?,x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi=xi+a(a 为非零常数,i=1,2,?,10),则 y1,y2,?,y10 的均值 和方差分别为( ). A.1+a,4 B.1+a,4+a C.1,4 D.1,4+a

2

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【解析】由题意得: x1+x2+?+x10=10×1=10,(x1-1)2+(x2-1)2+?+(x10-1)2=10 ×4=40. 所以 y1,y2,?y10 的均值和方差分别为:
? 1 +2 +?+ 10

y=

= =

10 ( 1 +a )+( 2 +a )+?+( 10 +a ) 10 ( 1 + 2 +?+ 10 )+10a 10+10 10 10 ? 2 ? 2 ( 1 -y ) +?+(10 -y )
2

=

=1+a,

=

10 2 2 [( 1 +a )-(1+a )] +[( 2 +a )-(1+a )] +?+[( 10 +a )-(1+a )] 10

s2=

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=

( 1 -1) +( 2 -1) +?+( 10 -1) 10

2

2

2

=10 =4.

40

【答案】A 二、填空题 11.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色 的运动服中选择 1 种,则他们选择相同颜色运动服的概率 为

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【解析】先求出基本事件的个数,再利用古典概型概率 公式求解. 甲、乙两名运动员选择运动服颜色有(红,红),(红, 白),(红,蓝),(白,白),(白,红),(白,蓝),(蓝,蓝),(蓝, 白),(蓝,红),共 9 种. 而同色的有(红,红),(白,白),(蓝,蓝),共 3 种. 所以所求概率 P=9=3. 【答案】3
1 3 1

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12.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相 同,平均数也相同,则图中的 等于


.

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【解析】 根据题意可得甲组数据的中位数为 21,则可得 20+n=21,即 n=1,所以乙组数据的平均数为 22,则可得
20+22+28+10+ 4

=22,解得 m=8,所以 =8.



【答案】8 13.从总体中随机抽出一个容量为 20 的样本,其数据的分组 及各组的频数如下表,试估计总体的中位数 为 .(结果保留到整数) [12, [16, [20, [24, 分组 16) 20) 24) 28) 频数 4 8 5 3

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【解析】 估计总体的中位数为 14×20 +18×20 +22×20 +26

4

8

5

×20 ≈19.
【答案】19 14.在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张,另 1 张无奖.甲、乙 两人各抽取 1 张,两人都中奖的概率是

3

.

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【解析】记“两人都中奖”为事件 A,设中一、二等奖 及不中奖分别记为 1,2,0,那么甲、乙抽奖结果有 (1,2),(1,0),(2,1),(2,0),(0,1),(0,2),共 6 种.其中甲、 乙都中奖有(1,2),(2,1),2 种,所以 P(A)=6=3. 【答案】3 15.袋内装有大小相同的红球、白球和黑球各若干个,从中 摸一球,摸出红球的概率为 0.3,摸出黑球的概率为 0.6,则 摸出白球的概率为
1 2 1

.

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【解析】从中摸出一球是红球、白球、黑球的事件分 别记为 A、B、C,则事件 A、B、C 两两互斥,且事件 A+B+C 是 必然事件,所以事件 C 与事件 A+B 是对立事件,因此, P(C)=1-P(A+B)=1-[P(A)+P(B)] =1-(0.3+0.6)=0.1. 【答案】0.1

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16.小明同学根据下表记录的产量 x(吨)与能耗 y(吨标准煤) 对应的四组数据,用最小二乘法求出了 y 关于 x 的线性回归 方程 y =0.7x+a,据此模型预报产量为 7 万吨时能耗 为


.
产量 x(吨) 3 4 5 6 能耗 y(吨标 2. 4. 3 4 准煤) 5 5

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【解析】由表可知产量的平均数为x= 耗的平均数y=
? 2.5+4+5+4.5 7 4 7 9

? 3+4+5+6 9 4

=2,能

=2,所以有2=0.7×2+a,解得


a=0.35.
所以预报产量为 7 万吨时能耗为 y =0.7×7+0.35=5.25. 【答案】5.25 17.在区间[0,1]上任取两个实数 a,b,则函数 f(x)=2x3+ax-b 在区间[-1,1]上有且仅有一个零点的概率为
1

.

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3

【解析】因为 a∈[0,1],所以 f'(x)=2x2+a≥0,所以函 数 f(x)= x3+ax-b 在区间[-1,1]上是增函数,所以
2 1 1

(-1) = - 2 -a-b < 0, 如图所示, 1 (1) = + a-b > 0,
2

在区间[0,1]上任取两个实数 a,b,所围成的区域 ABCO 的面积为 1,在区域 ABCO 中,使得函数 f(x)=2x3+ax-b 在区
1

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间[-1,1]上有且仅有一个零点的实数 a,b 所围成的区 域为 AOFEB,其面积为 S 正方形 ABCO-S△FCE=1-2×2×2=8,故所求概 率为 ÷1= .
8 8 7 7 7 1 1 1 7

【答案】8 三、解答题 18.根据世行 2013 年新标准,人均 GDP 低于 1035 美元为低 收入国家;人均 GDP 为 1035~4085 美元为中等偏下收入国家; 人均 GDP 为 4085~12616 美元为中等偏上收入国家;人均 GDP 不低于 12616 美元为高收入国家.某城市有 5 个行政区,各 区人口占该城市人口比例及人均 GDP 如下表:

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行政 区人口占城市人 区人均 GDP(单位:美元) 区 口比例 25 30 15 10 20 8000 4000 6000 3000 10000

A B C D E

(1)判断该城市人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标 准; (2)现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个,求抽到的 2 个 行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率.

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【解析】(1)设该城市人口总数为 a,则该城市人均 GDP 为 8000 × 0.25 + 4000 × 0.30 + 6000 × 0.15 + 3000 × 0.10 + 10000 × 0.20 =6400. 因为 6400∈[4085,12616), 所以该城市人均 GDP 达到了中等偏上收入国家标准. (2)“从 5 个行政区中随机抽取 2 个”的所有的基本事 件是: {A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D },{C,E},{D,E},共 10 个.

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设事件 M 为“抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等 偏上收入国家标准”, 则事件 M 包含的基本事件是:{A,C},{A,E},{C,E},共 3 个, 所以所求概率为 P(M)=10 . 19.已知某中学高三文科班学生共有 800 人参加了数学与地 理的水平测试,学校决定利用随机数表法从中抽取 100 人进 行成绩抽样调查,先将 800 人按 001,002,?,800 进行编号; (1)如果从第 8 行第 7 列的数开始向右读,请你依次写出最 先检查的 3 个人的编号.(下面摘取了第 7 行到第 9 行的随 机数)
3

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84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 (2)抽取的 100 人的数学与地理的水平测试成绩如下表: 成绩分为优秀、良好、及格三个等级;横向,纵向分别表示 地理成绩与数学成绩,例如:表中数学成绩为良好的共有 20+18+4=42.

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人数 优秀 地理 良好 及格

数学 优秀 7 9 良好 20 18 4 及格 5 6

a

b

①若在该样本中,数学成绩优秀率是 30 ,求 a,b 的值. ②在地理成绩及格的学生中,已知 a≥10,b≥8,求数学成绩 优秀的人数比及格的人数少的概率.

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【解析】(1)785,667,199. (2)①∵
7+9+ 100

=30 ,∴a=14,

b=100-30-(20+18+4)-(5+6)=17. ②a+b=100-(7+20+5)-(9+18+6)-4=31, 因为 a≥10,b≥8,所以 a,b 的搭配有:
(10,21),(11,20),(12,19),?,(15,16),(16,15),?, (23,8),共有 23-9=14 种, 设 “a≥10,b≥8 时,数学成绩优秀的人数比及格的人数 少”为事件 A, 则事件 A 包括:(10,21),(11,20),(12,19),?,(15,16), 共 15-9=6 个基本事件,

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6 3

因此 P(A)=14 =7, 故数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为 .
7 3

20.十二届全国人大二次会议,李克强总理提出“以雾霾频 发的特大城市和区域为重点,以细颗粒物 PM2.5 和可吸入颗 粒 PM10 为突破口??”治理污染,“要像对贫困宣战一样, 坚决向污染宣战”,其中总理提到的“PM2.5“是指大气中 直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物. 根据现行国家标准 B3095-2012,PM2.5 日均值在 35 微克/立 方米以下空气质量为一级;在 35 微克/立方米~75 微克/立方 米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为 超标.在某市 2013 年全年每天的 PM2.5 监测数

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据中随机地抽取 12 天的数据作为样本,监测值如茎叶图所 示(十位为茎,个位为叶):

(1)求空气质量为超标的数据的平均数与方差; (2)在空气质量为二级的数据中任取 2 个,求这 2 个数据的 和小于 100 的概率; (3)以这 12 天的 PM2.5 日均值来估计 2013 年的空气质量情 况,估计 2013 年(按 366 天算)中大约有多少天的空气质量 达到一级或二级.

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【解析】(1)空气质量为超标的数据有四 个:77,79,84,88. 平均数为x=
1 ? 77+79+84+88 4

=82,

方差为 s2=4× [(77-82)2+(79-82)2+(84-82)2+(88-82)2]=18.5. (2)空气质量为二级的数据有五个:47,50,53,57,68 任取两个有十种可能结 果:{47,50},{47,53},{47,57},{47,68},{50,53},{50,57} ,{50,68},{53,57},{53,68},{57,68}. 两个数据和小于 100 的结果有一种:{47,50}, 记“两个数据和小于 100”为事件 A,则 P(A)=10 .
1

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即从空气质量为二级的数据中任取 2 个,这 2 个数据和 小于 100 的概率为 .
10 1

(3)空气质量为一级或二级的数据共 8 个,所以空气质 量为一级或二级的频率为 = .
12 3 8 2 2

因为 366×3=244,所以,2013 年的 366 天中空气质量达 到一级或二级的天数估计为 244 天.

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21.某中学实施“阳光体育”素质教育,要求学生在校期间 每天上午第二节课下课后迅速到操场参加课间活动.现调 查高三某班 70 名学生从教室到操场路上所需时间(单位: 分钟),并将所得数据绘制成频率分布表(如图),其中,路上 所需时间的范围是(0,10],样本数据分组为 (0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10]. 时间(0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10] 频数 a c d e 频率 0.2 b 0.2 0.1 0.1

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(1)根据图表提供的信息求频数分布表中的 a,b,c,d,e 的 值; (2)根据图表提供的信息估计这 70 名学生平均用时和用时 的中位数; (3)从(0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10]的人群中采用分 层抽样法抽取 10 人进一步了解参加锻炼的情况,求 (0,2),[2,4)中各取 1 人的概率.

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【解析】(1)a=14,b=0.4,c=14,d=7,e=7. (2)平均数=70 (14×1+28×3+14×5+7×7+7×9)=4, 中位数=2+
0 .3 1 7

×2=2. 0 .4

(3)从(0,2),[2,4),[6,8),[8,10]的人群中采用分层 抽样法抽取 10 人,抽取的人数分别为 2 人,4 人,2 人,1 人,1 人.记[0,2),[2,4)的分别记为 A1,A2,B1,B2,B3,B4,从中选取 2 人共有 15 种情况,其中[0,2),[2,4)各 1 人的有 8 种,所以 概率为 P=15 .
8

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22.若人们具有较强的节约意识,到饭店就餐时吃光盘子里 的东西或打包带走,称为“光盘族”,否则称为“非光盘 族”.某班几位同学组成研究性学习小组 ,从某社区[25,55] 岁的人群中随机抽取 n 人进行了一次调查,得到如下统计 表: 组数 分组 频数频率光盘族占本组的比例 第一组[25,30) 50 0.05 30% 第二组[30,35) 100 0.1 30% 第三组[35,40) 150 0.15 40% 第四组[40,45) 200 0.2 50% 第五组[45,50) a b 65% 第六组[50,55] 200 0.2 60%

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(1)求 a、 b 的值并估计本社区[25,55]岁的人群中 “光盘族” 人数所占的比例; (2)从年龄段在[35,45)的“光盘族”中采用分层抽样法抽 取 8 人参加节约粮食宣传活动,并从这 8 人中选取 2 人作为 领队,求选取的 2 名领队分别来自[35,40)与[40,45)两个年 龄段的概率.

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【解析】 (1)第一组的人数为 50,第一组的频率为 0.05, 所以 n=0.05=1000. 第五组的频率 b=1-(0.2+0.2+0.15+0.1+0.05)=0.3,第 五组的人数 a=1000×0.3=300 人, 样本中光盘族人数为 50×30%+100×30%+150× 40%+200×50%+300×65%+200×60%=520, 所以光盘族所占比例为
520 1000 50

=52%.

(2)[35,40)年龄段“光盘族”人数为 150×40%=60 人,[40,45)年龄段“光盘族”人数为 200×50%=100 人,故 两年龄段人数比值为 3∶5.采用分层抽样法从中抽取 8 人, 则[35,40)年龄段有 3 人,[40,45)年龄段有 5 人.

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设[35,40)年龄段的 3 人为 a、b、c.[40,45)年龄段的 5 人为 1、 2、 3、 4、 5,则选取 2 人作为领队的有(a,b)、 (a,c)、 (a,1)、 (a,2)、 (a,3)、 (a,4)、 (a,5)、 (b,c)、 (b,1)、 (b,2)、 (b,3)、 (b,4)、 (b,5)、 (c,1)、 (c,2)、 (c,3)、 (c,4)、 (c,5)、 (1,2)、 (1,3)、 (1,4)、 (1,5)、 (2,3)、 (2,4)、 (2,5)、 (3,4)、 (3,5)、(4,5),共有 28 种. 其中来自[35,40)与[40,45)不同年龄段的有(a,1)、 (a,2)、 (a,3)、 (a,4)、 (a,5)、 (b,1)、 (b,2)、 (b,3)、 (b,4)、 (b,5)、(c,1)、(c,2)、(c,3)、(c,4)、(c,5),共有 15 种. 所以选取的 2 名领队分别来自[35,40)与[40,45)两个 年龄段的概率为28 .
15


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