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高考调研:2014年高考复习专题 数列的通项


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专研一 题究

数的项 列通

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1 例 1 在数列{an}中,a1=3,an+1=an+ ,通 公 求项 n?n+1? 式 an.

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1 1 【解析】 原递推式可化为 an+1=an+ - , n n+1 1 1 1 1 则 a2=a1+ - ,a3=a2+ - , 1 2 2 3 1 1 1 1 a4=a3+ - ,?,an=an-1+ - . 3 4 n-1 n 1 1 逐项相加得:an=a1+1- .故 an=4- . n n 探究 1 利用恒等式 an=a1+(a2-a1)+?+(an-an-1)求通

项公式的方法称为累加法.累加法是求型如 an+1=an+f(n)的递 推数列通项公式的基本方法,其中 f(n)可求前 n 项和.

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思考题 1 设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通 项 an=________.
【解析】 ∵an+1=an+n+1, 2=a1+2, 3=a2+3, ∴a a ?, an=an-1+n,以上 n-1 个式子相加,得 an=a1+2+3+?+n n?n+1? = +1. 2

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例2

2 设数列{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1)an+1-

na2+an+1an=0(n=1 3 2 , n

, 则的项式 ?),它 通 公 是

an=________.

【解析】 原式可化为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0. an+1 n ∵an+1+an>0,∴ = . an n+1 a2 1 a3 2 a4 3 an n-1 则 = , = , = ,?, = ,项 乘 逐相得 a1 2 a2 3 a3 4 n an-1 1 1 ,即 an= . n n
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an = a1

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探究 2

利恒式 用等

a2 a3 an an=a1· · ? (a ≠0)求通项公式 a1 a2 an-1 n

的方法称为累乘法. 累乘法是求型如 an+1=g(n)an 的递推数列通 项公式的基本方法,其中 g(n)可求前 n 项积.

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思考题 2

an+1 若 a1=1, =n+1,则通项 an=________. an

an+1 【解析】 累乘法,迭代法 ∵ =n+1, an ∴an=nan-1=n(n-1)an-2=? =n(n-1)?2a1=n!.

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例3

4 13 已知数列{an},其中 a1= ,a2= ,且当 n≥3 时, 3 9

1 an-an-1= (an-1-an-2),求通项公式 an. 3

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【解析】 设 bn-1=an-an-1,原递推式可化为 1 bn-1=3bn-2,{bn}是一个等比数列. 13 4 1 1 b1=a2-a1= - = ,公比为 ,故 9 3 9 3 1 n-2 1 1 n-2 1 n bn-1=b1·3) =9(3) =(3) . ( 1n 3 11n 故 an-an-1=(3) .由逐差法可得:an=2-2(3) . 探究 3 通过换元构造等差或等比数列从而求得通项.

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思考题 3 1 已知数列{an}中 中 ( ) , 其 an-1 an= ,求通项公式 an. 2an-1+1 an-1 【解析】 将 an= 两取数得 边倒, 2an-1+1

a1=1, 且 当

n≥2 时,

1 1 - =2, an an-1 1 2, 以 所 = an

1 1 这说明{ }是一个等差数列,首项是 =1, 差 公为 an a1 1 1+(n-1)×2=2n-1,即 an= . 2n-1

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2 2 若数列{an}中, 1=3 且 an+1=an(n 是正整数),它 通 ( ) a 则的

项公式是 an=________.

【解析】 由题意知 an>0,将 an+1=a2两边取对数,得 n lgan+1 lgan+1=2 an,即 g l =2,所以数列{ an}是以 lga1=l g l g 3 lgan 为首项,公比为 2 的等比数列. lgan=lga1·n-1=2n-13 ,即 an=32n-1. 2 g l·

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例 4 1 已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求 an. ( )

【解析】 设递推公式 an+1=2an+3 可以转化为 an+1-t= 2(an-t)即 an+1=2an-t?t=-3.故递推公式为 an+1+3=2(an+ bn+1 an+1+3 3), bn=an+3, b1=a1+3=4, 令 则 且 = =2.所以{bn} bn an+3 是以 b1=4 为首项,2 为公比的等比数列,则 bn =4×2n-1=2n+
1

,所以 an=2n+1-3.

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n-1

2 在数列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4 ( ) 3 · an.

,通 公 求项式

【解析】 原递推式可化为 an+1+λ·n=2(an+λ·n 1). 3 3 比较系数得 λ=-4,①式即是: an+1-4 n=2(an-4 3 · 3 · 则数列{an-4 3 ·
n-1 n-1




).
1 -1

}是一个等比数列,其首项 a1-4 3 ·

=-5,公比是 2. ∴an-4 3 · 即 an=4 3 ·
n-1

=-5 2 · -5 2 ·

n-1

.

n-1

n-1

.
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3 在数列{an}中,a1=-1,a2=2,当 n∈N,an+2=5an+1 ( ) -6an,求通项公式 an.

【解析】 an+2=5an+1-6an 可化为 an+2+λan+1=(5+λ)(an+1+λan). 比较系数得 λ=-3 或 λ=-2,不妨取 λ=-2.代入可得 an+2-2an+1=3(an+1-2an). 则{an+1 -2an}是 个 比 列 首 一等数,项 =4,公比为 3. ∴an+1-2an=4 3 · an=4 3 ·
n-1 n-1

a2 -2a1=2-2(-1)

.利用上题结果有:

-5 2 ·

n -1

.
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探究 4 当然,本例各小题也可以采取“猜想归纳法\”, 先写出前几项, 找 规 , 测 项 式 最 用 学 纳 再出律猜通公,后数归 法证明.

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思考题 4 1 已知 a1=1,an=n(an+1-an),则数列{an} ( ) 的通项公式 an= A.2n-1 C.n2 n+1 n-1 B.( ) n D.n ( )

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【解析】 由已知得(n+1)an=nan+1. an+1 n+1 an n an = , = , =n. an n an-1 n-1 a1
【答案】 D

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2 20 ( (1 ) 0· 2 3 ·
2n-1

新课标全国)设 列 {an}满足 a1 =2,an + 1 -an = 数

,求数列{an}的通项公式.

【解析】

累法由知, 加:已得当

n≥1 时,an +1=[(an+1
2n -1

-an)+(an -an -1)+?+(a2 -a1)]+a1 =3 2 ( +2=22(n
+1)-1

+22n -3 +?+2)


.而 a1=2,所以数列{an}的通项公式为 an=22n 1.

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1 3?1+an+1? 2?1+an? 3 已知数列{an}满足 a1 =2, ( ) = ,anan + 1-an 1-an+1
1<0,求数列{an}的通项公式.

3?1+an+1? 2?1+an? 2 【解析】 ∵ = ,∴3a2+1=2an+1. n 1-an 1-an+1 即 令 又 2 2 1 2 2 2 2 an+1= an+ .∴an+1-1= (an-1). 3 3 3 2 2 bn=an-1-1,∴bn+1= bn. 3 3 2 b1=a1-1=- , 4

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∴数 {bn}是 项 - 列 首为 3 2 n-1 ∴bn= · ) . - ( 4 3 ∴a2-1= - n 3 2 n-1 ·) . ( 4 3 3 ,比 公为 4

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2 的比列 等数. 3

3 2 n-1 2 ∴an=1- · ) . ( 4 3 1 又 a1=2>0,an·n+1<0, a ∴an=(-1)
n-1

3 2 n-1 1-4·3? . ?
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例 5 1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an+(-1)n, ( ) n≥1.求数列{an}的通项公式.

【解析】 由 a1=S1=2a1-1?a1=1. 当 n≥2 时,有 an=Sn-Sn-1=2(an-an-1)+2×(-1)n. ∴an=2an-1+2×(-1)n 1, an-1=2an-2+2×(-1)n 2,?,a2=2a1-2.
- -

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∴an=2n-1a1+2n-1×(-1)+2n-2×(-1)2+?+2×(-1)n-1 =2n 1+(-1)n[(-2)n 1+(-2)n 2+?+(-2 ] ) 2 -?-2?n 1] [ n-1 n1 =2 -(-1) 3 2 n-2 =3[2 +(-1)n-1]. 2 n-2 经验证 a1=1 也满足上式,所以 an=3[2 +(-1)n-1].
- - - -

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an+2 2 若 an>0, 2 = 2Sn,则通项 an=________. ( )

【析 解】

公法 式

an+2 ?an+2?2 由 = 2Sn, Sn= 得 . 2 8

?an+2?2 ?an-1+2?2 n≥2 时 an=Sn-Sn-1= , - . 8 8 ∴8an=(an+an-1+4 an-an-1). ( ) ∴(an+an-1)(an-an-1-4)=0. ∵an>0,∴an+an-1> 0 .

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∴an-an-1-4=0,即 an-an-1=4. ∴数列{an}为等差数列,且公差 d=4. ?a1+2?2 又 a1=S1= 8 ,∴a1=2. ∴an=2+4(n-1)=4n-2.

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探究 5 已知 Sn 与 an 的关系求通项: 1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求 an 时 要 意 用 ( ) ,注运 和 Sn 的关系,即
?S ,n=1, ? 1 an=? ?Sn-Sn-1,n≥2. ?

an

2 对于形如 Sn=f(an)求 an 常有两种处理方法:①由 Sn= ( ) f(an),得 Sn-1=f(an-1)两式做差,得 an=f(an)-f(an-1)(n≥2). ②将 an 换成 Sn-Sn-1,即 Sn=f(Sn-Sn-1), 求 先出 出 an.
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Sn, 求 再

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思考题 5 22 (1 0·

广东)设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 列 数

{Sn}的前 n 项和为 Tn,满足 Tn=2Sn-n2,n∈N*. 1 求 a1 的值; ( ) 2 求数列{an}的通项公式. ( )
【解析】 1 由题意有 S1=T1=2S1-1. ( ) 故 a1=2a1-1.于是 a1=1.

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2 由 Tn=2Sn-n2, ( ) 得 Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,n≥2. 从 Sn=Tn-Tn-1=2an-(2n-1),n≥2. 而 由 a1=S1=1,对 切 整 于 故一正数 n 都 Sn=2an-(2n-1), 有 ① 因 Sn-1=2an-1-(2n-3),n≥2. 此 ②

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①-②,得 an=2(an-an-1)-2,n≥2. 于是 an=2an-1+2. 故 an+2=2(an-1+2),n≥2. ∵a1+2=3, ∴{an+2}是以 3 为首项,2 为公比的等比数列. ∴an=3 2 ·
n-1

-2.

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课时作业(三十七)

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