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高中数学 第二章 推理与证明 2.1.2 演绎推理学业分层测评 苏教版


【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学 第二章 推理与证明 2.1.2

演绎推理学业分层测评 苏教版选修 2-2

(建议用时:45 分钟)

学业达标]

一、填空题

1.“所有金属都能导电,铜是金属,所以铜能导电”这种推理方法属于________.

【答案】 演绎推理 2.“若∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°”若将其恢复成完

整的三段论后,大前提是________________.

【导学号:01580037】

【答案】 两直线平行,同旁内角互补

3.已知函数 f(x)=a-2x+1 1,若 f(x)为奇函数,则 a=______________.

【解析】 ∵f(x)是 R 上的奇函数,∴f(0)=0,即 f(0)=a-20+1 1=0,∴a=12.

【答案】

1 2

4.刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试,考试结束后刘老师向

四名学生了解考试情况.四名学生回答如下:

甲说:“我们四人都没考好.”

乙说:“我们四人中有人考得好.”

丙说:“乙和丁至少有一人没考好.”

丁说:“我没考好.”

结果,四名学生中有两人说对了,则这四名学生中的________两人说对了.

【解析】 甲与乙的关系是对立事件,二人说话矛盾,必有一对一错,如果选丁正确,

则丙也是对的,所以丁错误,可得丙正确,此时乙正确,故答案为乙,丙.

【答案】 乙,丙 5.若不等式 ax2+2ax+2<0 的解集为空集,则实数 a 的取值范围为________.

【解析】 ①a=0 时,有 2<0,显然此不等式解集为?.②a≠0 时需有???a>0, ??Δ ≤0,

?

??a>0, ???4a2-8a≤0,

?

??a>0, ???0≤a≤2,

所以 0<a≤2.

综上可知实数 a 的取值范围是 0,2].

【答案】 0,2] 6.(2016·聊城高二检测)已知 f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且对任意 m,n∈ N*都有:

①f(m,n+1)=f(m,n)+2,②f(m+1,1)=2f(m,1).

给出以下三个结论:

(1)f(1,5)=9.(2)f(5,1)=16.(3)f(5,6)=26

其中正确结论为________.

【解析】 由条件可知,

因为 f(m,n+1)=f(m,n)+2,

且 f(1,1)=1,

所以 f(1,5)=f(1,4)+2=f(1,3)+4=f(1,2)+6

=f(1,1)+8=9.

又因为 f(m+1,1)=2f(m,1), 所以 f(5,1)=2f(4,1)=22f(3,1) =23f(2,1)=24f(1,1)=16, 所以 f(5,6)=f(5,1)+10=24f(1,1)+10=26.

故(1)(2)(3)均正确.

【答案】 (1)(2)(3)

7.(2016·“江南十校”联考)已知两定点 M(-1,0),N(1,0),若直线上存在点 P,使

|PM|+|PN|=4,则该直线为“A 型直线”,给出下列直线,其中是“A 型直线”的是

________(填序号).

①y=x+1;②y=2;③y=-x+3;④y=-2x+3.

【解析】

由题意知点

P

的轨迹是以

M,N

x2 y2 为焦点的椭圆,其方程是 4 + 3 =1.①直线与

坐标轴的交点(0,1),(-1,0)都在椭圆内,易知直线与椭圆相交,交点即为 P,故为“A 型

直线”;同理④也为“A 型直线”;②直线显然与椭圆没有交点(2> 3),所以不是“A 型直

线”;③把

y=-x+3

x2 y2 代入 4 + 3 =1

并整理得

7x2-24x+24=0.Δ

=(-24)2-4×7×24<0,

所以 y=-x+3 不是“A 型直线”.

【答案】 ①④

8.“如图 2?1?14,在△ABC 中,AC>BC,CD 是 AB 边上的高,求证:∠ACD>∠BCD”.

图 2?1?14

证明:在△ABC 中,

因为 CD⊥AB,AC>BC,①

所以 AD>BD,②

于是∠ACD>∠BCD.③

则在上面证明的过程中错误的是________(填序号).

【解析】 由 AD>BD,得到∠ACD>∠BCD 的推理的大前提应是“在同一三角形中,大边

对大角”,小前提是“AD>BD”,而 AD 与 BD 不在同一三角形中,故③错误.

【答案】 ③

二、解答题 9.用三段论证明通项公式为 an=cqn(c,q 为常数,且 cq≠0)的数列{an}是等比数列. 【证明】 设 an+1,an 是数列中任意相邻两项,则从第二项起,后项与前项的比是同一 个常数的数列叫等比数列(大前提), 因为aan+n 1=ccqqn+n 1=q(常数)(小前提), 所以{an}是等比数列.(结论) 10.已知 a>0 且函数 f(x)=2ax+2ax是 R 上的偶函数,求 a 的值.

【解】

由于

f(x)是偶函数,所以

f(-x)=f(x)对

x∈R

2-x a 2x a 恒成立,即 a +2-x= a +2x,

所以a·1 2x+a·2x=2ax+2ax,整理得???a-1a???(2x-2-x)=0,必有 a-1a=0.又因为 a>0,所以 a

=1.

能力提升]

1.在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y),若不等式(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 都成立,

则 a 的取值范围是________.

【解析】 由定义,得(x-a)(1-x-a)<1, ∴x2-x+a-a2+1>0 对 x∈R 恒成立, 故 Δ =1-4(a-a2+1)<0,

∴-12<a<32.

【答案】 ???-12,32???

2.若 f(a+b)=f(a)f(b)(a,b∈N*),且 f(1)=2,则ff

+ff

+…+ff

=________.

【导学号:01580038】

【解析】 ∵f(a+b)=f(a)f(b),a,b∈N*



b=1,则f

f

a+ a

=f(1)=2.

f

f

f

∴f

=f

=…=f

=2,

∴原式=2+2+…+ 2 =2 016. 1 008个2
【答案】 2 016

3.在平面直角坐标系中,若点 P(x,y)的坐标 x,y 均为整数,则称点 P 为格点.若一

个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为 S,其内部

的格点数记为 N,边界上的格点数记为 L.例如图 2?1?15 中△ABC 是格点三角形,对应的 S

=1,N=0,L=4.

图 2?1?15

(1) 图 中 格 点 四 边 形 DEFG 对 应 的 S , N , L 分 别 是

_______________________________________________;

(2)已知格点多边形的面积可表示为 S=aN+bL+c,其中 a,b,c 为常数.若某格点多

边形对应的 N=71,L=18,则 S=________(用数值作答).

【解析】 (1)由图可知四边形 DEFG 是直角梯形,高为 2,下底为 2 2,上底为 2,

所以梯形面积 S=

2+2 2 2

2=3.由图知 N=1,L=6.

(2)取相邻四个小正方形组成一个正方形,其面积 S=4,N=1,L=8,结合△ABC,四

边形 DEFG 可列方程组:

?? 4b+c=1, ?a+6b+c=3 ??a+8b+c=4,

解得???ba==121,, ??c=-1,

S=1×71+12×18-1=79.

【答案】 (1)3,1,6 (2)79 4.在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*. (1)证明:数列{an-n}是等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (3)证明:不等式 Sn+1≤4Sn,对任意 n∈N*皆成立.

【解】 (1)证明:因为 an+1=4an-3n+1, 所以 an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N*.

又 a1-1=1,所以数列{an-n}是首项为 1,且公比为 4 的等比数列.

(2)由(1)可知 an-n=4n-1,于是数列{an}的通项公式为 an=4n-1+n.

所以数列{an}的前 n 项和 Sn=4n-3 1+n

n+ 2

.

(3)证明:对任意的 n∈N*,

Sn+1-4Sn=4n+31-1+ n+

n+ 2



4???4n-3 1+n

n+ 2

???=-12(3n2+n-4)≤0.

所以不等式 Sn+1≤4Sn,对任意 n∈N*皆成立.


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