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2013年新疆乌鲁木齐地区高三年级第二次诊断性测验数学试卷答案(新疆二模)


2013 年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案及评分标准

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2013 年乌鲁木齐地区高三年级第二次诊断性测验

理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
题 号 选 项 1 B 2 D 3 B 4 A 5 A 6 B 7 D 8 B 9 D 10 C 11 D 12 C

1. 选 B 【 解析 】

2x ?1 2 ? i ? 2 ? i ?? x ? i ? ? 2 x ? 1? ? ? x ? 2 ? i ? 0 ,且 为纯虚数,故 2 ? ? 2 x ?1 x ? i ? x ? i ?? x ? i ? x ?1

x?2 1 ? 0 ,解得 x ? . 2 x ?1 2
2. 选 D 【 解 析 】 f ? x ? ? sin ? x ? cos ? ? x ?

? ?

??

?? ? ? ? 3 sin ? ? x ? ? , 其 最 小 正 周 期 为 6? 6? ?

T?

2?

?

,而图象的相邻对称轴的距离

T ? ? ,所以有 ? ,故 ? ? 4 . ? 4 2

3.选 B【解析】 Sn 为等差数列的前 n 项和,则 S3 , S6 ? S3 , S9 ? S6 , S12 ? S9 为等差数列,又

S6 ? 3 , ∴ S6 ? 3S3 , ∴ S6 ? S3 ? 2S3 , ∴ S9 ? S6 ? 3S3 , S12 ? S9 ? 4S3 , 于 是 S3

S12 ? 10S3 , S9 ? 6S3 ,故

S12 5 ? . S9 3

4.选 A【解析】这个四面体的四个顶点可以看成是棱长为 1 的正方体的其中四个顶点,问题 转化为求此正方体的外接球,其直径为正方体的对角线,长度为 3 ,所以此球的表面积

? 3? 为 S ? 4? ? ? 2 ? ? ? 3? . ? ?
5.选 A【解析】用 A 表示“这 3 段能构成三角形”, x, y 分别表示其中两段的长度,则第 3 段 的长度为 1 ? x ? y ,则试验的全部结果为 ? ?

2

?? x, y ? ? ? x ? 1, ? ? y ? 1, ? ? x ? y ? 1?
1 , 2

要使 3 段能构成三角形,当且仅当任意两段之和大于第 3 段,即

x ? y ?1? x ? y ? x ? y ? y ? ?1 ? x ? y ? ? x ? x ?

1 , 2

x ? ?1 ? x ? y ? ? y ? y ?

1 . 2

故,所求结果构成集合 A= ?? x, y ? x ? y ?

? ?

1 1 1? , x ? , y ? ? ,画出两个集合的区域,从 2 2 2?
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而得出 P ? A? ?

SA



?

1 . 4

6.选 B【解析】 P 到抛物线的准线距离即为 P 到抛物线的焦点 F ?1,0 ? 的距离,于是,问题 转化为求 PQ ? PF 最小, 由三角形“两边之和大于第三边”可得, 需要 F , P, Q 三点共线, 也就是求 FQ 的最小值,连接圆心 ? 0, 4? 和 F ?1,0 ? ,与圆的交点 Q 即为所求,此时

FQ ? 17 ? 1.
7.选 D 【解析】f ? ? x ? ?

1 1 2 ? cos x , o s x?? , k ? ? ?k? ? Z ? , 令 f ? ? x? ? 0 , 则c 得x ? 2 2 2 3 2 4? * 由 xn 是 f ? x ? 的第 n 个正的极小值点知, xn ? 2n? ? ? ? n ? N ? ,∴ x1 ? . 3 3

a 8.选 B【解析】 S ? a ? ? ea ?1 ,设 g ? a ? ? S ? a ? ?1 ? a ? ? a ? e ? 1 ?1 ? a ? ? a

?

?

? ea ? aea ? 1 ,∵ 0 ? a ? 1 , g? ? a ? ? ?aea ? 0 ,∴ g ? a ? 在 ? 0,1? 上单调递减,
∴ g ? a ? ? g ? 0? ? 0 ,即 S ? a ??1 ? a ? ? a ? 0 ,又 0 ? a ? 1 ,故 S ? a ? ?

a . 1? a

9.选 D【解析】连接 AC ,与 BD 交于 O ,则平面 ACC1 A1 ? 平面 BC1D = C1O . 又 M ? AC ? 平面 ACC1 A1 , M ? 平面 BC1D ,∴ M ? C1O 故 C1 , M , O 三点共线.而 1

OC ∥ AC ?OMC ∽ ?C1MA1 ,∴ 1 1 ,∴
线,∴ M 为 ?BC1D 的重心.

OM OC 1 ? ? ,又∵ C1O 是 ?BC1D 的中 MC1 A1C1 2

10.选 C【解析】依题意可知, f ? x ? 2? ? f ? ?x ? ? ? f ? x ? ,故 f ? x ? 4? ? ? f ? x ? 2?

? f ? x ? ,∴ f ? x ? 是以 4 为周期的周期函数.又∵ f ? 0? ? 0 ,∴方程 3 f ? x ? ?1 ? f ? 0?
1 1 . 数形结合可知 f ? x ? ? ? 在 ? 0,1? , ?1,2? 内各有一个实根, 且这两 3 3 1 根之和为 2 , ∴由周期性可知 f ? x ? ? ? 在 ? 2012, 2013? , ? 2013, 2014 ? 内各有一个实 3
可化为 f ? x ? ? ? 根,且这两根之和为 4 026 .
2 2 11.选 D【解析】∵ ax ? bx ? 2c ? 0 , a ? 0 , c ? 0 ∴ ? ? b ? 4ac > 0 , x1 ? x2 ? ?

b , a

2c b2 4c c 2 ? a 2 4c 2 2 2 x1 x2 ? ? ∴ x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2 ? ? ? ? e 2 ? 4e ? 1 2 a a a a a 2 2 2 2 ? ? e ? 2 ? ? 5. 而 e ? 1 ,∴ x1 ? x2 ? 4 ,故点 P ? x1, x2 ? 可能在圆 x ? y 2 ? 5 上.
12.选 C【解析】令 u= f x ?

? ,则方程 f 2 ? x? +bf ? x? +c = 0 转化为 g ?u ? = u2 +bu+c = 0
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∵ x?

1 ? 2 ,原方程有 5 个不同的根,所以方程 g ?u ? = u2 +bu+c = 0 应有一个大于 x

? b ? ? 2 ? 0, ? 2 的正根与一个零根,所以 ? g ? 2 ? ? 0, 即 b ? ?2 且 c ? 0 . ?c ? 0. ? ?
二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.填 10 .【解析】此二项式的通项为 Tr ?1 ? C x
r 5 15?5 r 6

3 ,当 r ? 3 时,常数项的值为 C5 ? 10 .

7 ? 1? ? 2? ? n ?1? .【解析】设 ?i, ai ? ,由此框图得 ?1, 0 ? ? ? 2, ? ? ? 3, ? ? ? ? ? n, ?, 8 n ? ? 2? ? 3? ? 7 a8 ? . 8 2 ? x? ? k2 ? k1 ? 2 ? y ? k1 x ? 1 ? k ?k ? , 2 1 ? ,它在椭圆 15.填 ?2 .【解析】由 ? 得? ,即交点为 ? ? y ? k 2 x ? 1 ? y ? k2 ? k1 ? k2 ? k1 k2 ? k1 ? ? k2 ? k1 ?
14.填

? 2 ? ? k2 ? k1 ? 2 x ? y ? 1 上,于是有 2 ? ? ? ?? ? ? 1 ,化简后得 k1k2 ? ?2 . k ? k k ? k ? 2 1? ? 2 1? 16.填 5 .【解析】设 D, E 分别是 AB, AC 的中点,则 OD ? AB , OE ? AC ,又 ???? ? 1 ??? ? ???? ???? ? ???? 1 ??? ? ???? ???? 1 ??? ? ???? 1 ???? ???? AM ? AB ? AC ,∴ AM ? AO ? AB ? AC ? AO ? AB ? AO ? AC ? AO 2 2 2 2 ???? ???? ??? ? ???? ???? ???? ??? ? ???? 2 2 ? AD ? AO ? AE ? AO ? AD AO cos ?DAO ? AE AO cos ?EAO ? AD ? AE
2 2

2

2

?

?

?

?

? 22 ? 12 ? 5 .

三、解答题(共 6 小题,共 70 分)

17.(Ⅰ)由

a b?c sin A sin B ? sin C ? ? 及正弦定理,得 ,即 cos A cos B ? cos C cos A cos B ? cos C

sin A cos B ? sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C ,故 sin ? A ?B ? ?sin ? C ?A
∵ A, B, C ? ? 0,

?

? ? ? ? ? ?? ? ,∴ ? 2 ? A ? B ? 2 , ? 2 ? C ? A ? 2 ,∴ A ? B ? C ? A . ? 2?
?
3

∵ A? B ?C ?? , ∴A? 由 S?ABC

b ? c ?b c2 A c o s , 又a ?
2 2 2

2 2 及a ? 2, 得 b ? c ? bc ? 4

?b 2 ? c 2 ? bc ? 4 1 ? bc sin A ? 3 ,得 bc ? 4 ,解 ? 得b ? c ? 2. 2 ?bc ? 4

…6 分

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(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 A ?

?

3 ? ? ? ? ? ≤ B ? ,∴ ≤B? ? . 2 4 4 3 12 ? ? ? 3 ?1 ? ? ,1? . ∴ sin B ? cos B ? 2 sin ? B ? ? ? ? 4? ? 2 ? ?

,故 B ? C ?

2? ? ,角 B 是 ?ABC 的最大内角,故 0 ? C ≤ , 3 3

…12 分

18.不妨设此正方体的棱长为 2 ,如图建立空间直角坐标系,

???? ? ??? ? ??? ? ???? ? A1F ? ? ?1,1, ?2? , DB ? ? 2, 2,0 ? , DE ? ? 0, 2,1? , DA1 ? ? 2,0, 2 ? ???? ? ??? ? (Ⅰ) ∵ A 1 F ? DB ; 1F ? DB ? 0 ,∴ A ???? ? ??? ? ∵A 1 F ? DE 1F ? DE ? 0 ,∴ A
又 DB, DE ? 平面 EDB , DB ? DE ? D , 故 A1F ? 平面 EDB ; (Ⅱ) 设平面 A 1DE 的法向量为 n ? ? a, b, c ? ,由 n ? DA 1 ? 0 且 n ? DE ? 0 ,得 …6 分

则 D ? 0,0,0? , A 1 ? 2,0,2? , B ? 2,2,0? , F ?1,1,0? , E ? 0,2,1?

???? ?

??? ?

?2a ? 2c ? 0 ,令 c ? ?2 ,则 a ? 2, b ? 1 ,故 n ? ? 2,1, ?2? . ? ?2b ? c ? 0 ???? ? 由(Ⅰ)知 A1F ? 平面 EDB ,即平面 EDB 的一个法向量为 A1F ? ? ?1,1, ?2 ? ,
???? ? n ? A1 F 6 设二面角 A1 ? DE ? B 的平面角为 ? ,则 cos ? ? . ???? ? ? 6 n A1 F
19.(Ⅰ)由题意知空气质量为 1 级的有 5 天, 2 级的有 15 天, 3 级的有 10 天. 记事件 A 为“从 30 天中任选 2 天,这 2 天空气质量等级一样”, 则 P ? A? ?
2 2 C52 ? C15 ? C10 32 ? ; 2 C30 87

…12 分

…6 分

(Ⅱ) ? 可能取值为 0,1, 2 .

P ?? ? 0 ? ?

2 2 1 1 1 1 C52 ? C15 ? C10 C5 C15 ? C10 C15 32 15 , , ? P ? ? 1 ? ? ? ? 2 2 87 29 C30 C30

1 1 C5 C10 10 . P ?? ? 2 ? ? ? 2 87 C30

?
P

0

1

2

32 87

15 29

10 87
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E? ? 0 ?

32 15 10 65 ? 1? ? 2? ? . 87 29 87 87

…12 分

20.(Ⅰ) 由题意知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的焦点为 ? c,0? , ? ?c,0? , c ? 0 , a 2 b2
c 1 ? ,解得 a 2
…4 分

直线 l : x ? my ? 1 ? 0 过焦点 F ,可知 F 为左焦点且 c ? 1 ,又

a 2 ? 4 , b2 ? 3 ,于是所求椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1; 4 3

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,直线 MN 的方程为 x ? ?my ? 1 ,则 M1 (2, y1 ) , N1 (2, y2 )

?6 m ? ? x ? ?my ? 1, y1 ? y2 ? , ? ? ? 2 3m 2 ? 4 2 2 2 由?x 消去 x ,得 ? 3m ? 4 ? y ? 6my ? 9 ? 0 ,故 ? y ? 1. ? y y ? ?9 . ? ? 3 ?4 ? 1 2 3m 2 ? 4 ?
因为 S1S3 ?

1 1 1 ? 2 ? x1 ? y1 ? ? 2 ? x2 ? y2 ? (3 ? my1 )(3 ? my2 ) y1 y2 , 2 2 4 1 2 81 ? ? m ? y1 y2 ? ? 3m ? y1 ? y2 ? ? 9 ? y1 y2 ? . 2 ? ? 2 4 3 m ? 4 ? ?
2

1 ?1 9 ? 81(m2 ? 1) 2 ?1 ? ? ? . S ? ? 3 ? y ? y ? y ? y ? 4 y y ? ? 1 2? 1 2 ? 1 2? ? 2? ? 4(3m2 ? 4)2 ? 4 ? 16 ? 2 ? 64 ?
81(m2 ? 1) 81 ?1 ? 1 由 S1 , S 2 , S3 成等比数列,得 ? S2 ? ? S1S3 ,即 ? 2 2 2 4 4(3m ? 4) (3m ? 4)2 ?4 ?
解得 m ? ? 3 . 21.(Ⅰ) 当 a ? …12 分
2

2

1 x2 1 x2 ?1? x ? 时, f ( x ) ? ln( x ? 1) ? x ? ,则 f ?( x ) ? , 2 2 x ?1 x ?1

当 x ≥ 0 时, f ?( x) ≥ 0 ,∴函数 y ? f ( x ) 在 x ≥ 0 时为增函数. 故当 x ≥ 0 时, f ( x ) ≥ f (0) ? 0 ,∴对 ? x ≥ 0 时, f ( x ) ≥ 0 成立; …4 分

(Ⅱ) 设点 P( x0 , y0 ) , 曲线 y ? f ( x ) 在点 P 处的切线方程为 y ? ( x ? x0 ) f ?( x0 ) ? f ( x0 ) , 令 g ( x) ? f ( x) ? ( x ? x0 ) f ?( x0 ) ? f ( x0 ) . 曲线 y ? f ( x ) 在点 P 处的切线与曲线只有这一个公共点 P 等价于函数 g ( x ) 有唯一 零点.
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因为 g ( x0 ) ? 0 ,且 g ?( x ) ? f ?( x ) ? f ?( x0 ) ? ( x ? x0 ) ?2a ?

? ?

? 1 . ( x ? 1)( x0 ? 1) ? ?

① 当 a ≤ 0 时,若 x ≥ x0 ? ?1 ,有 g ?( x ) ≤ 0 ,∴ g ( x ) ≤ g ( x0 ) ? 0 ; 若 ?1 ? x ? x0 ,有 g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) ? g ( x0 ) ? 0 . 故曲线 y ? g ( x) 只有唯一的一个零点 x ? x0 ,由 P 的任意性知 a ≤ 0 不合题意. ② 当 a ? 0 时,令 h( x) ? ( x ? x0 ) ? 2a ?

? ?

? 1 ? ,则 h( x0 ) ? 0 . ( x ? 1)( x0 ? 1) ?

h?( x) ? ?

1 1 ? 2a ,令 h?( x) ? ? ? 2a ? 0 ( x ? ?1) , 2 ( x ? 1) ( x ? 1)2 2a 2a ? 1 ,记 x? ? ?1. 2a 2a

得 x?

? ? 则当 x ? ?1, x 时, h ?( x) ? 0 ,∴函数 h( x) 在 ?1, x 上为减函数; ? ? 当 x ? x , ?? 时, h ?( x) ? 0 ,∴函数 h( x) 在 x , ?? 上为增函数. ? (ⅰ)若 x0 ? x? ,由 x ? ?1, x 时, g ?( x) ? h( x) ? h( x? ) ? h( x0 ) ? 0 ;

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

x ? ? x ? , ?? ? 时, g ?( x) ? h( x) ? h( x? ) ? h( x0 ) ? 0 .
知 g ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数,故函数 y ? g ( x) 有唯一的一个零点 x .
? (ⅱ)若 x0 ? x? ,由 x ? x0 , x 时, g ?( x) ? h( x) ? h( x0 ) ? 0 ,则函数 g ( x) 在

?

?

?

? x , x ? 上为减函数,∴ g( x) ? g( x ) ? 0 ,
? 0

0

? 即任取 x1 ? x0 , x ,有 g ( x1 ) ? 0 ;又当 x ? ? x1 , ??? 时,易知

?

?

g ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? ax2 ? ( x ? x0 ) f ?( x0 ) ? f ( x0 ) ? ln( x ? 1) ? ax2 ? (1 ? f ?( x0 )) x ? x0 f ?( x0 ) ? f ( x0 ) ? ln( x1 ? 1) ? ax2 ? (1 ? f ?( x0 )) x ? x0 f ?( x0 ) ? f ( x0 ) ? ax2 ? bx ? c .
其中 b ? ?(1 ? f ?( x0 )) , c ? x0 f ?( x0 ) ? f ( x0 ) ? ln ? x1 ?1? ,
2 由 a ? 0 ,则必存在 x2 ? x1 ,使得 ax2 ? bx2 ? c ? 0 ,有 g ( x2 ) ? 0 .

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故 g ( x) 在 ? x1 , x2 ? 内存在零点,即 g ( x) 在 (?1, ??) 上至少存在两个零点.
? (ⅲ)若 x0 ? x? ,由 x ? x , ?? 时, h( x) 为增函数,且 h( x0 ) ? 0 , ? 则 x ? x , x0 时有 g ?( x) ? h( x) ? h( x0 ) ? 0 . ? ∴函数 g ? x ? 在 x , x0 上为减函数,∴ g ( x) ? g ( x0 ) ? 0 . ? ? 任取 x1 ? x , x0 ,有 g ( x1 ) ? 0 ,又易知存在 x2 ? ?1, x ,使得 g ( x2 ) ? 0 .

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

∴函数 g ( x) 在 ? x2 , x1 ? 内存在零点,即函数 g ( x) 在 (?1, ??) 上至少存在两个零点. 综上所述,当 a ? 0 时,曲线 y ? f ? x ? 上存在唯一点 P ?

? 2a ? 1, ? 2a ?

? 2a ? ? f? , ? 2a ? 1 ? ?? ? ? ??

使得曲线 y ? f ? x ? 在点 P 处的切线与曲线 y ? f ? x ? 有且仅有一个公共点 P . …12 分 22.选修 4-1:几何证明选讲

OA OB D ?O E ? r , A ?O B . ? , 又O 得O OD OE 连结 OC ,∵ AC ? CB .∴ OC ? AB . 又点 C 在⊙ O 上,∴ AB 是⊙ O 的切线; …5 分 (Ⅱ)延长 DO 交⊙ O 于 F ,连结 FC . 由(Ⅰ) AB 是⊙ O 的切线,∴弦切角 ?ACD ? ?F , 于是△ ACD ∽△ AFC . 1 CD 1 ? . 而 ?DCF ? 90? ,又∵ tan ?ACD ? tan ?F ? ,∴ 2 FC 2 AD CD 1 ? ? ,而 AD ? 2 ,得 AC ? 4 . ∴ AC FC 2
(Ⅰ) ∵ AB ∥ DE , ∴

又 AC 2 ? AD ? AF ? 2 ? (2 ? 2r ) ? 42 ,于是 r ? 3 .
23.选修 4-4:坐标系与参数方程
? 2 2 (Ⅰ)由 ? ? 4sin ? ,得 ? ? 4? sin ? ,即 x ? y ? 4 y = 0 ,

…10 分

∴圆 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 y = 0 .
(Ⅱ)过点 P ?1,1? 的参数方程为 ?
2

…5 分

? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数), ? y ? 1 ? t sin ?
2

将其代入圆 C 的方程 x ? y ? 4 y = 0 ,得 t ? 2 ? cos? ? sin ? ? t ? ? = 0 .
2

∴ t1t2 ? 2 ,故 PA ? PB ? 2 .
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…10 分
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24.选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)由 f ? x ? ? x ? 2 得,

?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 ? ? ? ,或 ? ?1 ? x < 1 ,或 ? x ? 1 ,解之, ? x ? ?1 ?1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ?1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ?x ?1? x ?1 ? x ? 2 ? ? ?
得 0 ? x ? 2 ,∴ f ? x ? ? x ? 2 的解集为 x 0 ? x ? 2 ; (Ⅱ)∵

?

?

…5 分

a ? 1 ? 2a ? 1 a

? 1?

1 1 1 1 ? 2 ? ≤ 1? ? 2 ? ? 3 a a a a

(当且仅当 ?1 ?

? ?

1 ?? 1? ?? 2 ? ? ≤ 0 ,上式取等号) a ?? a?
a ? 1 ? 2a ? 1 a
对任意实数 a ? 0 恒成立,可得,

由不等式 f ? x ? ≥

3 3 x ? 1 ? x ? 1 ≥ 3 ,解此不等式,得 x ≤ ? ,或 x ≥ . 2 2

…10 分

以上各题的其它解法,限于篇幅从略.请相应评分.

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