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2013-2014年焦作市高三第一次模拟考试数学(理)试卷


2013-2014 年焦作市高三第一次模拟考试 数学(理)试卷
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项 中只有一个选项是符合题目要求的。 1 1 1.若集合 M ? {x | log 2 ( x ? 1) ? 1} , N ? {x | ? ( ) x ? 1} ,则 M ? N ? ( ) 4 2
A. {x |1 ? x ? 2} B. {x |1 ? x ? 3} C. {x | 0 ? x ? 3} ) D. ? ) D. D. {x | 0 ? x ? 2}

1 ? 2i ,则复数 z 的虚部是( 1? i 3 3 1 A. i B. C. ? i 2 2 2 ? 1 2 2 3.若 ? ? (0, ) ,且 sin ? ? cos ? ? ,则 ? 的值等于( 2 4 ? ? ? A. B. C. 3 6 4
2.已知 i 为虚数单位,复数 z ?
3 2

1 2

5? 12

4.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? 3x ? 1(b ? R) ,在 x ? x1 和 x ? x2 ( x1 ? x2 )处都取得极值, 则下列说法正确的是( )

A. f ( x) 在 x ? x1 处取得极小值,在 x ? x2 处取得极小值 B. f ( x) 在 x ? x1 处取得极小值,在 x ? x2 处取得极大值 C. f ( x) 在 x ? x1 处取得极大值,在 x ? x2 处取得极小值 D. f ( x) 在 x ? x1 处取得极大值,在 x ? x2 处取得极大值 5.某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一株树苗的长势情况,从两块地各随机抽 取了 10 株树苗测量它们的高度,用茎叶图表示上述两组数据,对两块地抽取树苗的高度的 平均数 x甲 、 x乙 和中位数 y甲 、 y乙 进行比较,下面结论正确的是( A. x甲 > x乙 , y甲 > y乙 C. x甲 < x乙 , y甲 > y乙 B. x甲 < x乙 , y甲 < y乙 D. x甲 > x乙 , y甲 < y乙 )

1

6.某几何体的主视图与左视图如图所示,若该几何体的体积为 是( )

1 ,则该几何体的俯视图可以 3

7.如果执行右边的框图,输入 N 趋向于 ?? ,则输出的数 S 趋向 A. 1 B.

1 2

C. ??

D.

5 6

3x 8.已知函数 f ( x) ? x ( x?R) ,则 f (?4) ? f (?3) ? f (?2) ? f (?1) ? f (0) ? f (1) ? 3 ?1
f (2) ? f (3) ? f (4) 等于(
A.0 B.1 C. )

9.函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
6

9 2

D.

2 9

)(? ? 0) 的图像与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为


? 的等差 2

数列,要得到函数 g ( x) ? A cos(? x) 的图像,只需要将 f ( x) 的图像( A.向左平移

? ? 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 6 3 2? 2? C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 3 3 10.已知三棱锥 P ? ABC 的四个顶点同在半径为 3 的球面上,且 PA , PB , PC 两两互相 垂直,则三棱锥 P ? ABC 的侧面积的最大值为( )
A. 18 B. 24 C. 18 2 D. 24 2

x2 y 2 ? ? 1( x ? 0, y ? 0) 上的点, F1 , F2 是椭圆的焦点,O 是坐标原点, 16 8 ????? ???? ???? ? 若 M 是 ?F1 PF2 角平分线上一点,且 F1M ?MP ? 0 则 OM 的取值范围是( )
11.已知 P 是椭圆 A. ? 0, 3 ? B. (0, 2 2) C. ? 2 2, 3

?

?

D. ? 0, 4 ?

12.已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 对任意 x ? R , 都有 f (2 ? x) ? ? f ( x) , 且当 x ? ? 0,1?
2 x ) ?3 ?0 在 ? ?1,5? 上有 5 个根 xi (i ? 1, 2,3, 4,5) 则 时, f ( x) ? ? x ? 1,若 a ? f (x ) ? ?bf (
2

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 的值为(
A.7 B.8

) C.9 D.10

2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.在

?

x ? 1 的展开式中任取一项,设所取项含的次数为非负整数的项的概率为 P ,则
.

?

9

?x
0

1

p

dx 等于

14.已知椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,则以点 P(2, ?1) 为中点的弦所在直线方程 16 4

.

?x ? y ?1 ? 0 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 15.已知 M ( x, y ) 是区域 ? x ? ay ? 2 ? 0 内的任意一点,且 A(1, ?2) ,若 z ?OM OA ? 最大值 ?x ? 4 y ?1 ? 0 ?
为 5,则 a = .

16.在 ?ABC 中, D 为边 BC 上一点, BD ? 的面积为 3 ? 3 ,则 ?BAC ? .

1 DC , ?ADB ? 120? , AD ? 2 ,若 ?ABC 2

三、解答题:共 70 分,解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤.
* 17.(本小题满分 12 分)已知数列 ?log 2 (an ? 1)? (n ? N ) 为等差数列,且 a1 ? 3 , a3 ? 9 .

(1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)证明

1 1 1 ? ?? ? ?1 a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an

18.(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三人进行象棋比赛,每两人比赛一场,共赛三场,每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分,没有平平局,在每一场比赛中,甲胜乙的概率为 率为

2 1 ,甲胜丙的概率为 ,乙胜丙的概 3 4

1 . 5

(1)求甲获第一名且丙获第二名的概率; (2)设在该次比赛中,甲得分为 X ,求 X 的分布列和数学期望.

3

19.(本小题满分 12 分)将如图甲的直角梯形 ABEF (图中数字表示对应线段的长度)沿 直线 CD 折成直二面角,连结部分线段后围成一个空间几何体,如图乙所示. (1)求证: BE ∥平面 ADF (2)求二面角 D ? BF ? E 的大小.

20. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 曲 线 C1 上 的 点 均 在 圆 C2 :

( x ? 5)2 ? y 2 ? 9 外,且 C1 上任意一点 M , M 到直线 x ? ?2 的距离等于该点与圆 C2 上点
的距离的最小值. (1)求曲线 C1 的方程; (2)设 P( x0 , y0 ) ( y0 ? ?3) 为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交 于点 A , B 和 C , D .证明:当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A , B , C , D 的纵坐标 之积为定值.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e ? 3x ? ax .
x 2

(1)若 f ( x) 在 x ? 0 处取得极值,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ?

7 2 1 x ? ax ? 1 在 x ? 时恒成立,试求实数 a 的取值范围. 2 2

4

请考生在 22, 23, 24 三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分, 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 PA 为圆 O 的切线,切点为 A ,直径 BC ? OP ,连接 AB 交 PO 于点 D . (1)证明: PA ? PD ; (2)求证: PA?AC ? AD? OC .

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知曲线 L : ? sin ? ? 2cos ? ,过点 A(5, ? ) ( ? 为锐角且 tan ? ?
2

平行于 ? ?

?
4

3 )作 4

( ? ? R )的直线 l ,且 l 与曲线 L 分别交于 B , C 两点.

(1)心极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,取极坐标相同单位长度,建立平面直角坐标系, 写出曲线 L 和直线 l 的普通方程. (2)求 BC 的长.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a ( a ? R ) (1)当 a ? 4 ,求不等式 f ( x) ? 5 的解集; (2)若 f ( x) ? 4 对 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围.

5


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