伤城文章网 > 数学 > 高三数学第八章立体几何复习学案(学生版)

高三数学第八章立体几何复习学案(学生版)


第八章立体几何

第八章 第1节
【高考考情解读】

立体几何 空间几何体

高考对本节知识的考查主要有以下两个考向: 1.三视图几乎是每年的必考内容, 一般以选择题、 填空题的形式出现, 一是考查相关的识图, 由直观图判断三视图或由三视图想象直观图,二是以三视图为载体,考查面积、体积的计算 等,均属低中档题. 2.对于空间几何体的表面积与体积,由原来的简单公式套用渐渐变为三视图及柱、锥与球的 接切问题相结合, 特别是已知空间几何体的三视图求表面积、 体积是近两年高考考查的热点, 题型一般为选择题或填空题. 【知识梳理】 1. 四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关 系.

2. 空间几何体的三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的 物体轮廓线的正投影形成的平面图形. (2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视 图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样. (3)画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高.看不到的线画虚线. 3. 直观图的斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是: (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为 45° (或 135° ), z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段, 直观图中仍分别平行于坐标轴. 平行于 x 轴和 z 轴的 线段在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 4. 空间几何体的两组常用公式
63

(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式: ①S 柱侧=ch(c 为底面周长,h 为高); 1 ②S 锥侧= ch′(c 为底面周长,h′为斜高); 2 1 ③S 台侧= (c+c′)h′(c′,c 分别为上下底面的周长,h′为斜高); 2 ④S 球表=4πR2(R 为球的半径). (2)柱体、锥体和球的体积公式: ①V 柱体=Sh(S 为底面面积,h 为高); 1 ②V 锥体= Sh(S 为底面面积,h 为高); 3 1 ③V 台= (S+ SS′+S′)h(不要求记忆); 3 4 ④V 球= πR3. 3 【典型题型解析】 考点一 三视图与直观图的转化 例1 (1)已知三棱柱的正视图与俯视图如图,那么该三棱锥的侧视图可能为 ( )

(2)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(

)

(1)(2013· 课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标 分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面 为投影面,则得到的正视图可以为 ( )

64

第八章立体几何

(2)(2012· 湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是 ( )

考点二 几何体的表面积及体积 例2 (1)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是 ( )

A.8

B.6 2

C.10

D.8 2

(2)(2013· 浙江 ) 若某几何体的三视图 ( 单位: cm) 如图所示,则此几何体的体积等于 ________ cm3.

65

(1)(2013· 江西)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (

)

A.200+9π C.140+9π

B.200+18π D.140+18π

(2)(2012· 辽宁)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.

考点三 多面体与球 例 3 如图所示,平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= 2,BD⊥CD,将其沿对 角线 BD 折成四面体 ABCD,使平面 ABD⊥平面 BCD,若四面体 ABCD 的顶点在同一 个球面上,则该球的体积为 ( )

A.

3 π 2

B.3π

C.

2 π 3

D.2π

(1)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个 全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是 ( )

66

第八章立体几何

A.12π

B.24π

C.32π

D.48π

(2)一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面 上,则这个球的表面积是________.

1.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分, 表面积就是全面积, 是一个空间几何体中“暴 露”在外的所有面的面积, 在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”. 多面体的表 面积就是其所有面的面积之和, 旋转体的表面积除了球之外, 都是其侧面积和底面面积 之和. 2. 在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外),因此体积计算中的关 键一环就是求出这个量. 在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中 的轴截面. 3. 一些不规则的几何体,求其体积多采用分割或补形的方法,从而转化为规则的几何体, 而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体,若存在对称性,则可考虑用对称的方 法进行补形)、 还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体, 不过几何量不易求解,可根据其所具有的特征,联系其他常见几何体,作为这个规则几 何体的一部分来求解). 4. 长方体的外接球 (1)长、宽、高分别为 a、b、c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径,即 a2+b2+c2 =2R; (2)棱长为 a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径,即 3a=2R. 【当堂达标】 1. 从一个正方体中截去部分几何体,得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体,

67

其三视图如图,则该几何体体积的值为

(

)

A.5 2 C.9

B.6 2 D.10

2. 在三棱锥 A-BCD 中,侧棱 AB,AC,AD 两两垂直,△ABC,△ACD,△ABD 的面积 分别为 A. 6π 2 3 6 , , ,则三棱锥 A-BCD 的外接球体积为 2 2 2 B.2 6π C.3 6π D.4 6π ( )

【点击高考】 一、选择题 1. 一梯形的直观图是一个如右图所示的等腰梯形,且该梯形的面积为 2,则原梯形的面积为 A.2 C.2 2 B. 2 D.4 ( )

2. (2013· 湖南)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个 面积为 2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于 A. 3 2 B.1 C. 2+1 2 D. 2 ( ) ( )

3. (2013· 课标全国Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A.16+8π C.16+16π
68

B.8+8π D.8+16π

第八章立体几何

4. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为

(

)

A.

3?8+π? 6

B.

3?8+2π? 6

C.

3?6+π? 6

D.

3?9+2π? 6 ( )

5. (2012· 北京)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是

A.28+6 5 C.56+12 5

B.30+6 5 D.60+12 5

6. 某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,侧视图是半径为 1 的半圆,该几何体的体积为 ( )

A.

3 π 3

B.

3 π 6

C.

3 π 2

D. 3π

7. 已知正方形 ABCD 的边长为 2 2,将△ABC 沿对角线 AC 折起,使 平面 ABC⊥平面 ACD,得到如右图所示的三棱锥 B-ACD.若 O 为 AC 边的中点,M,N 分别为线段 DC,BO 上的动点(不包括端点), 且 BN=CM.设 BN=x,则三棱锥 N-AMC 的体积 y=f(x)的函数图象大致是 ( )

69

二、填空题 8. (2012· 山东)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分 别为线段 AA1,B1C 上的点,则三棱锥 D1-EDF 的体积为______. 9. (2013· 江苏)如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB, AC,AA1 的中点,设三棱锥 F-ADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1 -ABC 的体积为 V2,则 V1∶V2=________.

10.已知矩形 ABCD 的面积为 8,当矩形周长最小时,沿对角线 AC 把△ACD 折起,则三棱 锥 D-ABC 的外接球的表面积等于________. 11.已知某几何体的三视图如图所示,其中,正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成的, 俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为________.

三、解答题 12.(2013· 福建)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AB∥DC, AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60° . → (1)当正视方向与向量AD的方向相同时,画出四棱锥 P—ABCD 的正视 图(要求标出尺寸,并写出演算过程); (2)若 M 为 PA 的中点,求证:DM∥平面 PBC; (3)求三棱锥 D—PBC 的体积.

13.如图,在 Rt△ABC 中,AB=BC=4,点 E 在线段 AB 上.过点 E 作 EF∥BC 交 AC 于点 F,将△AEF 沿 EF 折起到△PEF 的位置(点 A 与 P 重合),使得∠PEB=30° . (1)求证:EF⊥PB;

70

第八章立体几何

(2)试问:当点 E 在何处时,四棱锥 P—EFCB 的侧面 PEB 的面积最大?并求此时四棱 锥 P—EFCB 的体积.

第2节
【高考考情解读】

空间中的平行与垂直

高考对本节知识的考查主要是以下两种形式: 1.以选择、填空题的形式考查,主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质 定理对命题真假进行判断,属基础题. 2.以解答题的形式考查,主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题,且多以 棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查,难度中等. 【知识梳理】 1.线面平行与垂直的判定定理、性质定理 a∥b? 线面平行的判定定理 b?α??a∥α a?α ? ?

?

a∥α 线面平行的性质定理

? ? a?β ??a∥b α∩β=b? ?

a?α,b?α? 线面垂直的判定定理 a∩b=O

? ??l⊥α l⊥a,l⊥b ? ?
? a⊥α? ??a∥b ? b⊥α?

线面垂直的性质定理

2. 面面平行与垂直的判定定理、性质定理

71

面面垂直的判定定理

a⊥α? ? ??α⊥β ? a?β? α⊥β

面面垂直的性质定理

α∩β=c a?α a⊥c a?β

? ? ??a⊥β ? ?

面面平行的判定定理

? ? ??α∥β a∩b=O ? a∥α,b∥α?
b ?β α∥β

面面平行的性质定理

? ? α∩γ=a??a∥b β∩γ=b? ?

提醒 使用有关平行、垂直的判定定理时,要注意其具备的条件,缺一不可. 3. 平行关系及垂直关系的转化示意图

【典型题型解析】 考点一 空间线面位置关系的判断 例1 (1)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 (2)设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是 A.若 l⊥m,m?α,则 l⊥α B.若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α ( ) ( )

72

第八章立体几何

C.若 l∥α,m?α,则 l∥m D.若 l∥α,m∥α,则 l∥m

(1)(2013· 广东)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,下列 命题中正确的是 A.若 α⊥β,m?α,n?β,则 m⊥n B.若 α∥β,m?α,n?β,则 m∥n C.若 m⊥n,m?α,n?β,则 α⊥β D.若 m⊥α,m∥n,n∥β,则 α⊥β (2)平面 α∥平面 β 的一个充分条件是 A.存在一条直线 a,a∥α,a∥β B.存在一条直线 a,a?α,a∥β C.存在两条平行直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α ( ) ( )

考点二 线线、线面的位置关系 例 2 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90° ,∠BAC= ∠CAD=60° ,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,PA=2AB. (1)若 F 为 PC 的中点,求证:PC⊥平面 AEF; (2)求证:EC∥平面 PAB.

如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=BB1,D 为 AC 的中点. (1)求证:B1C∥平面 A1BD; (2)若 AC1⊥平面 A1BD,求证:B1C1⊥平面 ABB1A1; (3)在(2)的条件下,设 AB=1,求三棱锥 B-A1C1D 的体积.

考点三 面面的位置关系 例 3 如图,在几何体 ABCDE 中,AB=AD=2,AB⊥AD,AE⊥ 平面 ABD.M 为线段 BD 的中点,MC∥AE,AE=MC= 2.

73

(1)求证:平面 BCD⊥平面 CDE; (2)若 N 为线段 DE 的中点,求证:平面 AMN∥平面 BEC.

如图所示,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, △ACD 为等边三角形,AD=DE=2AB,F 为 CD 的中点. 求证:(1)AF∥平面 BCE; (2)平面 BCE⊥平面 CDE.

考点四 图形的折叠问题 例4 (2012· 北京)如图(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图(2).

(1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由.

(2013· 广东)如图(1),在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB, AC 上的点,AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G.将△ABF 沿 AF 折起,得到 如图(2)所示的三棱锥 A-BCF,其中 BC= 2 . 2

(1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF;

74

第八章立体几何

2 (3)当 AD= 时,求三棱锥 F-DEG 的体积 VF-DEG. 3

1. 证明线线平行的常用方法 (1)利用平行公理,即证明两直线同时和第三条直线平行; (2)利用平行四边形进行转换; (3)利用三角形中位线定理证明; (4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明. 2. 证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的判定定理,把证明线面平行转化为证线线平行; (2)利用面面平行的性质定理,把证明线面平行转化为证面面平行. 3. 证明面面平行的方法 证明面面平行, 依据判定定理, 只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可, 从而将证面面平行转化为证线面平行,再转化为证线线平行. 4. 证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊平面图形的性质,如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线 线垂直; (2)利用勾股定理逆定理; (3)利用线面垂直的性质,即要证线线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在平面即可. 5. 证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理,把线面垂直的判定转化为证明线线垂直; (2)利用面面垂直的性质定理,把证明线面垂直转化为证面面垂直; (3)利用常见结论,如两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平 面等. 6. 证明面面垂直的方法 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理, 即证明一个面过另一个面的一条垂线, 将证明 面面垂直转化为证明线面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线, 则借助中点、高线或添加辅助线解决. 【当堂达标】 1. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 1 E,F,且 EF= ,则下列结论中错误的是 2 A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD
75

(

)

C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值 D.△AEF 的距离与△BEF 的面积相等 2. 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中 点. (1)证明:平面 ADC1B1⊥平面 A1BE; (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F, 使 B1F∥平面 A1BE?证明你 的结论.

【点击高考】 一、选择题 1. 已知 α,β,γ 是三个互不重合的平面,l 是一条直线,下列命题中正确的是 A.若 α⊥β,l⊥β,则 l∥α B.若 l 上有两个点到 α 的距离相等,则 l∥α C.若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β D.若 α⊥β,α⊥γ,则 γ⊥β 2. 已知直线 m,n 和平面 α,则 m∥n 的必要不充分条件是 A.m∥α 且 n∥α C.m∥α 且 n?α B.m⊥α 且 n⊥α D.m,n 与 α 成等角 ( ) ( )

3. 如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45° ,∠BAD=90° ,将△ADB 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD.则在三棱锥 A-BCD 中, 下列命题正确的是 ( )

A.平面 ABD⊥平面 ABC C.平面 ABC⊥平面 BDC

B.平面 ADC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC

4. 下列命题中,m、n 表示两条不同的直线,α、β、γ 表示三个不同的平面. ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n;②若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β;③若 m∥α,n∥α,则 m∥n; ④若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ. 正确的命题是 A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ ( )

5. 一正四面体木块如图所示,点 P 是棱 VA 的中点,过点 P 将木块锯开, 使截面平行于棱 VB 和 AC,若木块的棱长为 a,则截面面积为( )

76

第八章立体几何

a2 A. 2 a2 C. 4

a2 B. 3 a2 D. 5

6. 在正三棱锥 S-ABC 中,M,N 分别是 SC,BC 的中点,且 MN⊥AM, 若侧棱 SA=2 3,则正三棱锥 S-ABC 外接球的表面积是 A.12π C.36π 二、填空题 7. 设 x,y,z 是空间中的不同直线或不同平面,下列条件中能保证“若 x⊥z,且 y⊥z,则 x∥y”为真命题的是________(填出所有正确条件的代号). ①x 为直线,y,z 为平面;②x,y,z 为平面;③x,y 为直线,z 为平面;④x,y 为平 面,z 为直线;⑤x,y,z 为直线. 8. 如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 AA1⊥底面 ABC, 底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1 的中点,点 F 在线段 AA1 上,当 AF=________时,CF⊥平面 B1DF. 9. 如图,AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于点 A,B),直线 PA 垂 直于圆 O 所在的平面,点 M 为线段 PB 的中点.有以下四个命题: ①PA∥平面 MOB; ②MO∥平面 PAC; ③OC⊥平面 PAC; ④平面 PAC⊥平面 PBC. 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号). 三、解答题 10. (2013· 重庆)如图, 四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, PA=2 3, π BC=CD=2,∠ACB=∠ACD= . 3 (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC, 求三棱锥 P-BDF 的体积. B.32π D.48π ( )

11.(2012· 广东)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥平面 PAD, 1 AB∥CD, PD=AD, E 是 PB 的中点, F 是 DC 上的点且 DF= AB, 2 PH 为△PAD 中 AD 边上的高.
77

(1)证明:PH⊥平面 ABCD; (2)若 PH=1,AD= 2,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3)证明:EF⊥平面 PAB.

12.如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=2BC=4,∠ABC=120° ,E, M 分别为 AB, DE 的中点, 将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A′DE, F 为 A′C 的中点,A′C=4. (1)求证:平面 A′DE⊥平面 BCD; (2)求证:FB∥平面 A′DE.

78


搜索更多“高三数学第八章立体几何复习学案(学生版)”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com