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2019学年高中数学北师大版选修1-2课时作业:3.2 数学证明 Word版含解析


2019 学年北师大版数学精品资料
选修 1-2 第三章 §2 课时作业 39

一、选择题 1.已知在△ABC 中,∠A=30° ,∠B=60° ,求证:a<b. 证明: ∵∠A=30° ,∠B=60° , ∴∠A<∠B. ∴a<b. 画框格部分是演绎推理的( A.大前提 C.结论 ) B.小前提 D.三段论

解析:本题应用了三段论.大前提是大角对大边,小前提是∠A<∠B.故选 B. 答案:B 2.下面几种推理是演绎推理的是( )

A. 全等三角形的对应角相等,如果△ABC≌△A′B′C′,则 A=A′ B. 某校高三(1)班有 55 人,(2)班有 54 人,(3)班有 52 人,由此得高三各班的人数均超 过 50 人 C. 由平面内三角形的性质,推测空间中四面体的性质 1 1 D. 在数列{an}中,a1=1,an= (an-1+ )(n≥2),由此猜想出{an}的通项公式 2 an-1 解析:B 项是归纳推理,C 项是类比推理,D 项是归纳推理. 答案:A 3.指数函数都是增函数,大前提 1 函数 y=( )x 是指数函数,小前提 e 1 所以函数 y=( )x 是增函数.结论 e 上述推理错误的原因是( A. 大前提不正确 C. 推理形式不正确 ) B. 小前提不正确 D. 大、小前提都不正确

解析:大前提错误.因为指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1). 在 a>1 时是增函数,而在 0<a<1 时为减函数.故选 A. 答案:A 4.在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y),若不等式(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 都成立, 则( ) A. -1<a<1 1 3 C. - <a< 2 2 解析:(x-a)?(x+a)<1 对任意 x 恒成立 ?(x-a)[1-(x+a)]<1 对任意 x 恒成立 ?x2-x-a2+a+1>0 对任意 x 恒成立 1 3 ?Δ=1-4(-a2+a+1)<0?- <a< . 2 2 答案:C 二、填空题 5.已知推理:“因为△ABC 的三边长依次为 3,4,5,所以△ABC 是直角三角形”.若将 其恢复成完整的三段论,则大前提是________. 解析: 大前提: 一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形; 小前提: △ABC 的三边长依次为 3,4,5 满足 32+42=52;结论:△ABC 是直角三角形. 答案:一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形 6.若不等式 ax2+2ax+2<0 的解集为空集,则实数 a 的取值范围为________. 解析:①a=0 时,有 2<0,显然此不等式解集为?.
?a>0, ?a>0, ?a>0, ? ? ? ②a≠0 时须有? ?? 2 ?? ?Δ≤0, ?4a -8a≤0, ? ? ? ?0≤a≤2.

B. 0<a<2 3 1 D. - <a< 2 2

∴0<a≤2.综上可知实数 a 的取值范围是[0,2]. 答案:[0,2] 7.有些导演留大胡子,因此,有些留大胡子的人是大嗓门,为使上述推理成立,请补 充大前提________________. 解析:利用“三段论”推理. 大前提:所有导演是大嗓门, 小前提:有些导演留大胡子, 结论:有些留大胡子的人是大嗓门.

答案:所有导演是大嗓门 三、解答题 8.如图所示,在梯形 ABCD 中,AB=DC=AD,AC 和 BD 是对角线.求证:CA 平分 ∠BCD.

证明:等腰三角形两底角相等(大前提), △DAC 是等腰三角形,DA,DC 是两腰(小前提), ∴∠1=∠2(结论). 两条平行线被第三条直线所截得的内错角相等(大前提),∠1 和∠3 是平行线 AD,BC 被 AC 截出的内错角(小前提),∴∠1=∠3(结论). 等于同一个量的两个量相等(大前提), ∠2 和∠3 都等于∠1(小前提), ∴∠2=∠3(结论),即 CA 平分∠BCD. 9.(1)证明函数 f(x)=-x2+2x 在(-∞,1]上是增函数; (2)判断函数 f(x)=-x2+2x 在区间[-5,-2]上的单调性,并加以证明. 解:(1)证明:法一:任取 x1,x2∈(-∞,1],x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x2+x1-2), ∵x1<x2≤1, ∴x2+x1-2<0. ∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2). 于是,根据“三段论”可知, f(x)=-x2+2x 在(-∞,1]上是增函数. 法二:∵f′(x)=-2x+2=-2(x-1), 当 x∈(-∞,1)时,x-1<0, ∴-2(x-1)>0. ∴f′(x)>0 在 x∈(-∞,1)上恒成立. 故 f(x)在(-∞,1]上是增函数. (2)f(x)在区间[-5,-2]上单调递增,证明如下: ∵由(1)可知 f(x)在(-∞,1]上是增函数, 而[-5,-2]是区间(-∞,1]的子区间, ∴f(x)在[-5,-2]上是增函数.


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