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高中数学人教a版高二选修1-1学业分层测评11_抛物线及其标准方程_word版含解析


高中数学人教 a 版高二选修 1-1 学业分层测评 11_抛物线及其标准方程 _word 版含解析 学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 ? 1 ? 1.抛物线的焦点是?-4,0?,则其标准方程为( ? ? ) A.x2=-y C.y2=x B.x2=y D.y2=-x p 1 1 【解析】 易知- =- ,∴p= ,焦点在 x 轴上,开口向左,其方程应为 y2=- 2 4 2 x. 【答案】 D ) B.y=-2 D.x=-2 1 ∵y= x2,∴x2=4y.∴准线方程为 y=-1. 4 A ) 1 2.抛物线 y= x2 的准线方程是( 4 A.y=-1 C.x=-1 【解析】 【答案】 3.经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( A.y2=8x C.y2=8x 或 x2=y 【解析】 B.x2=y D.无法确定 由题设知抛物线开口向右或开口向上,设其方程为 y2=2px(p>0)或 x2 1 =2py(p>0),将点(2,4)代入可得 p=4 或 p= ,所以所求抛物线的标准方程为 y2=8x 2 或 x2=y,故选 C. 【答案】 C ) 4.若抛物线 y2=ax 的焦点到准线的距离为 4,则此抛物线的焦点坐标为( A.(-2,0) B.(2,0) 第1页 共5页 C.(2,0)或(-2,0) 【解析】 D.(4,0) ? ? ?a? 由抛物线的定义得,焦点到准线的距离为?2?=4,解得 a=± 8.当 a=8 时,焦点坐标为(2,0);当 a=-8 时,焦点坐标为(-2,0).故选 C. 【答案】 C 2 x2 y2 5.若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2 A.-2 C.-4 【解析】 【答案】 二、填空题 B.2 D.4 p 易知椭圆的右焦点为(2,0),∴ =2,即 p=4. 2 D ) 6.已知圆 x2+y2-6x-7=0 与抛物线 y2=2px(p>0)的准线相切,则 p=________. 【解析】 由题意知圆的标准方程为(x-3)2+y2=16,圆心为(3,0),半径为 4,抛 p p 物线的准线为 x=- ,由题意知 3+ =4,∴p=2. 2 2 【答案】 2 7.动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x+2=0 的距离相等,则 P 的轨迹方程是 ________. 【解析】 由题意知,P 的轨迹是以点 F(2,0)为焦点,直线 x+2=0 为准线的抛物 线,所以 p=4,故抛物线的方程为 y2=8x. 【答案】 y2=8x 8.对标准形式的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上;②焦点在 x 轴上;③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6;④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 其中满足抛物线方程为 y2=10x 的是________.(要求填写适合条件的序号 ) 【解析】 抛物线 y2=10x 的焦点在 x 轴上,②满足,①不满足;设 M(1,y0)是 y2 p 5 7 =10x 上一点,则|MF|=1+ =1+ = ≠6,所以③不满足;由于抛物线 y2=10x 的焦 2 2 2 第2页 共5页 5? ?5 ? ? 点为?2,0?,过该焦点的直线方程为 y=k?x-2?.若由原点向该直线作垂线,垂足为(2,1) ? ? ? ? 时,则 k=-2,此时存在,所以④满足. 【答案】 三、解答题 9.若抛物线 y2=-2px(p>0)上有一点 M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为 10, 求抛物线方程和点 M 的坐标. 【解】 p ? p ? 由抛物线定义,焦点为 F?-2,0?,则准线为 x= .由题意,设 M 到准线 2 ? ? ②④ 的距离为|MN|,则|MN|=|MF|=10, p 即 -(-9)=10.∴p=2. 2 故抛物线方程为 y2=-4x,将 M(-9,y)代入 y2=-4x,解得 y=± 6, ∴M(-9,6)或 M(-9,-6). 10.若动圆 M 与圆 C:(x-2)2+y2=1 外切,又与直线 x+1=0 相切,求动圆圆心 的轨迹方程. 【解】 设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R,由已 知可得定圆圆心为 C(2,0),半径 r=1. ∵两圆外切,∴|MC|=R+1. 又动圆 M 与已知直线 x+1=0 相切. ∴圆心 M 到直线 x+1=0 的距离 d=R. ∴|MC|=d+1,即动点 M 到定点 C(2,0)的距离等于它到定直线 x+2=0 的距离. p 由抛物线的定义可知,点 M 的轨迹是以 C 为焦点,x+2=0 为准线的抛物线,且 2 =2,p=4, 故其方程为 y2=8x. [能力提升] y2 1.抛物线 y =4x 的焦点到双曲线 x - =1 的渐近线的距离是( 3 2 2 ) A. 1 2 B. 3 2 C.1 D. 3 第3页 共5页 【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0), 双曲线的渐近线方程为 3x-y=0 或 3x+y=0, 则焦点到渐近线的距离 d1= 【答案】 B | 3×1-0| ? 3?2+?-1? = 2 | 3×1+0| 3 3 或 d2= = . 2 ? 3?2+12 2 2.已知 P 是抛物线 y2=4x 上一动点,则点 P 到直线 l:2x-y+3=0 和到 y 轴的 距离之和的最小值是( A. 3 C.2 【解析】 ) B. 5 D. 5-1 由题意知,抛物线的焦点为 F(1,0).设点 P 到直线 l 的距离为 d,由抛 物线的定义可知,点 P 到 y 轴的距离为|PF|-1,所以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的 距离之和为 d+|PF|-1.易知 d+|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离, 故 d+|PF|的最小 值为 |2+3| = 5,所以 d+|PF|-1 的最小值为 5-1. 22

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