§25 二元一次不等式组与平面区域
时间：45 分钟 满分：80 分
班级________ 姓名________分数________
一、选择题：(每小题 5 分，共 5×6＝30 分) 1．不在不等式 3x＋2y<6 表示的平面区域内的一个点是( A. (0,0) B. (1,1) C. (0,2) D. (2,0) 2．不等式 x －y ≥0 表示的平面区域是(
2 2
)
)
3 x≤ ? ? 2 3．平面区域? y≥1 ? ?x－y≥－1 A. C. 9 9 B. 8 4 5 5 D. 4 2
的面积是(
)
x≥0 ? ? 4．若不等式组?x＋3y≥4 ? ?3x＋y≤4
分，则 k 的值是( A. 7 3 B. 3 7 )
4 所表示的平面区域被直线 y＝kx＋ 分为面积相等的两部 3
C.
4 3 D. 3 4
2x－y≥5， ? ? 5．某校计划招聘男教师 x 名，女教师 y 名，x 和 y 必须满足?x－y≤2， ? ?x<6， 招聘教师最多是( A．8 B．9 C．10 D．11 )名
则该校
x＋y－11≥0 ? ? 6．设不等式组?3x－y＋3≥0 ? ?5x－3y＋9≤0
在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是( A．(1,3] B．[2,3] C．(1,2] D．[3，＋∞)
表示的平面区域为 D.若指数函数 y＝a 的图象上存
x
)
二、填空题：(每小题 5 分，共 5×3＝15 分) 7．已知点(－2，t)在直线 2x－3y＋6＝0 的上方，则 t 的取值范围是________． 8．第一象限的整数点(x，y)满足 x＋y>8， 且 x≤y≤8，这样的整数点(x，y)有________ 个．
x－y＋5≥0， ? ? 9．若不等式组?y≥a， ? ?0≤x≤2
________．
表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是
三、解答题：(共 35 分，其中第 10 小题 11 分，第 11、12 小题各 12 分) 10．如图所示，求△PQR 内(不含三角形的边界)任一点(x，y)满足的关系式．
x－y＋6≥0 ? ? 11.求不等式组?x＋y≥0 ? ?x≤3
表示的平面区域的面积．
把长度为 1 的线段分长度分别为 x，y，1－x－y 的三段．若这三条线段的长度能作为一 个三角形的三边，试求 x，y 满足的关系式，并求满足条件的点(x，y)组成的图形的面积．
一、选择题 1．D 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点
不在不等式 3x＋2y<6 表示的平面区域内，故选 D. 2．B ∵不等式 x －y ≥0 可以写成(x＋y)(x－y)≥0， 即?
? ?x＋y≥0， ?x－y≥0， ?
2 2
点(1,0)满足此不等式组，或?
? ?x＋y≤0， ?x－y≤0， ?
点(－1，0)满足此不等式
组，结合图形易知选 B. 1 3 3 9 3．A 作出可行域，S＝ × × ＝ . 2 2 2 8 4．A 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC
? ?x＋3y＝4 由? ?3x＋y＝4 ?
? 4? 得 A(1,1)，又 B(0,4)，C?0， ? ? 3?
4 4 直线 y＝kx＋ 过 C 点，y＝kx＋ 平分△ABC 面积，所以必过 AB 中点，设 AB 中点 D，则 3 3 5 1 4 7 ?1 5? D? ， ?，∴ ＝ k＋ ，k＝ ，选 A.
?2 2?
2 2
3
3
2x－y≥5， ? ? 5．C x、y 满足?x－y≤2， ? ?x＜6，
画出可行域为
令 z＝x＋y?y＝－x＋z， 则题意转化为，在可行域内任取 x，y 且 x，y 是整数，使目标函数代表斜率为－1，截
?x＝5 ? 距最大的直线过? ? ?2x－y－5＝0
? (5,5)时，使目标函数取得最大值为 10.
6．A 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．当 a＞1 时才能 够使函数 y＝a 的图象上存在区域 D 上的点，由图可知当函数 y＝a 的图象经过点 A 时 a 取 得最大值，由方程组?
2
x
x
?x＋y－11＝0， ? ?3x－y＋3＝0， ?
解得 x＝2，y＝9，即点 A(2,9)，代入函数解析式得
9＝a ，即 a＝3，故 1＜a≤3.
二、填空题 2 7．t> 3 2 解析：把(－2，t)代入 2x－3y＋6<0，可得 t> . 3 8．20 解析：画出不等式 x＋y>8，x≤y，x≤8，y≤8 表示的平面区域，要注意边界是实线或 虚线，由图形可查得整点个数为 20 个．
9．[5,7)
?x－y＋5≥0， ? 解析：不等式组? ? ?0≤x≤2，
表示的平面区域如图中的阴影部分所示，用平行于 x
轴的直线截该平面区域，若得到一个三角形，则 a 的取值范围是 5≤a<7. 三、解答题 10．易得直线 PQ 的方程为：x＋2y－5＝0；直线 QR 的方程为：x－6y＋27＝0；直线 RP 的方程为：3x－2y＋1＝0. 注意到△PQR 内任一点 (x ， y) 应在直线 RP 、 PQ 的上方，而在 QR 的下方，故应有
x＋2y－5＞0 ? ? ?3x－2y＋1＜0， ? ?x－6y＋27＞0.
11．不等式 x－y＋6≥0 表示直线 x－y＋6＝0 上及其右下方的点的集合；x＋y≥0 表示 直线 x＋y＝0 上及其右上方的点的集合；x≤3 表示直线 x＝3 上及其左方的点的集合．所以
x－y＋6≥0 ? ? 不等式组?x＋y≥0 ? ?x≤3
表示的平面区域如图所示． 因此其区域面积也就是△ABC 的面积．
显然，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，B 点坐标为(3，－3)．
由点到直线的距离公式得 |3×1＋?－3?×?－1?＋6| 12 |AB|＝ ＝ . 2 2 1 12 12 ∴S△ABC＝ × × ＝36. 2 2 2
x－y＋6≥0 ? ? 故不等式组?x＋y≥0 ? ?x≤3
表示的平面区域的面积等于 36.
12 ． 由 三 角 形 的 任 意 两 边 之 和 大 于 第 三 边 ， 得 x ， y 满 足 的 关 系 式 为
x＋y>1－x－y>0， ? ? ?x＋1－x－y>y>0， ? ?y＋1－x－y>x>0，
? ? 1 即?0<y< ， 2 1 ? ?0<x<2，
1 <x＋y<1， 2 1 所求图形的面积为 . 8