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2010年全国高中数学联赛试题及答案


2010 年全国高中数学联赛 一 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分, ) 1. 函数 f ( x) ? 试 x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是 . . 2. 已知函数 y ? (a cos2 x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是 3. 双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的右半支与直线 x ? 100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标 均为整数的点)的个数是 . 4. 已 知 {an } 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 , {bn } 是 等 比 数 列 , 其 中 a1 ? 3, b1 ? 1, a2 ? b2 ,3a5 ? b3 ,且存在常数 ? , ? 使得对每一个正整数 n 都有 an ? log? bn ? ? , 则? ? ? ? . 5. 函数 f ( x) ? a 2 x ? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1) 在区间 x ? [?1,1] 上的最大值为 8, 则它在这个区 间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则轮 由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 9 条棱长都相等,P 是 CC1 的中点, 二面角 B ? A1 P ? B1 ? ? , 则 sin ? ? . . 8. 方程 x ? y ? z ? 2010满足 x ? y ? z 的正整数解(x,y,z)的个数是 二、解答题(本题满分 56 分) 9. (16 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 1,试求 a 的最大值. 10. ( 20 分 ) 已 知 抛 物 线 y ? 6 x 上 的 两 个 动 点 A( x1 , y1 )和B( x2 , y2 ) , 其 中 x1 ? x 2 且 2 x1 ? x2 ? 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求 ?ABC 面积的最大值. 11.(20 分)证明:方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 恰有一个实数根 r ,且存在唯一的严格递增正整数数 3 列 {an } ,使得 2 ? r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? . 5 解 [?3, 3] 答 1. 提示:易知 f ( x) 的定义域是 ?5,8? ,且 f ( x) 在 ?5,8? 上是增函数,从而可知 f ( x) 的值域为 [?3, 3] . 2. ? 3 ? a ? 12 2 提示:令 sin x ? t ,则原函数化为 g (t ) ? (?at 2 ? a ? 3)t ,即 g (t ) ? ?at 3 ? (a ? 3)t . 由 ? at 3 ? (a ? 3)t ? ?3 , (t ? 1)(?at(t ? 1) ? 3) ? 0 及 t ? 1 ? 0 知 ? at(t 2 ? 1) ? 3(t ? 1) ? 0 , ? at(t ? 1) ? 3 ? 0 即 a(t 2 ? t ) ? ?3 . 当 t ? 0,?1 时(1)总成立; 2 对 0 ? t ? 1,0 ? t ? t ? 2 ;对 ? 1 ? t ? 0,? (1) 1 3 ? t 2 ? t ? 0 .从而可知 ? ? a ? 12 . 4 2 3. 9800 提示:由对称性知,只要先考虑 x 轴上方的情况

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