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高中数学人教A版选修2-1第二章《2.3.1 双曲线及其标准方程》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案


高中数学人教 A 版选修 2-1 第二章《2.3.1 双曲线及其标准 方程》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案 1 教学目标 1.通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,理解双曲线的定义,体会双曲线标准方 程的探索推导过程. 2. 使学生在学会知识的过程中,进一步熟练用坐标法建立曲线方程,培养学生等价转化、 数形结合等数学思想,提高学生分析问题、解决问题的能力. 2 学情分析 学生刚刚学习了椭圆及其标准方程,在此基础上对于双曲线的标准方程的推导有一定的帮 助。 3 重点难点 双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点. 定义中“差的绝对值”、a 与 c 的大小关系的理解与标准方程的建立是难点. 4 教学过程 4.1 第一学时 4.1.1 教学活动 活动 1【导入】双曲线及其标准方程 一、课题导入 师:椭圆的定义是什么? (抽学生口述椭圆的定义.) 师:椭圆定义是由轨迹的问题引出来的,我们把满足几何条件|PF1|+|PF2|=2a(常数)(2a>|F1 F2|)的动点 P 的轨迹叫椭圆.下面,我们来做这样一个实验: (同学分组实验:利用绳子模仿实验演示双曲线的生成过程,导入课题) 师:通过这个实验,我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线,这是一类什么曲线呢?这就是 我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”(板书课题) 活动 2【导入】新课探究 师:我们知道满足几何条件|PF1|+|PF2|=2a(常数)的动点 P 的轨迹是椭圆,那双曲线应该是 点 P 满足什么几何条件的轨迹呢? (引导学生从刚才的演示实验中寻找答案: |PF1|-|PF2|=2a 或|PF2|-|PF1|=2a) |PF1|>|PF2|,则得到曲线的右支,如果|PF2|>|PF1|则得到曲线的左支, 能否用一个等式将两几何条件统一起来呢? (引导学生思考,此时只需在|PF1|-|PF2|=2a 左边加上绝对值) 师:作为此时差的绝对值 2a 与|F1F2|大小关系怎样? (结合图象,学生分析:应该有 2a〈|F1F2|) (在上述讨论的基础上引导学生类比椭圆定义概括出双曲线的定义,教师板书) 活动 3【活动】方程推导 师:平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题,借助于曲线的方程来揭示 曲线的性质.下面我们来探究双曲线的方程.首先请回忆椭圆的标准方程是什么? (学生口述教师板书椭圆的标准方程) 师:椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的,在此我们完全可以仿效 求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程. (学生在草稿纸上试着完成方程的推导过程) (教师书写)建立直角坐标系,设双曲线上任意一点的坐标为 P(x、 y),|F1F2|=2c,并设 F1(-c, 0),F2(c,0). 由两点间距离公式,得 |PF1|= ,|PF2|= 由双曲线定义,得 |PF1|-|PF2|=±2a 即 ( 化简方程 =±2a+ )-( ) =±2a 两边平方,得 (x+c)2+y2=4a2±4a +(x-c)2+y2 化简得: cx-a2=± 两边再平方,整理得 (c2-a2)x2-a2y2=a2 (c2-a2) (为使方程简化,更为对称和谐起见) 由 2c-2a>0,即 c>a,所以 c2-a2>0 设 c2-a2=b2 (b>0),代入上式,得 b2x2-a2y2=a2b2 也就是 x2/a2-y2/b2=1 师:利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程,它同样具有方程简单、对称,具 有和谐美的特点,便于我们今后研究双曲线的有关性质.这一简化的方程称为双曲线的标准 方程.结合图形再一次理解方程中 a>0,b>0 的条件是不可缺少的.b 的选取不仅使方程得到了 简化、和谐,也有特殊的几何意义.具有 c2=a2+b2,区别其与椭圆中 a2=b2+c2 的不同之处. 师:与椭圆方程一样,如果双曲线的焦点在 y 轴上,这时双曲线的标准方程形式又怎样呢? (引导学生类比椭圆得到焦点在 y 轴上时双曲线的标准方程:y2/a2-x2/b2=1 此方程也是双曲 线的标准方程,板书标准方程) 师:如何记忆这两个标准方程? (师生共析:双曲线的方程右边为 1,左边是两个完全平方项,符号一正一负,为正的项相 应的坐标轴为焦点所在坐标轴.用一句话概括“以正负定焦点”) 活动 4【练习】巩固练习 例:已知两定点 ,求到这两点的距离之差的绝对值为 8 的点的轨迹方程。学生自主学习并 派代表讲解。 变式:(1)若两定点为(0,-5)(0,5) 则轨迹方程如何? 变式:(2)若两定点的距离为 10 则轨迹方程如何? 方法总结:求双曲线标准方程,先定位再定量. 活动 5【活动】课堂小结 (1)双曲线的定义及其标准方程 (2)把握方程中的 3 个常数 a,b,c 间的关系: c2=a2+b2. 标准方程 (3)体会双曲线标准方程的探究过程,感受数学知识的和谐、对称美。 如何确定焦点位置,会求双曲线的 活动 6【活动】板书设计 课题:双曲线及其标准方程 1.复习回顾: 2.双曲线定义: 3.方程建立: 标准方程: 4.例题: 5.练习 与椭圆比较表:

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