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高一数学必修二直线与圆的位置关系


直 线 与 圆 的 位 置 关 系

一.复习回顾
Ax 0 1.直线的一般式方程是 ? By ? C ? (A、B不同时为0)

2.圆的标准方程是 ( x ? a ) ? ( y ? b ) 其中圆心坐标为 (a,b ) 半径为
2

2

r

?r

2

3.圆的一般方程为
x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0( D ? E ? 4 F ? 0)
2 2 2 2

D E ? 其中圆心坐标为 ( ? 2 , 2 )

1 D 2 ? E 2 ? 4F 半径为 2
2

4、点和圆的位置关系有几种?
d

r

(1)d<r (2)d=r (3)d>r

点在圆内 点在圆上 点 在圆外

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5、“大漠孤烟直,长河落日圆” 是唐朝诗人王维的诗 句,它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象。如果我们 把太阳看成一个圆,地平线看成一条直线, 那你能想象一下,直线和圆的位置关系有几种?

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一、直线与圆的位置关系(用公 共点的个数来区分)
(1)直线和圆有两个公共点, 叫做直线和圆相交, 这条直线叫圆的割线,

这两个公共点叫交点。
(2)直线和圆有唯一个公共点, 叫做直线和圆相切, 这条直线叫圆的切线, 这个公共点叫切点。 (3)直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离。

直线与圆的位置关系的判定方法: (1) 利用直线与圆的公共点的个数进行判断:

? Ax ? By ? C ? 0 设方程组 ? 2 2 2 ?( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 的解的个数为 n
△<0
△=0 △>0
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代数法

n=0

直线与圆相离

n=1
n=2

直线与圆相切
直线与圆相交
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二、直线和圆的位置关系(用圆心o到直线l的

距离d与圆的半径r的关系来区分)
d r

直线和圆相交

d< r

d

r

直线和圆相切

d= r

r

几何法
直线和圆相离

d


d> r

数形结合: 位置关系

数量关系

直线与圆的位置关系 例1、如图,已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C 的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆的位置关 系;如果相交,求它们的交点坐标。 y 解法一:
? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( 5 ) 2 ? 其圆心C(0,1), 半径长为 5
l B C. O A x

d?

| 3? 0 ?1? 6 | 3 ? 12
2

5 ? ? 5 10

所以,直线l与圆相交,有两个公共点.
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例1、如图,已知直线l:3x+y-6和圆心为C的 圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆的位置关系; 如果相交,求它们的交点坐标。 解法二:由直线l与圆的方程,得 y

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 2 2 ?x ? y ? 2x ? 4 ? 0
消去y,得

l B C. O A x

x ? 3x ? 2 ? 0
2

? ? ? ( ?3) 2 ? 4 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 ? 直线 l与圆相交 , 有两个公共点
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例1、如图,已知直线l:3x+y-6和圆心为C的 圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆的位置关系; 如果相交,求它们的交点坐标。

由x ? 3 x ? 2 ? 0, 得
2

y
l B C. O A x

x1 ? 2 , x2 ? 1
把x1 ? 2代入方程, 得y1 ? 0

把x2 ? 1代入方程, 得y2 ? 3

所以,直线l与圆有两个公共点,它 们的坐标分别是A(2,0),B(1,3).
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练习
1、判断直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0 的位置关系.

Y

2、求以c(1、3)为圆心,并和直线 3x-4y-6=0相切的圆的方程.

C(1、3)

r ?3
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0

X

3x-4y-6=0 12

弦长问题
? 例2:直线x-2y+5=0与圆x2 + y2 =25相交截得的 ? 弦长 ? 法一:求出交点利用两点间距离公式; (4√5 )
法二:弦心距,半径及半径构成直角三角形的三边

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例3、已知过点M(-3,-3)的直线l被圆 x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 5,求直线l的 y 方程。

M

. .
E

O

x

F

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例3.已知过点M(-3,-3)的直线l 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 ,求 l 的方程.

解:因为直线l 过点M,可设所求直线l 的方程为:

y ? 3 ? k ( x ? 3) 即 : kx ? y ? 3k ? 3 ? 0
对于圆: x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 ? x 2 ? ( y ? 2)2 ? 25 ? 圆心坐标为(0, ?2), 半径r ? 5 如图: AD ? 4 5 ,根据圆的性质, AB ? 2 5 , d ? 5 | 2 ? 3k ? 3 | | 2 ? 3k ? 3 | ?d ? ? ? 5 2 2 k ?1 k ?1 1 解得: k ? 2或k ? ? 2 所求直线为: x ? 2 y ? 9 ? 0 或 2 x ? y ? 3 ? 0

例4、已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆 上一点M(x0,y0)的切线方程.
y
思考

M ( x0 , y0 )

1.圆的切线有哪些性质? 2.求切线方程的关键是什么? 3.切线的斜率一定存在吗?
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O

x

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? 例5:自点 A(?1,4) 作圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 的切线 l ,求切线 l 的方程
2 2

分析 方法总结:求过圆外一点所作圆的切 线的方程分两种情况进行讨论:(1) 直线垂直于X轴(k不存在)(2)直 线不垂直于X轴(k存在)

y

A

o

x

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? 练习:求过圆x2 + y2 +2x-4y+1=0外一点 p(-3,-2)的圆切线方程。 ? 解:设所求直线为y+2=k(x+3)代入 ? 圆方程使Δ=0; ? ? K=3/4即所求直线为3x-4y+1=0 ?

提问:上述解题过程是否存在

?
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问题?
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例6 求过点P(2,1),圆心在 直线2x+y=0上,且与直线x-y-1=0 相切的圆方程.
2x+y=0
P

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1.判别直线与圆的位置关系的方法: 直线 l : Ax ? By ? C ? 0 圆 C : ( x ? a )2 ? ( y ? b )2 ? r 2 d :圆心C (a , b)到直线 l 的距离
相交
公共点(交 点)个数

相切

相离

2个

1个

0个

d与r的大 小关系
图象

d?r

d?r

d?r

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两 小结:判定直线 与圆的位置关系的方法有____种: (1)根据定义,由__________________的 直线 与圆的公共点 个数来判断; (2)根据性质,由_____________________ 圆心到直线的距离d 与半径r ______________的关系来判断。

在实际应用中,常采用第二种方法判定。

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知识像一艘船 让它载着我们 驶向理想的 ……
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