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2017-2018学年高中数学必修三教学案(22份) 北师大版14(新教案)


[核心必知] .模拟方法 在大量重复试验的前提下,可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率,但确定随机事 件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验,既费时又费力,并且有时很难实现.因此,我们 可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率. .几何概型 ()定义:向平面上有限区域(集合)内随机地投掷点,若点落在子区域 的概率与的面积成正 比,而与的形状、位置无关,即 (点落在)=,则称这种模型为几何概型. ()说明:几何概型中的也可以是空间中或直线上的有限区域,相应的概率是体积之比或长度 之比.
[问题思考] .几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗? 提示:几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关,而与构成事件的区域形状无关. .在几何概型中,如果为随机事件,若()=,则一定为不可能事件;若()=,则一定为必然 事件,这种说法正确吗? 提示:这种说法不正确.如果随机事件所在的区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体 积均为,则它出现的概率为,显然它不是不可能事件;如果一个随机事件所在的区域是全部区域 扣除一个单点,则它出现的概率为,但它不是必然事件.
讲一讲 .取一根长为 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长度都不小于 的概率有多

大? [尝试解答] 如图所示,记事件={剪得两段绳子长都不小于 },把绳子三等分,于是当剪
断位置处在中间一段上时,事件发生.
全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度 ,事件包含的结果构成的区域长度是中间一段 的长度为×=(),故事件发生的概率()=.
在求解与长度有关的几何概型时,首先找到几何区域,这时区域可能是一条线段或几条线段 或曲线段,然后找到事件发生对应的区域,在找的过程中,确定边界点是问题的关键,但边界点 是否取到却不影响事件的概率.
练一练 .在区间[-]上随机取一个数,则≤的概率为. 解析:由≤得,-≤≤, 故易知所求概率为=. 答案:
讲一讲 .假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上:~:把报纸送到你家,你父亲离开家去工作 的时间是:~:,问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件)的概率是多少? [尝试解答] 如图,送报人到达的时间是:~:的任一时刻,父亲离开家去工作的时间是:~: 的任一时刻,如果在直角坐标系内以轴表示报纸送到的时间,轴表示父亲离开家的时间,因为报 纸送到的时间和父亲离开家的时间都是随机的,所以随机试验的所有结果(,)是图中所示正方形 中等可能的任意一点.事件(父亲离开家前能拿到报纸)发生须≤,即正方形内阴影部分,事件发 生的概率只与阴影部分的面积大小有关,这符合几何概型的条件.
μ =-××=,μ Ω =,所以()==.
在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时,常借助于区域的面积来计算概率的值.此时,

只需分清各自区域特征,分别计算其面积,以公式()=计算事件的概率即可. 练一练 .在平面直角坐标系中,设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于的点构成的区域,是到原点
的距离不大于的点构成的区域,向中随机投一点,则落入中的概率为. 解析:如图所示,区域表示边长为的正方形的内部(含边界),区域表示单位圆及其内部,因
此==.
答案:
讲一讲 .有一杯升的水,其中含有一个细菌,用一个小杯从这杯水中取出升水,求小杯水中含有这 个细菌的概率. [尝试解答] 把判断这个细菌所在的位置看成一次试验,设所取的升水中含有这个细菌为事 件,则事件构成的区域体积是升,全部试验结果构成的区域体积是升,所以()==.
如果试验的结果所成的区域可用体积来度量,我们要结合问题的背景,选择好观察角度,准 确找出基本事件所占的总体积及事件所分布的体积.其概率的计算
()=. 练一练 .在棱长为的正方体内任意取一个点,求这个点到各面的距离均大于的概率. 解:记事件为“点到各面的距离均大于”,则满足题意的点构成的区域为:位于该正方体中 心的一个棱长为的小正方体的内部.由几何概型的计算公式,可得满足题意的概率为()==.
讲一讲 .设为圆周上一定点,在圆周上等可能的任取一点与连接,求弦长超过半径的倍的概率.
[尝试解答] 如图所示,在⊙上有一定点,任取一点与连结,则弦长超过半径的倍,即为∠ 的度数大于°,而小于°.
记“弦长超过半径的倍”为事件,

则表示的范围是∠∈(,). 则由几何概型概率的公式,得 ()==.
如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示,则其概率的计算公式为 ()=. 练一练 .在转盘游戏中,假设转盘有三种颜色:红、绿、蓝.当转盘停止时,如果指针指向红色为 赢,绿色为平,蓝色为输.若每种颜色被平均分成四块,不同颜色相间排列,要使赢的概率为, 输的概率为,求每个绿色扇形的圆心角为多少度(假设转盘停止位置都是等可能的). 解:由于转盘停止旋转时,指针指向每个位置都是等可能的,并且位置是无限多的,所以符 合几何概型的特点,问题转化为求圆盘角度或周期问题. 因为赢的概率为,故红色所占角度为周角的,即==°.同理,蓝色占周角的,即==°, 所以绿色的角度=°-°-°=°. 再将分成四等份,得÷=°÷=°, 即每个绿色扇形的圆心角为°. 【解题高手】【易错题】 如图,在等腰直角三角形中,过直角顶点在∠内部作一条射线,与线段交于点,求<的概率.
[错解] 在上截取线段′,使′=. 则(<)=(<′)==. [错因] 因为该题所涉及的基本事件是与角度有关的,而不是在线段上取点,即该题是与角 度有关的几何概型,而不是与长度有关的几何概型. [正解] 在上取′=,则∠′==°. ∴(<)==.
.在 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率 为( )



.. .

解析:选 由几何概型公式得:==.

.(辽宁高考)在长为 的线段上任取一点.现作一矩形,邻边长分别等于线段,的长,则该矩

形面积大于 的概率为( )

解析:选 设= <<,则=(-) ,要使矩形面积大于 ,只要(-)>,则-+<<<,所以所求 概率为==.
.(湖南高考)已知事件“在矩形的边上随机取一点,使△的最大边是”发生的概率为,则= ()

解析:选 由已知,点的分界点恰好是边的四等分点,由勾股定理可得=+,解得=,即= .
4.如图所示,在平面直角坐标系内,射线落在°的终边上,任作一条射线,射线落在∠内 的概率为.

解析:记={射线落在∠内}, ∵∠=°, ∴()==. 答案: .两根相距 的木杆系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于 的概率是. 解析:由题意==. 答案: .国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话,发现 长的磁带上,从开始 处起,有 长 的一段内容包含两间谍犯罪的信息.后来发现,这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了,该工作 人员声称他完全是无意中按错了键,使从此处起往后的所有内容都被擦掉了.那么由于按错了键 使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大? 解:记={按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉},的发生就是在到 时间段内按 错键.()==.
一、选择题 .在区间[]上任取一点,则此点落在区间[]上的概率是( )

解析:选 区间[]长度为,总区间[]的长度为,∴=. 2.如图,边长为的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子, 它落在阴影区域内的概率为,则阴影区域的面积为( )
.无法计算 解析:选 由几何概型的公式知:=,又:正方形=,∴阴影=. .有四个游戏盘,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖.小明希望中奖,他应当选择的 游戏盘为( )
解析:选游戏盘的中奖概率为,游戏盘的中奖概率为,游戏盘的中奖概率为=,游戏盘的中 奖概率为=,游戏盘的中奖概率最大.
.是圆上的一定点,在圆上其他位置任取一点,连接、两点,它是一条弦,则它的长度大于 等于半径长度的概率为( )
解析:选 如图,当取点落在、两点时,弦长等于半径;当取点落在劣弧 上时,弦长小 于半径;当取点落在优弧 上时,弦长大于半径.所以弦长超过半径的概率==.
.在区间[]内任取两个数,则这两个数的平方和也在[]内的概率是( ) 解析:选 设在[]内取出的数为,,若+也在[]内,则有≤+≤.如图,试验的全部结果所构 成的区域为边长为的正方形,满足+在[]内的点在单位圆内(如阴影部分所示),故所求概率为= .
二、填空题

.函数()=-,∈[-],那么任取一点∈[-],使()≤的概率是. 解析:由()≤得-≤,≤,又∈[-],∴∈[-]. 设使()≤为事件,则事件构成的区域长度是-(-)=,全部结果构成的区域长度是-(-)=, 则()=. 答案: .圆上的任意两点间的距离大于圆的内接正三角形边长的概率是. 解析:如图所示,从点出发的弦中,当弦的另一个端点落在劣弧上的时候,满足已知条件, 当弦的另一个端点在劣弧或劣弧上的时候不能满足已知条件.又因为△是正三角形,所以弦长大 于正三角形边长的概率是.
答案: .已知点是边长为的正方形内任一点,则到四个顶点的距离均大于的概率是. 解析:如图所示,边长为的正方形,分别以、、、为圆心,并以为半径画圆截正方形后剩余部 分是阴影部分.
则阴影部分的面积是-××π ×=-π , 所以所求概率是=-. 答案:- 三、解答题 .在△内任取一点,求△与△的面积之比大于的概率. 解:设点、点到的距离分别为、, 则△=·,△=·, 所以=,要使>, 只需使点落在某条与平行的直线的上方, 当然点应在△之内,而这条与平行的直线与的距离要大于的. 由几何概率公式,得===. .甲、乙两人约定晚点到晚点之间在某处见面,并约定甲若早到应等乙半小时,而乙还有其 他安排,若他早到则不需等待.求甲、乙两人能见面的概率.

解:用轴、轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间. 若甲早到,当-≤时,两人仍可见面;若乙早到,则两人不可能见面,因此,必须有≤. 如图,事件“两人可以见面”的可能结果是阴影部分的区域.
故()==.
虽然在学习的过程中会遇到许多不顺心的事,但古人说得好——吃一堑,长一智。多了一次失败,就多了一次教训;多了一次挫折,就多了一次经验。没有失败和挫折的人,是永远不会成功的。 快乐 学习并不是说一味的笑,而是采用学生容易接受的快乐方式把知识灌输到学生的大脑里。因为快乐学习是没有什么大的压力的,人在没有压力的情况下会表现得更好。青春的执迷和坚持会撑起你的整个 世界,愿你做自己生命中的船长,在属于你的海洋中一帆风顺,珍惜生命并感受生活的真谛! 老师知道你的字可以写得更漂亮一些的,对吗,智者千虑,必有一失;愚者千虑,必有一得,学习必须与实干 相结合,学习,就要有灵魂,有精神和有热情,它们支持着你的全部!灵魂,认识到自我存在,认识到你该做的是什么;精神,让你不倒下,让你坚强,让你不畏困难强敌;热情,就是时刻提醒你,终点 就在不远方,只要努力便会成功的声音,他是灵魂与精神的养料,它是力量的源泉。


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