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高一数学人教A版必修三同步课件:第二章 统计2.1.3


2.1.3

分层抽样

学案· 新知自解

1.理解分层抽样的概念 . 2.掌握分层抽样的一般步骤 . 3.区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样,并选择适当的方法进行抽样 .

分层抽样的概念

分成互不交叉的层 ,然后 ______________ 按照一定比例 , 一般地,在抽样时,将总体 ___________________ 各层独立 地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本, 从 ____________
这种抽样方法是一种分层抽样 . 分层抽样的适用条件

样本结构 与 分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息,并充分考虑保持 ___________ 差异明显 总体结构 的一致性,这对提高样本的代表性非常重要 .当总体是由 __________ ___________
的几个部分组成时,往往选用分层抽样的方法 .

[化解疑难] (1)应用分层抽样的前提条件 ①总体可以分层,层与层之间有明显区别,而层内个体间差异较小,②每层 中所抽取的个体差异可按各层个体在总体中所占的比例抽取, ③分层抽样要求对 总体的情况有一定的了解, 明确分层的界限和数目, ④一般说来抽样结果比简单 随机抽样和系统抽样更能反映总体情况 .

(2)三种抽样方法的异同点

1.某政府机关在编人员共 100 人,其中副处级以上干部 10 人,一般干部 70 人,工人 20 人,上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见,要从中抽取 20 人,用下列哪种方法最合适( A.系统抽样法 C.分层抽样法
解析:

) B.简单随机抽样法 D.随机数法

总体由差异明显的三部分组成,应选用分层抽样.

答案:

C

2.为了解某地区的中小学生的视力情况, 拟从该地区的中小学生中抽取部分 学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况 有较大差异,而男女视力情况差异不大 .在下面的抽样方法中,最合理的抽样方 法是 ( ) B.按性别分层抽样 D.系统抽样

A.简单随机抽样 C.按学段分层抽样
解析:

结合三种抽样的特点及抽样要求求解.

由于三个学段学生的视力情况差别较大,故需按学段分层抽样.

答案:

C

3.某单位有职工 100 人,不到 35 岁的有 45 人,35 岁到 49 岁的有 25 人,剩 下的为 50 岁以上(包括 50 岁)的人,用分层抽样的方法从中抽 20 人,各年龄段 分别抽取的人数为
解析:

W.
20 1 = ,故各年龄段抽取的人 100 5

由于样本容量与总体个体数之比为

1 1 数依次为 45× =9(人),25× =5(人),20-9-5=6(人). 5 5

答案:

9,5,6

教案· 课堂探究

分层抽样的概念 自主练透型 某企业共有 3 200 名职工,其中青、中、老年职工的比例为 3∶5∶2. 若从所有职工中抽取一个容量为 400 的样本,则采用哪种抽样方法更合理?青、 中、老年职工应分别抽取多少人?每人被抽到的可能性相同吗?

解析:

因为总体由差异明显的三部分 (青、中、老年 )组成,所以采用分层

抽样的方法更合理 . 400 1 由样本容量为 400,总体容量为 3 200 可知,抽样比是 = ,所以每人 3 200 8 1 被抽到的可能性相同,均为 . 8 因为青、中、老年职工的比例是 3∶ 5∶ 2,所以应分别抽取: 3 5 青年职工 400× = 120(人);中年职工 400× = 200(人); 10 10 2 老年职工 400× = 80(人). 10

[归纳升华] 分层抽样的特点 (1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况 . (2)更充分体现和反映了总体的情况 . (3)等可能抽样.每个个体被抽到的可能性相等 .

1.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、 120 个、 180 个、 150 个销售点 .公司为了调查产品销售的情况,需从这 600 个销售点中抽取一个容量 为 100 的样本,记这项调查为①;在丙地区有 10 个特大型销售点,要从中抽取 7 个销售点调查其销售收入和售后服务等情况,记这项调查为②,则完成①②这 两项调查宜采用的抽样方法依次为 ( A.分层抽样法,系统抽样法 B.分层抽样法,简单随机抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 D.简单随机抽样法,分层抽样法 )

解析: 由调查①可知个体差异明显, 故宜用分层抽样; 调查②中个体较少, 故宜用简单随机抽样.

答案:

B

分层抽样方案的设计 多维探究型 一个地区共有 5 个乡镇, 人口 3 万人, 其中人口比例为 3∶2∶5∶2∶3, 从 3 万人中抽取一个 300 人的样本, 分析某种疾病的发病率, 已知这种疾病与地 理位置及水土均有关,问应采取什么样的抽样方法?并写出具体抽样过程 .

解析:

采用分层抽样法,具体步骤如下:

第一步,将 3 万人分为 5 层,其中每一个乡镇为一层 . 第二步,按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本 . 3 2 300× = 60(人 ), 300× = 40(人 ). 15 15 5 2 300× = 100(人 ), 300× = 40(人 ), 15 15 3 300× = 60(人 ). 15 故各乡镇抽取人数分别为 60 人, 40 人, 100 人, 40 人, 60 人 . 第三步,将抽出的 300 人合到一起即得一个样本 .

[归纳升华] 1.使用分层抽样的前提 分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、 层与层之间有明显区别, 而层内 个体间差异较小.

2.使用分层抽样应遵循的原则 (1)将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉, 即遵循不重复、不遗漏的原则; (2)分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽 样,每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比 . 3.确定每层抽取个数方法 n 首先确定抽样比 ,然后确定每层抽取的个数 . N

2.某城市有 210 家百货商店,其中大型商店 20 家,中型商店 40 家,小型商 店 150 家.为了掌握各商店的营业情况,计划抽取一个容量为 21 的样本,按照分 层抽样方法抽取时,各种百货商店分别要抽取多少家?写出抽样过程 .

解析:

21 1 (1)样本容量与总体的个体数的比为 = ; 210 10

(2)确定各种商店要抽取的数目: 1 大型: 20× = 2(家), 10 1 中型: 40× = 4(家), 10 1 小型: 150× = 15(家); 10 (3)采用简单随机抽样在各层中抽取大型: 2 家;中型: 4 家;小型: 15 家; 这样便得到了所要抽取的样本 .

三种抽样方法的选择 多维探究型 为了考察某校的教学水平, 将抽查这个学校高一年级的部分学生的本 学年考试成绩 .为了全面反映实际情况,采用以下三种方式进行抽查:(已知该学 校高一年级共有 20 个教学班,并且每个班内的学生已按随机方式编好了学号, 假定该学校每个班学生人数都相同 ). ①从全年级 20 个班中任意抽取一个班, 再从该班中任意抽取 20 人, 考察他 们的学习成绩;

②每个班抽取 1 人,共计 20 人,考察这 20 个学生的学习成绩; ③把学生按学习成绩分成优秀、良好、普通三个级别,从中共抽取 100 名学 生进行考察 .(已知若按成绩分,该校高一学生中优秀生共有 150 人,良好生共有 600 人,普通生共有 250 人 ) 根据上面的叙述,试回答下列问题: (1)上面三种抽样方式中,其总体、样本分别指什么?每一种抽取方式抽取 的样本中,其样本容量分别是多少? (2)上面三种抽样方式中各自采用何种抽取样本的方法? (3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤 .

解析:

(1)这三种抽取方式中,

其总体都是指该学校高一年级全体学生本学年的考试成绩 . 其中第 ①种抽取方式中样本为所抽取的 20 名学生本学年的考试成绩,样本 容量为 20; 第②种抽取方式中样本为所抽取的 20 名学生本学年的考试成绩,样本容量 为 20; 第③种抽取方式中样本为所抽取的 100 名学生本学年的考试成绩, 样本容量 为 100.

(2)上面三种抽样方式中,第①种方式采用的方法是简单随机抽样法; 第②种方式采用的方法是系统抽样和简单随机抽样法; 第③种方式采用的方法是分层抽样和简单随机抽样法 . (3)第①种方式抽样的步骤如下: 第一步:首先在这 20 个班中用抽签法任意抽取一个班; 第二步:然后从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取 20 名学生,考察 其考试成绩.

第②种方式抽样的步骤如下: 第一步:首先在第一个班中,用简单随机抽样法任意抽取某一学生,记其学 号为 a; 第二步:在其余的 19 个班中,选取学号为 a 的学生,共计 19 人 .考察这 20 名学生的考试成绩 . 第③种方式抽样的步骤如下: 第一步:分层; 因为按成绩分,其中优秀生共有 150 人,良好生共有 600 人,普通生共有 250 人,所以在抽取样本时,应该把全体学生分成三个层次 .

第二步:确定各个层次抽取的人数; 因为样本容量与总体容量的比为 100∶ 1000= 1∶10, 所以在每一层次抽取的个体数依次为 150 600 250 , , ,即 15, 60, 25. 10 10 10 第三步:按层次分别抽取 . 在优秀生中采用随机数法抽取 15 人; 在良好生中采用随机数法抽取 60 人; 在普通生中采用随机数法抽取 25 人 .

[归纳升华] 弄清三种抽样方法的实质和适用范围,是灵活选用抽样方法的前提和基础 . 若用分层抽样, 应先确定各层的抽取个数, 然后在各层中用系统抽样或简单随机 抽样进行抽取.

3.(1)某初级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人, 现要利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样 和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年 级依次统一编号为 1,2,…,270,使用系统抽样时,将学生统一随机编号为 1, 2,…, 270,并将整个编号依次分为 10 段,如果抽得号码有下列四种情况: ① 7,34, 61,88, 115, 142, 169, 196, 223,250; ② 5,9, 100,107, 111, 121, 180,195,200,265; ③ 11, 38,65,92, 119, 146, 173,200,227,254; ④ 30, 57,84,111, 138,165, 192, 219, 246,270.

关于上述样本的下列结论中,正确的是 ( A.②③都不能为系统抽样 B.②④都不能为分层抽样 C.①④都可能为系统抽样 D.①③都可能为分层抽样

)

(2)某学校有职工 140 人,其中教师 91 人,教辅行政人员 28 人,总务后勤 人员 21 人.为了解职工的某种情况,要从中抽取一个容量为 20 的样本 .以下的抽 样方法中,按简单随机抽样、系统抽样、分层抽样顺序排列的是 ( )

方法 1:将 140 人从 1~140 编号,然后制作出编号为 1~140 的形状、大小 相同的号签,并将号签放入同一箱子里进行均匀搅拌然后从中抽取 20 个号签, 编号与号签相同的 20 个人被选出. 方法 2:将 140 人分成 20 组,每组 7 人,并将每组 7 人按 1~7 编号,在第 一组采用抽签法抽出 k 号(1≤k≤7),其余各组 k 号也被抽出,20 个人被选出.

方法 3:按 20∶140=1∶7 的比例,从教师中抽出 13 人,从教辅行政人员 中抽出 4 人,从总务后勤人员中抽出 3 人.从各类人员中抽取所需人员时,可抽 到 20 人. A.方法 2,方法 1,方法 3 C.方法 1,方法 2,方法 3 B.方法 2,方法 3,方法 1 D.方法 3,方法 1,方法 2

解析:

(1)由题可知若采用分层抽样,则 1~ 108 号中应抽取 4 人,

109~ 189 号中应抽取 3 人, 190~ 270 号中应抽取 3 人 . 故④不可能是分层抽样,①②③可能是分层抽样 . 若采用系统抽样,应分 10 段,分段间隔为 27, 所以②④不可能是系统抽样,①③可能是系统抽样, 结合各选项知选 D. (2)由简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的含义可判断, 方法 1 是简单随机抽样,方法 2 是系统抽样, 方法 3 是分层抽样,故选 C.

答案:

(1)D

(2)C

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