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2013年状元360一轮复习理科数学9 (7)


1.圆与圆的位置关系

外离 (1)|O1O2|>r1+r2?______; 外切 (2)|O1O2|=r1+r2?______; 相交 (3)|r1-r2|<|O1O2|<r1+r2?______; 内切 (4)|O1O2|=|r1-r2|?______; 内切 (5)|O1O2|<|r1-r2|?______.

2.圆系方程 (1)以(a,b)为圆心的圆系方程: (x-a)2+(y-b)2=r2(r≠0); (2)过两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 C2:x2+y2+D2x +E2y+F2=0 的交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2 +y2+D2x+E2y+F2)=0 但不含 C2; 当 λ=-1 时,直线 l:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 两圆公共弦所在直线的方程 为________________________________; 其中当两圆相切时, 直线 l 为过两圆公共切点所在直线的方 程.

考点一 圆与圆的位置关系 示范1 已知圆 C1:x2+y2-6x-6=0,圆 C2:x2+y2-4y- 6=0, (1)试判断两圆的位置关系; (2)求公共弦所在的直线方程.

分析 由两圆圆心距与两圆半径的关系判断两圆的位置关 系.求公共弦所在直线的方程应注意运用轨迹的思想.

解析 (1)∵圆 C1 的圆心为(3,0),半径为 r1= 15,圆 C2 的 圆心为(0,2),半径为 r2= 10,又|C1C2|= 13, ∴|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2, ∴圆 C1 与 C2 相交. (2)由①-②,得公共弦所在的直线方程为 3x-2y=0.

【点评】判断两圆的位置关系就是比较两圆圆心距与两圆 半径和差的关系.

展示1 当 a 为何值时,两圆 C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5= 0 和 C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0, (1)外切?(2)相交?(3)外离?

【解析】∵C1:(x-a)2+(y+2)2=9, C2:(x+1)2+(y-a)2=4, ∴两圆的圆心和半径分别为 C1(a,-2),r1=3; C2(-1,a),r2=2.设两圆的圆心距为 d, 则 d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5, (1)当 d=5,即 d2=2a2+6a+5=25 时,两圆外切,此时 a =-5 或 a=2. (2)当 1<d<5,即 1<2a2+6a+5<25 时,两圆相交,此时 -5<a<-2 或-1<a<2. (3)当 d>5,即 2a2+6a+5>25 时,两圆外离,此时 a>2 或 a<-5.

方法点拨:研究圆与圆的位置关系,需先清晰圆的圆心及 半径,再根据具体情况判断.

考点二 求公共弦长 示范2 求圆 x2+y2-4=0 与圆 x2+y2-4x+4y-12=0 的公 共弦的长.

分析 求公共弦长,可以分别求出交点坐标,再用两点间的 距离公式求出弦长,也可求出公共弦所在直线方程,解直角三 角形求弦长.

解析 法一

由题意,列出方程组 消去二次项,得 y=x+2.

?x2+y2-4=0,? ? ? 2 ?x +y2-4x+4y-12=0, ?

把 y=x+2 代入 x2+y2-x+2y=0,得 x2+2x=0,解得 x1 =-2,x2=0, 于是 y1=0,y2=2,两圆的交点坐标是 A(-2,0),B(0,2), 所以,公共弦长|AB|=2 2.

法二

?x2+y2-4=0,? ? 由题意,列出方程组 ? 2 2 ?x +y -4x+4y-12=0, ?



去二次项,得 y=x+2,它即公共弦所在直线的方程. 圆 x2+y2-4=0 的圆心到直线 x-y+2=0 的距离为 d= |0-0+2| = 2. 2 所以,两圆的公共弦长为 2 r2-d2=2 22-? 2?2=2 2.

【点评】为何两圆的方程消去二次项后,即为公共弦所在 直线的方程?我们易由曲线系的知识可得.比较方程思想与几何 方法求解两圆的公共弦长,几何方法更为简捷.先求公共弦所在 直线,再求一圆心到直线的距离,通过公式 2 r2-d2求得弦长.

展示2 若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共 弦长为 2 3,则 a=__________.
【答案】1

【解析】由已知,两个圆的方程作差可以得到相交弦的直 ?1? ? ? 1 ?a? 线方程为 y= a (a>0).利用圆心(0,0)到直线的距离 d= = 1 22-? 3?2=1.解得 a=1. 方法点拨:涉及圆的问题用几何方法比较容易.

考点三 圆和圆的综合问题 示范3 如图所示,已知圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1,O1O2 =4,过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM,PN(M,N 分别 为切点),使得 PM= 2PN,试建立适当的平面直角坐标系,并 求动点 P 的轨迹方程.

分析 本题是解析几何中的求轨迹方程问题,由题意建立平 面直角坐标系,写出相关点的坐标,由几何关系式 PM= 2PN, 即 PM2=2PN2,结合图形由勾股定理转化为 PO2-1=2(PO2- 1 2 1),设 P(x,y),由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所 求轨迹方程.

解析 以 O1O2 的中点 O 为原点,O1O2 所在直线为 x 轴,建 立如图所示平面直角坐标系,

则 O1(-2,0), 2(2,0), O 由已知: PM= 2PN, PM2=2PN2, 即 因为两圆的半径都为 1,所以有:PO2-1=2(PO2-1),设 1 2 P(x,y), 则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1], 即(x-6)2+y2=33. 综上所述, 所求轨迹方程为: (x-6)2+y2=33(或 x2+y2-12x +3=0).

【点评】解题时应注意数形结合.

展示3 已知圆 O 的方程是 x2+y2-2=0,圆 O′的方程是 x2+y2-8x+10=0,由动点 P 向圆 O 和圆 O′所引的切线长相 等,则动点 P 的轨迹方程是__________.

3 【答案】x=2.

方法点拨:应注意几何条件的应用和数形结合.

高考中考查圆与圆的位置关系的题目属于容易题,做题时 要抓住两圆圆心、半径、两圆圆心距与两半径的大小关系.一 般从几何方法入手考虑,注意数形结合即可.

1.(2011 全国大纲)设两圆 C1,C2 都和两坐标轴相切且都过 点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=( A.4 B.4 2 ) C.8 D.8 2

【答案】C

【解析】∵两圆与两坐标轴都相切且都经过点(4,1). ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等. 设两圆圆心分别为(a,a),(b,b) 则有(4-a)2+(1-a)2=a2, (4-b)2+(1-b)2=b2, 即 a,b 是方程(4-x)2+(1-x)2=x2 的两个根. 整理,得 x2-10x+17=0.∴a+b=10,ab=17. ∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32. ∴|C1C2|= ?a-b?2+?a-b?2= 32×2=8.

2.(2009 江苏)如下图所示,已知在平面直角坐标系中,圆 C1:(x+3)2+(y-1)2=4 和圆 C2:(x-4)2+(y-5)2=4,

(1)若直线 l 过点 A(4,0)且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求直 线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相 垂直的直线 l1 和 l2, 它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足 条件的点 P 的坐标.

【解析】本题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离 公式,考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力. (1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交,所以直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y=k(x-4),即 kx-y-4k=0, 由垂径定理,得圆心 C1 到直线 l 的距离 d= 4
2

?2 3? ?2 -? ? 2 ? =1. ? ?

|-3k-1-4k| 由点到直线距离公式,得: =1. 2 k +1 7 2 化简,得 24k +7k=0,即 k=0 或 k=-24. 7 故直线 l 的方程为 y=0 或 y=-24(x-4), 即 y=0 或 7x+24y-28=0.

(2)设点 P 的坐标为(m,n),直线 l1,l2 的方程分别为 1 y-n=k(x-m),y-n=-k(x-m),即 kx-y+n-km=0, 1 1 -k x-y+n+km=0. 因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长 相等,两圆半径相等,由垂径定理,得圆心 C1 到直线 l1 与圆心 C2 到直线 l2 的距离相等,即 ? 4 1 ? ?- -5+n+ m? |-3k-1+n-km| ? k k ? = . 2 1 k +1 k2+1

化简,得(2-m-n)k=m-n-3 或(m-n+8)k=m+n-5. 由关于 k 的方程有无穷多解,得
?2-m-n=0,? ? ? ?m-n-3=0 ? ?m-n+8=0,? ? 或? ?m+n-5=0. ?

解得点 P

? 3 13? ?5 1? 的坐标为?-2, 2 ?或?2,-2?. ? ? ? ?


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