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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修1-1练习:1.2 第1课时 充分条件与必要条件]


选修 1-1

第一章

1.2

第 1 课时

一、选择题 π 1.α≠ 是 sinα≠1 的( 2 A.必要不充分条件 C.充要条件 [答案] [解析] A π π α≠ ?/ sinα≠1,sinα≠1?α≠ ,故选 A. 2 2 ) ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

2.(2013· 天津文,4)设 a、b∈R,则“(a-b)· a2 <0”是“a<b”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 [答案] [解析]
2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A 因为 a2 ≥0, 而(a-b)a2 <0, 所以 a-b<0, 即 a<b; 由 a<b, a2 ≥0, 得到(a-b)a2 ≤0,

所以(a-b)a <0 是 a<b 的充分不必要条件.弄清楚条件和结论之间的关系是判断充分条件, 必要条件的关键. 3. “a=-2”是“直线 l1 : (a+1)x+y-2=0 与直线 l2 : ax+(2a+2)y+1=0 互直垂直” 的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] [解析] A 由 l1 ⊥l2 ,得 a(a+1)+2a+2=0, B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解得 a=-1 或 a=-2, 故选 A. 4.(2014· 甘肃省金昌市二中期中)a、b 为非零向量,“a⊥b”是“函数 f(x)=(xa+b)· (xb -a)为一次函数”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] [解析]
2 2

B ∵f (x)=(xa+b)· (xb-a)=x2 a· b+x(|b|2 -|a|2 )-a· b,当 f (x)为一次函数时,a· b=0

且|b| -|a| ≠0,∴a⊥b,当 a⊥b 时,f (x)未必是一次函数,因为此时可能有|a|=|b|,故选 B. 5.(2013· 浙江文,3)设 α∈R,则“α=0”是“sinα<cos α”的( )

A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] [解析] A

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

由 α=0 可以得出 sinα=0,cos α=1,sinα<cos α,但当 sin<cos α 时,α 不一定为

0,所以 α=0 是 sinα<cos α 的充分不必要条件,选 A. 6. (2014· 江西临川十中期中)已知平面向量 a、 b 满足|a|=1, |b|=2, a 与 b 的夹角为 60° , 则“m=1”是“(a-mb)⊥a”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] [解析] C ∵|a|=1,|b|=2, 〈a,b〉=60° ,∴a· b=1×2×cos60° =1,(a-mb)⊥a?(a- ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

mb)· a=0?|a|2 -ma· b=0?m=1,故选 C. 二、填空题 7.已知 p:x=3,q:x2 =9,则 p 是 q 的________条件.(填:充分不必要、必要不充 分、充要、既不充分又不必要) [答案] [解析] 充分不必要 x=3?x =9,x =9?/ x=3,
2 2

故 p 是 q 的充分不必要条件. 8.已知 a、b 是实数,则“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的________条件. [答案] [解析] 充要 a>0 且 b>0?a+b>0 且 ab>0,a+b>0 且 ab>0?a>0 且 b>0,故填充要.

9.命题 p:sinα=sinβ,命题 q:α=β,则 p 是 q 的________条件. [答案] [解析] 必要不充分 sinα=sinβ?/ α=β,α=β?sinα=s inβ,故填必要不充分.

三、解答题 10.下列各题中,p 是 q 的什么条件? (1)p:x=1; q:x-1= x-1; q:x≥-1 且 x≤5;

(2)p:-1≤x≤5;

(3)p:三角形是等边三角形; q:三角形是等腰三角形. [解析] (1)充分不必要条件

当 x=1 时,x-1= x-1 成立; 当 x-1= x-1时,x=1 或 x=2. (2)充要条件

∵-1≤x≤5?x≥-1 且 x≤5. (3)充分不必要条件 ∵等边三角形一定是等腰三角形,而等腰三角形不一定都是等边三角形.

一、选择题 11.“m=-1”是“直线 mx+(2m-1)y+1=0 和直线 3x+my+3=0 垂直”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] [解析] A 直线 mx+(2m-1)y+1=0 和直线 3x+my+3=0 垂直的充要条件是 3m+m(2m B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

-1)=0,解得 m=0 或 m=-1. ∴“m=-1”是上述两条直线垂直的充分不必要条件. 12.“a=1”是“函数 f (x)=x2 -4ax+3 在区间[2,+∞)上为增函数”的( A.必要不充分条件 C.充要条件 [答案] [解析] B. 13.“a=2”是“直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 [答案] [解析] C 若 a=2,则 ax+2y=0 即为 x+y=0 与直线 x+y=1 平行,反之若 ax+2y=0 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B 由函数 f(x)=x2 -4a+3 在区间[2,+∞)上为增函数,得 2a≤2,即 a≤1,故选 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

a 与 x+y=1 平行,则- =-1,a=2,故选 C. 2 14.“a=1”是“直线 y=kx+a 和圆 C:x2 +y2 =2 相交”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] [解析] A a=1?直线 y=kx+1, 直线 y=kx+1 过点(0,1), 又点(0,1)在圆 x2 +y2 =2 内部, B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

故 a=1?直线 y=kx+a 和圆 C:x2 +y2 =2 相交,直线 y=kx+a 和圆 C:x2 +y2 =2 相交?/ a=1,故选 A. 二、填空题 15.下列不等式:①x<1;②0<x<1 ;③-1<x<0;④-1<x<1. 其中,可以是 x2 <1 的一个

充分条件的所有序号为________. [答案] [解析] 意. 16.若条件 p:(x+1) >4,条件 q:x -5x+6<0,则 q 是 p 的________条件. [答案] [解析] 充分 因为(x+1) >4,所以 x<-3 或 x>1. 又 x -5x+6<0,所以 2<x<3,所以 q?p,
2 2 2 2

②③④ 由于 x2 <1,即-1<x<1,①显然不能使-1<x<1 一定成立,②、③、④满足题

即 q 是 p 的充分条件. 17.已知数列{an },那么“对任意的 n∈N+,点 P n (n,an ),都在直线 y=2x+1 上”是 “{an }为等差数列”的________条件. [答案] [解析] 充分不必要 点 P n (n,an )都在直线 y=2x+1 上,即 an =2n+1,∴{an }为等差数列,

但是{an }是等差数列却不一定就是 an =2n+1. 三、解答题 18.求证:关于 x 的方程 x2 +mx+1=0 有两个负实根的充要条件是 m≥2. [解析]
2

(1)充分性:∵m≥2,∴Δ=m2 -4≥0,

方程 x +mx+1=0 有实根, 设 x2 +mx+1=0 的两根为 x1 、x2 , 由韦达定理知:x1 x2 =1>0,∴x1 、x2 同号, 又∵x1 +x2 =-m≤-2,∴x1 、x2 同为负根. (2)必要性:∵x +mx+1=0 的两个实根 x1 ,x2 均为负,且 x1 · x2 =1, 需 Δ=m2 -4≥0 且 x1 +x2 =-m<0,即 m≥2. 综上可知,命题成立.
2


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