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北京市东城区2012届高三数学下学期综合练习(一)试题 文(2012东城一模)新人教A版


北京市东城区 2011-2012 学年第二学期综合练习(一) 高三数学 (文科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项。 (1)若 a , b?R , i 是虚数单位,且 b ? (a ? 2)i ? 1 ? i ,则 a ? b 的值为 (A) 1 (B) 2
2

(C) 3

(D) 4

(2)若集合 A ? {0 , m } , B ? {1 , 2} ,则“ m ? 1 ”是“ A ? B ? {0 , 1 , 2} ”的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? y ? x, ? (3)若点 P( x, y ) 在不等式组 ? y ? ? x, 表示的平面区域内,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? 2 ?
(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6

(4)已知 x , y , z ?R ,若 ?1 , x , y , z , ?3 成等差数列,则 x ? y ? z 的值为 (A) ?2 (B) ?4 (C) ?6 (D) ?8

(5)右图给出的是计算

1 1 1 1 1 的值的一个程序框图, ? ? ? ? ... ? 2 4 6 8 100

其中判断框内应填入的条件是 (A) i ? 50 (B) i ? 25
?

(C) i ? 50

(D) i ? 25

(6)已知 sin(? ? 45 ) ? ? (A)

5 13

2 ? ? ,且 0 ? ? ? 90 ,则 cos? 的值为 10 12 3 (B) (C) 13 5

(D)

4 5
x

(7) 已知函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ( 其中 a ? b) 的图象如右图所示, 则函数 g ( x) ? a ? b 的 图象大致为

(A)

(B)

(C)

(D)

用心

爱心

专心

-1-

1 ? 1 1 ? x ? , x ? A, ( 8 ) 设 集 合 A ? [0, ) , B ? [ ,1] , 函 数 f ( x) ? ? 若 x0 ? A , 且 2 2 2 ?2(1 ? x), x ? B. ?
f [ f ( x0 )] ? A , 则 x0 的取值范围是
(A)( 0,

1 ] 4

(B) (

1 1 , ] 4 2

(C)(

1 1 , ) 4 2

(D) [0,

3 ] 8

第Ⅱ卷(共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)已知一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积 是 .
1 2
主视图

1 2
左视图

(10) 命题“ ?x0 ? (0, ), tan x0 ? sin x0 ”的否定是

? 2

.

2

俯视图

(11) 在如图所示的茎叶图中,乙组数据的中位数是 若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个 最小数 后,两组数据的平均数中较大的一组是 组.


甲 5 4 5 5 0 1 1 7 8 9 9 4 3 4 乙 6 4 7

(12)双曲线 x ? y ? 2 的离心率为
2 2

;若抛物线 y ? ax 的焦点恰好为该双曲线的右焦点,
2

则 a 的值为

.

(13)已知△ ABC 中, AD ? BC 于 D , AD ? BD ? 2 , CD ? 1 ,则 AB ? AC ? ___.

??? ???? ?

? an an为偶数, ? 2, ? ? (14) 已知数列 ? an ? ,a1 ? m ,m ?N ,an ?1 ? ? 若 ? an ? 中有且只有 5 个 ? an ? 1 , a 为奇数. n ? 2 ?
不同的数字,则 m 的不同取值共有 个.

用心

爱心

专心

-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? (sin2x ? cos2x) ? 2sin 2x .
2 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图象是由 y ? f ( x) 的图象向右平移

? x?[ 0 , ]时,求 y ? g ( x) 的最大值和最小值. 4
(16) (本小题共 13 分)

? 个单位长度得到的,当 8

某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调 查,以计算每户的碳月排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”,否则称为“非 低碳族”.若小区内有至少 75% 的住户属于“低碳族”,则称这个小区为“低碳小区”,否 则称为“非低碳小区” .已知备选的 5 个居民小区中有三个非低碳小区,两个低碳小区. (Ⅰ)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率; (Ⅱ)假定选择的“非低碳小区”为小区 A ,调查显示其“低碳族”的比例为 1 所示,经过 同学们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图 2 所示,问这时小区 A 是 否达到“低 碳小区”的标准?

1 ,数据如图 2

频率 组距 0.30 0.25 0.20 0.15 0.05

频率 组距 0.46

0.23 0.14 0.10 0.07 1 2 3 4 5 6 月排放量 (百千克/户 户)

O

O

1

2

3

4

5

图1

图2

月排放量 (百千克/户 户)

(17) (本小题共 14 分) 如图 1 ,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E , F , P 分别为 AB , AC , BC 上的点, 且满足 AE ? FC ? CP ?1 .将△ AEF 沿 EF 折起到△ A1 EF 的位置,使平面 A1 EF ? 平面
用心 爱心 专心 -3-

EFB ,连结 A1B , A1P .(如图 2 )
(Ⅰ)若 Q 为 A1 B 中点,求证: PQ ∥平面 A1 EF ; (Ⅱ)求证: A1 E ? EP .
A

A1
E

F

Q

E F

B

P

C

B

P

C

图1

图2

(18) (本小题共 13 分) 已知 x ? 1是函数 f ( x) ? (ax ? 2)e 的一个极值点. ( a ?R )
x

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)当 x1 , x2 ? ? 0, 2? 时,证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e .

(19) (本小题共 13 分)

已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 ? 0 ,1? ,且离心率为 . 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) A1 , A2 为椭圆 C 的左、右顶点,直线 l : x ? 2 2 与 x 轴交于点 D ,点 P 是椭圆 C 上异 于 A1 , A2 的动点, 直线 A1 P, A2 P 分别交直线 l 于 E , F 两点.证明:DE ? DF 恒为定值.

(20)(本小题共 14 分) 对于函数 f ( x) ,若 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 为 f ( x) 的“不动点” ;若 f ? f ( x0 ) ? ? x0 ,则 称 x0 为 f ( x) 的“稳定点”.函数 f ( x) 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B ,即

A ? ? x f ( x ) ? x? ,
B ? x f ? f ( x)? ? x .

?

?

用心

爱心

专心

-4-

(Ⅰ)设函数 f ( x) ? 3x ? 4 ,求集合 A 和 B ; (Ⅱ)求证: A ? B ; (Ⅲ)设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) ,且 A ? ? ,求证: B ? ? .
2

北京市东城区 2011-2012 学年第二学期综合练习(一) 高三数学参考答案及评分标准 (文科) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)D (5)B (2)A (6)D (3)D (7)A (4)C (8)C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9)

4 3

(10)?x ? (0, ), tan x ? sin x

? 2

(11)84



(12) 2

8

(13) 2

(14) 8

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? 2sin 2 x
2 2

? sin 4x ? cos 4x
? ? 2 sin(4 x ? ) , 4
所以函数 f ( x) 的最小正周期为 (Ⅱ)依题意, y ? g ( x) ? ????6 分

? ? 2 sin [ 4( x ? ) ? ] 8 4
????10 分

? . 2

????8 分

? ? 2 sin(4 x ? ) . 4
因为 0 ? x ? 当 4x ? 当 4x ?

? ? ? 3? ,所以 ? ? 4 x ? ? . 4 4 4 4

????11 分

? ? 3? 时, g ( x) 取最大值 2 ; ? ,即 x ? 4 2 16 ? ? ? ? ,即 x ? 0 时, g ( x) 取最小值 ?1 . 4 4
用心 爱心 专心

????13 分

-5-

(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)设三个“非低碳小区”为 A, B, C ,两个“低碳小区”为 m, n, 分 用 ( x, y ) 表示选定的两个小区, x, y ? ? A, B, C , m, n? , 则从 5 个小区中任选两个小区,所有可能的结果有 10 个,它们是 ( A, B) , ( A, C ) , ????2

( A, m) , ( A, n) , ( B, C ) , ( B, m) , ( B, n) (m, n) .
????5 分

, (C, m) , (C , n) ,

用 D 表示: “选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件,则 D 中的结果有 6 个,它们 是: ( A, m) , ( A, n) , ( B, m) , ( B, n) , (C, m) , (C , n) . 故所求概率为 P( D) ? ???7 分 ????8 分 ????10 分

6 3 ? . 10 5

(II)由图 1 可知月碳排放量不超过 300 千克的成为“低碳族”. 由图 2 可知,三个月后的低碳族的比例为

0.07 ? 0.23 ? 0.46 ? 0.76 ? 0.75 ,????12 分
所以三个月后小区 A 达到了“低碳小区”标准. (17) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)取 A1 E 中点 M ,连结 QM , MF . 在△ A1BE 中, Q, M 分别为 A1 B, A1 E 的中点, 所以 QM ∥ BE ,且 QM ? 因为
A1 M Q E F

????13 分

1 BE . 2

CF CP 1 ? ? , FA PB 2
1 BE , 2
B

所以 PF ∥ BE ,且 PF ?

P

C

所以 QM ∥ PF ,且 QM ? PF . 所以四边形 PQMF 为平行四边形.
A

所以 PQ ∥ FM .

????5 分
E

又因为 FM ? 平面 A1 EF ,且 PQ ? 平面 A1 EF , 所以 PQ ∥平面 A1 EF . (Ⅱ) 取 BE 中点 D ,连结 DF .
B P C

????7 分

D

F

用心

爱心

专心

-6-

因为 AE ? CF ? 1 , DE ? 1 , 所以 AF ? AD ? 2 ,而 ?A ? 60 ,即△ ADF 是正三角形.
?

又因为 AE ? ED ? 1, 所以 EF ? AD . 所以在图 2 中有 A1 E ? EF . ????9 分

因为平面 A1 EF ? 平面 EFB ,平面 A1 EF ? 平面 EFB ? EF , 所以 A1 E ⊥平面 BEF . 又 EP ? 平面 BEF , 所以 A1 E ⊥ EP . (18) (共 13 分) (Ⅰ)解: f '( x) ? (ax ? a ? 2)e ,
x

????12 分

????14 分

????2 分 ????4 分

由已知得 f ' (1) ? 0 ,解得 a ? 1 .
x

当 a ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 2)e ,在 x ? 1 处取得极小值. 所以 a ? 1 . ????5 分
x
x

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知, f ( x) ? ( x ? 2)e , f '( x) ? ( x ? 1)e . 当 x ? ?0,1?时, f ' ( x) ? ( x ? 1)e ? 0 , f (x) 在区间 ? 0,1? 单调递减;
x

当 x ? ?1, 2? 时,f '( x) ? ( x ? 1)e ? 0 ,f (x) 在区间 ?1, 2 ? 单调递增. ????8
x

分 所以在区间 ? 0, 2 ? 上, f ( x) 的最小值为 f (1) ? ?e , 又 f (0) ? ?2 , f (2) ? 0 , 所以在区间 ? 0, 2 ? 上, f ( x) 的最大值为 f (2) ? 0 . ????12 分

对于 x1 , x2 ? ? 0, 2? ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f max ( x) ? f min ( x) . 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? (?e) ? e . (19) (共 13 分) (Ⅰ)解:由题意可知, b ? 1, 解得 a ? 2 . ????13 分

c 3 , ? a 2

????4 分

用心

爱心

专心

-7-

所以椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1. 4

????5 分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知, A1 (?2, 0) , A2 (2, 0) .设 P( x0 , y0 ) ,依题意 ?2 ? x0 ? 2 , 于是直线 A1 P 的方程为 y ? 即 DE ? (2 2 ? 2)

(2 2 ? 2) y0 y0 . ( x ? 2) ,令 x ? 2 2 ,则 y ? x0 ? 2 x0 ? 2
????7 分

y0 x0 ? 2

.

又直线 A2 P 的方程为 y ? 即 DF ? (2 2 ? 2) 所

(2 2 ? 2) y0 y0 , ( x ? 2) ,令 x ? 2 2 ,则 y ? x0 ? 2 x0 ? 2
. ????9 分 以

y0 x0 ? 2

DE ? DF ? (2 2 ? 2)

y0 x0 ? 2

? (2 2 ? 2)

y0 x0 ? 2

?

4 y0 4 y0 ? ,???11 分 2 2 x0 ? 4 4 ? x0

2

2

又 P( x0 , y0 ) 在

x2 x2 2 2 ? y 2 ? 1 上,所以 0 ? y0 2 ? 1 ,即 4 y0 ? 4 ? x0 ,代入上式, 4 4
4 ? x0 2 ?1 4 ? x0 2
, 所 以



DE ? DF ?

|D

?E |

为 | D F定 |



1.
(20) (共 14 分)

????13 分

(Ⅰ)解:由 f ( x) ? x ,得 3x ? 4 ? x ,解得 x ? ?2 ; 由 f ? f ( x) ? ? x ,得 3(3x ? 4) ? 4 ? x ,解得

????1 分

x ? ?2 .

????3 分 所以集合 A ? ??2? , B ? ??2? . ????4 分

(Ⅱ)证明:若 A ? ? ,则 A ? B 显然成立; 若 A ? ? ,设 t 为 A 中任意一个元素,则有 f (t ) ? t , 所以 f ? f (t ) ? ? f (t ) ? t ,故 t ? B ,所以

A? B.
2

????8 分

(Ⅲ)证明:由 A ? ? ,得方程 ax ? bx ? c ? x 无实数解, 则 ? ? (b ? 1) ? 4ac ? 0 .
2

????10 分

用心

爱心

专心

-8-

① 当 a ? 0 时, 二次函数 y ? f ( x) ? x(即 y ? ax ? (b ? 1) x ? c ) 的图象在 x 轴
2

的上方, 所以任意 x ?R , f ( x) ? x ? 0 恒成立, 即对于任意 x ?R , f ( x) ? x 恒成立, 对于实数 f ( x) ,则有 f ? f ( x) ? ? f ( x) 成立, 所以对于任意 x ?R , f ? f ( x) ? ? f ( x) ? x 恒成立,则

B??.

????12 分
2

②当 a ? 0 时,二次函数 y ? f ( x) ? x (即 y ? ax ? (b ? 1) x ? c )的图象在 x 轴 的下方, 所以任意 x ?R , f ( x) ? x ? 0 恒成立, 即对于任意 x ?R , f ( x) ? x 恒成立, 对于实数 f ( x) ,则有 f ? f ( x) ? ? f ( x) 成立, 所以对于任意 x ?R , f ? f ( x)? ? f ( x) ? x 恒成立,则 B ? ? . 综上, 对于函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) , A ? ? 时,B ? ? . 当
2

????

14 分

用心

爱心

专心

-9-


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