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2014年乌鲁木齐地区高三年级第二次诊断文科、理科数学试题及答案


乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第二次诊断性测验

文科数学(问卷)
(卷面分值:150 分 考试时间:120 分钟) 注意事项: 1.本卷分为问卷和答卷两部分,答案务必书写在答卷(或答题卡)的指定位置上. 2.答卷前,先将答卷密封线内(或答题卡中的相关信息)的项目填写清楚.

第Ⅰ卷

(选择题

共 60 分)

一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x2<1}, B=[0, 1),则 A∩B= A. (0, 1) B. (0, 1] C. [0, 1) D. [0, 1] z1 2.已知复数 z1=a+bi 与 z2=c+di (a, b, c, d∈R, z2≠0),则 z ∈R 的充要条件是 2 A. ad+bc=0 B. ac+bd=0 C. ac-bd=0 D. ad-bc=0 3.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,若 a2=2, 2a3+a4=16,则 a5= A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4.某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位: cm) 可得这个几何体的体积是 1 A. 3cm3 4 C. 3cm3 2 B. 3cm3 8 D. 3cm3
1 1

2 2
正视图

2
侧视图

5.已知函数 y=f(x)+x 是偶函数,且 f(2)=1,则 f(-2) = A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6.阅读如右图所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,运行相 应程序,则输出的 n 的值为 A. 3 B. 5 C. 10 D. 16 7.若平面向量 a, b, c 两两所成的角相等,且 | a |? 1, | b |? 1, | c |? 3 , 则 | a ? b ? c | 等于 A. 2 B. 5

2
俯视图
开始 输入 n

i=0
n 为奇数? n=3n+1 是

C. 2 或 5 D. 2或 5 2 2 8.已知⊙A1:(x+2) + y =12 和点 A2(2, 0),则过点 A2 且与⊙A1 相切的动圆圆心 P 的轨迹方程为 x2 A. 3 ??y2 = 1 C. x2 ??y2 = 2 x2 B. 3 ??y2 = 1 x2 y2 D. 12 + 8 = 1


n n= 2

i = i +1 是 i < 3? 否 输出 n

P π π 9.将函数 f(x)=sin(2x+θ) (-2 < θ < 2 )的图象向右平移 φ(φ > 0)个单位长度后得到函数 g(x)的图象,若 f(x), 结束

3 g(x)的图象都经过点 P(0, 2 ),则 φ 的值可以是 5π A. 3 5π B. 6 π C. 2 π D. 6

3 10.已知△ABC 中,AB=1,AC=2,面积为 2 ,则 BC= A. 3 B. 6 C. 2 11.设 a=log0.10.2, b=log0.20.4, c = log0.30.6,则 A. a > b > c B. a > c > b C. b > c > a
2

D.

3或 7 D. c > b > a

12.若直线 ax + by + c = 0 与抛物线 y =2x 交于 P,Q 两点,F 为抛物线的焦点,直线 PF,QF 分别交抛物线于 点 M,N,则直线 MN 的方程为 A. 4cx?2by + a=0 B. ax?2by ??4c=0 C. 4cx ??2by ??a=0 C.ax ??2by ??4c=0

第Ⅱ卷

(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题 ~ 第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S9=11,S11=9,则 S20=

; ;

?x+2y≤4 ? 14.已知关于 x, y 的二元一次不等式组?x-y≤1 ,则 3x?y 的最大值为 ? ?x+2≥0
x y 15.直线 a ??b = 1 (a > 0, b > 0) 经过点(1, 1),则 a, b 的最小值为



16.直三棱柱 ABC?A1B1C1 的各个顶点都在同一个球面上. 若 AB=AC=AA1=2, ∠BAC=120°,则此球的表面积等于 . 三、解答题第 17~21 题每题 12 分,解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) π 如图,已知 OPQ 是半径为 3,圆心角为3的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形,记∠ COP 为 x,矩形 ABCD 的面积为 f(x)。 (Ⅰ)求 f(x)的解析式,并写出定义域; π (Ⅱ)求函数 y=f(x)+f(x + 4)的最大值及相应的 x 的值.
Q D B C

A

18.(本小题满分 12 分) 如图在四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC, ∠BAD=90°,BC = 2AD, AC 与 BD 交于点 O,点 M,N 分别在线

O

CM BN 段 PC,AB 上, MP = NA =2 . (Ⅰ)求证:平面 MNO∥平面 PAD (Ⅱ)若平面 PAD⊥平面 ABCD,∠PDA=60°,且 PD = DC = BC = 2, 求几何体 M?ABC 的体积

19.(本小题满分 18 分) 袋中装有 3 个红球和 2 个黑球,一次取 3 个球. 求: (Ⅰ)取出的 3 个球中有 2 个红球的概率; (Ⅱ)取出的 3 个球中红球数多于黑球数的概率.

20.(本题满分 12 分) x2 y2 2 已知椭圆:a2 + b2 =1(a>b>0)的焦点为 F,离心率为 3,短轴长为 2 5,过点 F 引两条直线 l1 和 l2, l1 交椭 圆于点 A 和 C,l2 交椭圆于点 B 和 D. (Ⅰ)求此椭圆的方程; (Ⅱ)若|FA|·|FC|=|FB|·|FB|,试求四边形 ABCD 的面积的最大值

21.(本小题满分 12 分) ax-1 已知函数 f(x) = lnx (x>0, x≠1) . (Ⅰ)当 a=1 时,求证:x>1 时,f(x)>1; (Ⅱ)已知函数 y=f(x)的增区间为(0, 1)和(1, + ∞),求实数 a 的取值范围

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在 答卷(答题卡)上把所选题目的题号涂黑,满分 10 分 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图,在△ABC 中,D 是 AB 上一点,△ACD 的外接圆交 BC 于点 E,AB = 2BE. (Ⅰ)求证:BC = 2BD; (Ⅱ)若 CD 平分∠ACB,且 AC=2,EC=1,求 BD 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系.
?x= 2+t 已知直线 l 的参数方程为? ?y=t

( t 为参数 ),圆 C 的极坐标方程是 ρ = 1.

(Ⅰ)求直线 l 与圆 C 的公共点个数;
?x?=x (Ⅱ)在平面直角坐标系中,圆 C 经过伸缩变换? 得到曲线 C?,设 M(x, y)为曲线 C ?上任意一点,求 ?y?=2y

4x2+xy+y2 的最大值,并求相应点 M 的坐标.

24.(本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)=|x?1|。 (Ⅰ)解不等式:f(x?1) ??f(1?x)≤2; (Ⅱ)若 a<0,求证:f(ax)?af(x)≥f(a)

乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第二次诊断性测验

文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 选项 1 C 2 A 3 C 4 C 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 10 D 11 A 12 A

1.选 C.【解析】由 x 2 ? 1 得 ?1 ? x ? 1 ,故 A ? ? ?1,1? ,∴ A

B ? ?0,1? .

2.选 A.【解析】∵ ? a ? bi ?? c ? di ? ? ? ac ? bd ? ? ? ad ? bc ? i , z1 ? z2 ? R 的充要条件是

ad ? bc ? 0 .

1 ? ?a1q ? 2, ?a1 ? 1 ?a1 ? ? 3.选 C.【解析】由题意得, ? 解得 ? ,? 2 ,又 an ? 0 , 2 3 q ? 2 2 a q ? a q ? 16. ? ? ? 1 1 ?q ? ?4
∴?

?a1 ? 1 ,∴ a5 ? a1q4 ? 16 . q ? 2 ?
1 ?1 4 ? ?? ? 2? 2?? 2 ? . 3 ?2 3 ?

4.选 C.【解析】 ,该几何体的直观图为右图所示 ∴V ?

5.选 D.【解析】∵ y ? f ? x ? ? x 是偶函数,∴ f ? ?x ? ? ? ?x ? ? f ? x ? ? x , ∴ f ? ? x ? ? f ? x ? ? 2x ,令 x ? 2 , f ? ?2? ? f ? 2? ? 4 ? 5 . 6.选 B.【解析】循环体执行第一次时: i ? 1, n ? 3 ;执行第二次时: i ? 2, n ? 10 ; 执行第三次时: i ? 3, n ? 5 ,∴输出 n ? 5 . 7.选 C.【解析】当向量 a, b, c 两两成 0? 角时, a ? b ? c ? a ? b ? c ? 5 ;当 a, b, c 两两成 120? 角时,
2 2 2 ∵ a ? b ? c ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2a ? c ? 2b ? c ? 4 ,∴ a ? b ? c ? 2 2

8.选 A.【解析】根据题意有 PA1 ? PA2 ? 2 3 ? A1 A2 ? 4 ,∴点 P 的轨迹是以 A 1 ? ?2,0? , A2 ? 2,0 ? 为
2 2 2 焦点,实轴长为 2a ? 2 3 的双曲线, b ? c ? a ? 1 ,点 P 的轨迹方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

9.选 B.【解析】∵ f ? x ? 过 P ? 0,

? ? ?

? ? ? 3? 3 ,∴ sin ? ? ,又 ? ? ? ? ,∴ ? ? , ? ? 2 2 3 2 ? 2

∵ g ? x ? ? sin ? 2 ? x ? ? ? ?

? ?

??

? ? 3? ?? 3 ? 过 P ? 0, ,∴ sin? ? 2 ,∴ ?2? ? ?? ?? ? ? ? ? 3 3? 3? 2 ? ? 2 ?

? 2 k? ?

?
3

,或

?2? ?

?
3

? 2 k? ?

2? ? ,即 ? ? ?k? ,或 ? ? ?k? ? ,又 ? ? 0 ,选 B. 3 6

10.选 D.【解析】∵ ∴ cos A ? ?

1 3 3 , AB ? 1, AC ? 2 ,∴ sin A ? , AB ? AC ? sin A ? 2 2 2

1 ,由 BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos A ,得 BC ? 3 或 7 . 2

11.选 A.【解析】∵ log n 2 n ? 1 ?

1 ,当 0 ? n1 ? n2 ? 1 时,有 log 2 n1 ? log 2 n2 ? 0 log 2 n

∴0 ?

1 1 0.1 ? 0.2 ? 0.3 , , 即, 当 0 ? n ? 1 时, ∴a ? b ? c. log n 2n 的值越小, ? n 越大, log 2 n1 log 2 n2
1 , y1 y2 ? ?1 , 4

12.选 A.【解析】设 P( x1 , y1 ), M ( x2 , y2 ) , N ( x3 , y3 ) ,由 PM 过焦点 F ,易得 x1 x2 ? 则 有 P?

? 1 ? 1 1 ? 1? ,? ? , 同 理 Q? , ? ? , 将 P 点 代 入 直 线 方 程 ax ? by ? c ? 0 , 有 y2 ? ? 4 x2 ? 4 x3 y3 ? ? 1 ? 4bx2 1 ? 4 x2c ? 0 , a? ? b ? ? ? ? c ? 0 ,两边同乘 4 x2 ,得 a ? y2 4 x2 ? y2 ? 2x 2 又 y2 ? 2x2 , ? y2 ? 2 ,所以 a ? 2by2 ? 4cx2 ? 0 ,同理 a ? 2by3 ? 4cx3 ? 0 ,故所求直线为 y2 a ? 2by ? 4cx ? 0 .
二、填空题 :共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.填 ?20 .【解析】依题意有 ?

? S9 ? 9a1 ? 36d ? 11 , ? S11 ? 11a1 ? 55d ? 9

两式相减得, 2a1 ? 19d ? ?2 ,∴ S20 ? 20a1 ? 190d ? ?20 . 14.填 5 .【解析】由图可知, ? 3x ? y ?max ? 3? 2 ?1 ? 5 . 15.填 4 .【解析】根据题意有

1 1 1 1 1 1 1 1 ? , ? ? 1 ,当 a ? 0, b ? 0 时, ? ? 2 ? ,∴ ab 4 a b a b a b

∴ ab ? 4 ,即 ? ab?min ? 4 ,此时, a ? b ? 2 . 16.填 20? . 【解析】 设半径为 R 的球内接直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的上下底面外接圆的圆心分别为 O1 , O2 , 则球心 O 在线段 O1O2 的中点处,连接 OO1 , OA, O1 A ,

则 R2 ? OA2 ? OO12 ? O1 A2 ? 1 ? O1 A2 , 在 ?ABC 中,AB ? AC ? 2, ?BAC ? 120? , ∴ BC ? 2 3 ,

BC 2 3 ? 2O1 A ,∴ O1 A ? ? 2 ,∴ R ? 5 ,∴此球的表面积等于 4? R 2 ? 20? . sin ?BAC 2sin ?BAC
三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)在 Rt ?COB 中, CB ? 3 sin x , OB ? 3 cos x

OA ? DA tan 30? ? CB tan 30? ? sin x , AB ? OB ? OA ? 3 cos x ? sin x
f ? x ? ? AB ? BC ?

?

3 cos x ? sin x ? 3 sin x ? 3sin x ? cos x ? 3 sin 2 x
…6 分

?

3 3 ?? 3 ? ?? , x ? ? 0, ? ? sin 2 x ? ?1 ? cos 2 x ? ? 3 sin ? ? 2x ? ? ? 2 2 6? 2 ? 3? ?
(Ⅱ)由 0 ? x ?

?
3

,0 ? x ?

?
4

?

?
3

,得 0 ? x ?

?
12

而 y ? f ? x? ? f ? x ?

? ?

??

?? 3 ? ? ?? ?? 3 ? ? 3 sin ?2 ? x ? ? ? ? ? ? ? 3 sin ? 2 x ? ? ? 4? 6? 2 4 ? 6? 2 ? ? ?

? ? ?? ? ?? 5? ? ? ? ? 3 ?sin ? 2 x ? ? ? cos ? 2 x ? ?? ? 3 ? 6 sin ? 2 x ? ?? 3 12 ? 6? 6 ?? ? ? ? ?
∵0 ? x ? ∴ 2x ?

?
12

,∴ 0 ? 2 x ?

?
6



? 5? ? ? ,即 x ? 时, ymax ? 6 ? 3 24 12 2

5? 5? 7? ? 2x ? ? , 12 12 12
…12 分

18.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,∵ AD ∥ BC ,∴ OC : OA ? BC : AD ? 2 , 又 BN ? 2 NA ,∴ NO ∥ BC ∥ AD 在 ?PAC 中,∵ OC : OA ? BC : AD ? 2 , CM ? 2MP ,∴ OM ∥ AP ∴平面 MNO ∥平面 PAD ; …6 分

2 2 2 (Ⅱ)在 ?PAD 中, PA ? PD ? AD ? 2PD ? AD cos ?PDA ? 3

2 2 2 ∴ PA ? AD ? PD ,即 PA ? AD ,又平面 PAD ⊥平面 ABCD

∴ PA ⊥平面 ABCD ,又由(Ⅰ)知 OM ∥ AP ,∴ MO ⊥平面 ABC

且 MO ?

2 2 3 AP ? 3 3

在梯形 ABCD 中, CD ? BC ? 2 AD ? 2 ,

?BAD ? 90? ,∴ AB ? 3 ,
1 AB ? BC ? 3 2 1 2 ∴几何体 M ? ABC 的体积 V ? MO ? S ? 3 3
∴ ?ABC 的面积 S ? 19.(本小题满分 12 分) 将 3 个红球, 分别记为 a1 , a2 , a3 ,2 个黑球分别记为 b1 , b2 , 一次取 3 个球, 共有如下 a1 , a2 , a3 ;a1 , a2 , b1 ;

…12 分

a1 , a2 , b2 ; a1 , a3 , b1 ; a1 , a3 , b2 ; a2 , a3 , b1 ; a2 , a3 , b2 ; a1 , b1 , b2 ; a2 , b1 , b2 ; a3 , b1 , b2 ,10 种情形
(Ⅰ)取出的 3 个球中有 2 个红球,有 a1 , a2 , b1 ; a1 , a2 , b2 ; a1 , a3 , b1 ; a1 , a3 , b2 ; a2 , a3 , b1 ; a2 , a3 , b2 ,

6 种情形,故概率为

6 3 ? ; 10 5

…6 分

(Ⅱ)取出的 3 个球中红球数多于黑球数, a1 , a2 , a3 ; a1 , a2 , b1 ; a1 , a2 , b2 ; a1 , a3 , b1 ;

a1 , a3 , b2 ; a2 , a3 , b1 ; a2 , a3 , b2 , 7 种情形,故概率为
20.(本小题满分 12 分)

7 . 10

…12 分

?c 2 ? ? 2 2 2 (Ⅰ)根据题意有 ? a 3 ,又 a ? b ? c ,解得 a ? 3, b ? 5, c ? 2 ?2b ? 2 5 ?
∴椭圆 M 的方程为

x2 y 2 ? ?1 9 5

…5 分

(Ⅰ)不妨设 F 为椭圆 M 的右焦点 ? 2, 0 ? 当直线 l1 的斜率 k1 存在时, l1 的方程为 y ? k1 ? x ? 2? ? k1x ? m ? m ? ?2k1 ? …⑴, 设 A ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? ,把⑴代入椭圆的方程,得关于 x 的一元二次方程:

? 5 ? 9k ? x
2 1

2

? 18mk1 x ? 9m 2 ? 45 ? 0 …⑵

∵ x1 , x2 是方程⑵的两个实数解,∴ x1 ? x2 ?

?18mk1 9m2 ? 45 …⑶ , x x ? 1 2 5 ? 9k12 5 ? 9k12

又 y1 ? k1 ? x1 ? 2? , y2 ? k1 ? x2 ? 2? ∴ FA ?

? x1 ? 2? ? ? y1 ? 0?
2

2

? 1 ? k12 x1 ? 2 ,同理 FC ? 1 ? k12 x2 ? 2 ,

2 ∴ FA ? FC ? 1 ? k1 x1 x1 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 …⑷

?

?

2 把⑶代入⑷得, FA ? FC ? ?1 ? k1 ?

?18mk1 9m 2 ? 45 ?2 ? 4 …⑸ 2 5 ? 9k1 5 ? 9k12
25 …⑹ 9 ? 4cos 2 ?1 ? ? 5? 3?

记 ?1 为直线 l1 的倾斜角,则 k1 ? tan ?1 ,由⑸知 FA ? FC ?

当 l1 的斜率不存在时, ?1 ? 90? ,此时 A, C 的坐标可为 ? 2, ? 和 ? 2, ? ?

? ?

5? 3?

或 ? 2, ? ? 和 ? 2, ? ,∴ FA ? FC ?

? ?

5? 3?

? ?

5? 3?

25 …⑺ 9

由⑹⑺知,当直线 l1 的倾斜角为 ?1 时 FA ? FC ?

25 …⑻ 9 ? 4cos 2 ?1

同理,记直线 l2 的倾斜角为 ?2 时 FB ? FD ?

25 …⑼ 9 ? 4cos 2 ? 2

由 FA ? FC ? FB ? FD 得, cos2 ?1 ? cos2 ?2 ,

0 ? ?1 ,?2 ? ? ,∴ ?1 ? ?2 或 ?1 ? ? ? ?2 ,依题意 ?1 ? ?2 ,∴ ?1 ? ? ? ?2
当 ?1 ? 90? 时, AC ?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2
2

2

? 1 ? k12

? x1 ? x2 ?

2

? 4x1 x2

? 1? k
?

2 1

2 2 ? ?18mk1 ? 9m2 ? 45 30 ?1 ? k1 ? 30 ?1 ? tan ?1 ? ?4 ? ? ? 2 ? 5 ? 9k12 5 ? 9k12 5 ? 9 tan 2 ?1 ? 5 ? 9k1 ?

30 …⑽ 9 ? 4 cos 2 ?1
5 10 ? …⑾ 3 3

当 ?1 ? 90? 时, AC ? 2 ?

由⑽、⑾知当直线 l1 的倾斜角为 ?1 时, AC ?

30 …⑿ 9 ? 4cos 2 ?1

同理, BD ?

30 30 ? …⒀ 2 9 ? 4cos ?? ? ?1 ? 9 ? 4cos 2 ?1

由⑿、⒀知,四边形 ABCD 的面积为 S ?

450sin 2?1 1 AC ? BD sin 2?1 ? 2 2 ? 9 ? 4 cos2 ? ?
1

令 g ?? ? ?

? 9 ? 4 cos ? ?
2

sin 2?

2

2 ,∵ cos ? ?

1 ? cos 2? sin 2? ,∴ g ?? ? ? 2 2 ? 7 ? 2cos 2? ?

? ?? 2 ? 2 cos 2? ? 1?? cos 2? ? 4 ? sin 2? ? ? 则 g ? ?? ? ? ? 3 ? ? 7 ? 2 cos 2? ?2 ? ? 7 ? 2 cos 2? ? ? ?
∵ 0 ? ? ? ? , ∴ 0 ? 2? ? 2? ,当 0 ? 2? ?

?

3 5? 时, g? ?? ? ? 0 , g ?? ? 递减, g ?? ? 递增,当 ? 2? ? 3 3

,或

?

5? ? 2? ? 2? 时, g? ?? ? ? 0 , 3

∴当 2? ?

? ? 3 ?? ?? ? ? ? ? 时, g ?? ? 取最大值,即 g ?? ?max ? g ? ? ? ? 3 ? 6? ? 6 ? 72
时,四边形 ABCD 的面积 Smax ?

∴当 ? ?

?
6

25 3 4

…12 分

21.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)当 a ? 1 时,令 g ? x ? ? ln x ? x ? 1,则 g ? ? x ? ?

1 1? x ?1 ? x x

当 0 ? x ? 1 时, g? ? x ? ? 0 ,∴函数 y ? g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上为增函数, 当 x ? 1 时, g? ? x ? ? 0 ,∴函数 y ? g ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上为减函数, ∴ g ? x ? ? g ?1? ? 0 ,即 ln x ? x ? 1 ? 0 , …⑴, ∴ x ? 1 时, 0 ? ln x ? x ? 1 , (Ⅱ)已知 f ? x ? ?

x ?1 ? 1 ,故,由 x ? 1 , f ? x ? ? 1 成立; ln x

…5 分

ax ? 1 ,a?R , ln x

? 1 ? 1 1 a ln x ? ? a ?a ? ln ? 1? ? ? x ? x ? ax ? 1 ? x 则 f ?? x? ? ? …⑵ ? ? ? ? 2 2 ? ln x ? ? ln x ? ? ln x ?
由⑴知 x ? 0 时,且 x ? 1 时,

1 1 1 1 1 ? 0 ,故 ln ? ? 1 ,即 ln ? 1 ? …⑶ x x x x x

1 1 1 ?a ? ?1 ? a ? x x? x ?0 ⅰ)当 0 ? a ? 1 时,由⑵和 1 ? a ? 0 知 f ? ? x ? ? 2 2 ? ln x ? ? ln x ?

ax ? 1 的增区间为 ? 0,1? 和 ?1, ?? ? ln x 1 ax ? 1 ⅱ)当 a ? 1 时, ln a ? 0 ,由⑵,令 h ? x ? ? a ln x ? ? a ,则 h? ? x ? ? …⑷ x x2 1 1 1 令 h? ? x ? ? 0 ,得 x ? ,当 0 ? x ? 时, h? ? x ? ? 0 ;当 x ? 时, h? ? x ? ? 0 ; a a a
则当 0 ? a ? 1 时,函数 f ? x ? ? ∴函数 y ? h ? x ? 的减区间为 ? 0, ? ,增区间为 ? , ?? ? a a

? ?

1? ?

?1 ?

? ?

∴函数 h ? x ?min ? h ?

?1? ? ? ?a ln a ? 0 …⑸ ?a?
1 1 ? a ? ? 0 …⑹ e e

当 x ? e 时, h ? e ? ? a ln e ? 根据函数 y ? h ? x ? , x ? ?

?1 ? ?1 ? , ?? ? 为增函数,和函数零点定理及⑸⑹知,存在 x0 ? ? , e ? ,使 ?a ? ?a ?

得 h ? x0 ? ? 0 ,若 x0 ? 1 ,由 h ?1? ? 0 ,得 a ? 1 ,这与 a ? 1 矛盾,∴ 0 ? x0 ? 1 ,或 x0 ? 1 .当

?1 ? ?1 ? 0 ? x0 ? 1 时,对 ?x ? ? , x0 ? ,由函数 h ? x ? 在 ? , ?? ? 为增函数,得 h ? x ? ? h ? x0 ? ? 0 ,从 ?a ? ?a ?
而 f ? ? x ? ? 0 ,∴函数 y ? f ? x ? , x ? ?

?1 ? , x0 ? 为减函数,∴ a ? 1 不符合题意 ?a ?

当 x0 ? 1 时,对 ?x ? ?1, x0 ? ,同理, h ? x ? ? h ? x0 ? ? 0 ,从而 f ? ? x ? ? 0 , ∴函数 y ? f ? x ? , x ? ?1, x0 ? 为减函数,∴ a ? 1 不符合题意 ⅲ)当 a ? 0 时,由⑷和 x ? 0 ,知 h? ? x ? ? 0 ,∴函数 y ? h ? x ? , x ? 0 为减函数 当x?e
a ?1 a

? e ? 1 ,∴

1 a ?1 ? 1 ,∴ ln x ? ,即 a ln x ? a ? 1 ? 0 x a

∴ h ? x ? ? a ln x ?

1 ? a ? a ln x ? a ? 1 ,∴ f ? ? x ? ? 0 x

?1 ? aa ? ∴函数 y ? f ? x ? , x ? ? e , ?? ? 为减函数,∴ a ? 0 不符合题意; ? ?

综上可知,函数 f ? x ? ?

ax ? 1 的增区间为 ? 0,1? 和 ?1, ?? ? 时,实数 a ??0,1? . …12 分 ln x

22.选修 4—1:几何证明选讲

(Ⅰ)连接 DE ,因为四边形 ACED 是圆的内接四边形, 所以 ?BDE ? ?BCA ,又 ?DBE ? ?CBA ,

BE BD ? , AB BC 又 AB ? 2 BE ,所以 BC ? 2 BD …5 分 BE ED ? (Ⅱ)由(Ⅰ) ?DBE ∽ ?CBA ,知 , AB AC 又 AB ? 2 BE ,∴ AC ? 2 DE , ∵ AC ? 2 ,∴ DE ? 1 ,而 CD 是 ?ACB 的平分线∴ DA ? 1 , 设 BD ? x ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC
所以 ?DBE ∽ ?CBA ,即有 即 x ? x ? 1? ?

1 1 ,解得 x ? 1 ,即 BD ? 1 ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 1? ? ? 2 ?2 ?

…10 分

23.选修 4-4:坐标系与参数方程 (Ⅰ)直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 圆心到直线的距离为 d ? 圆 C 的方程是 x ? y ? 1
2 2

0?0? 2 12 ? 12

? 1 ,等于圆半径,
…5 分

∴直线 l 与圆 C 的公共点个数为 1 ; (Ⅱ)圆 C 的参数方程方程是 ? ∴ 4 x +xy ? y ? 4cos
2 2 2

? x ? cos ? ? x ? cos ? ? 0 ? ? ? 2? ? ∴曲线 C ? 的参数方程是 ? ? y ? sin ? ? y ? 2sin ?

? ? cos ? ? 2sin ? ? 4sin 2 ? ? 4 ? sin 2?

当? ?

?
4

或? ?

5? 2 2 时, 4 x +xy ? y 取得最大值 5 4

此时 M 的坐标为 ? ?

? 2 ? ? ? 2 或?? , 2? , ? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?

…10 分

24.选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)∵ f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ? x ? 2 ? x . 因此只须解不等式 x ? 2 ? x ? 2 . 当 x ? 0 时,原不式等价于 2 ? x ? x ? 2 ,即 x ? 0 . 当 0 ? x ? 2 时,原不式等价于 2 ? 2 ,即 0 ? x ? 2 . 当 x ? 2 时,原不式等价于 x ? 2+x ? 2 ,即 x =2 . 综上,原不等式的解集为 ?x | 0 ? x ? 2? . (Ⅱ)∵ f (ax) ? af ( x) ? ax ?1 ? a x ?1 …5 分

又 a ? 0 时, ax ?1 ? a x ?1 ? ax ?1 ? ?ax ? a ? ax ?1? ax ? a ? a ? 1 ? f (a ) ∴ a ? 0 时, f (ax) ? af ( x) ? f ( a ) . 以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分. …10 分


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