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高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωx+φ的图象课件新人教A版必修4


第一章 三角函数 1.5 函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象 [学习目标] 1.会用“五点法”作出函数 y=Asin(ωx +φ)及函数 y=Acos(ωx+φ)的图象(重点). 2.了解 y= Asin(ωx+φ)中的参数 φ,ω,A 对函数图象变化的影响, 理解函数 y=Asin(ωx+φ)与 y=sin x 的图象之间的关系 (重点、难点). 3.能根据 y=Asin(ωx+φ)的图象或部分 图象确定其解析式(易错点、易混点). [知识提炼· 梳理] 1.A,ω ,φ 对函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响: (1)φ 对函数 y=sin(x+φ),x∈R 的图象的影响. (2)ω(ω>0)对 y=sin(ωx+φ)的图象的影响. (3)A(A>0)对 y=Asin(ωx+φ)的图象的影响. 温馨提示 A、ω 决定“形变”, φ 决定“位变”; ω 影响周期;A、ω、φ 影响单调性. 2.正弦曲线到函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过 程. 3. 若函数 y=Asin(ωx+φ), x∈[0, +∞), 其中 A>0, 2π ω >0,表示简谐振动,则 A 是振幅,周期 T=______ ω , 1 ω = T 2π ,ω x+φ 称为相位,φ 称为初相. 频率 f=__________ 4.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0)的有关性质. 名称 定义域 值域 周期性 对称性 性质 R [-A,A] 2π T=_____ ω ?kπ -φ ? ? ? 对称中心? (k∈Z) , 0 ? ? ω ? kπ π -2φ 对称轴 x= + (k∈Z) ω 2ω 当 φ=kπ (k∈Z)时是奇函数, π 奇偶性 当 φ=kπ + (k∈Z)时是偶函 2 数 [思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 ? π π? ? ? y=sin?x+ ?的图象向左平移 个单位可得 3 3? ? 到 y=sin x 的图象.( ) (2)把函数 y=sin x 的图象上点的横坐标伸长到原来 的 3 倍就得到函数 y=sin 3x 的图象.( ) (3) 函数 y = 2sin(ωx + φ)(ω≠0) 的值域为 [ - 2 , 2].( ) ) (4)函数 y=3sin(2x-5)的初相为 5.( 答案:× (2)× (3)√ (4)× π 2.将函数 y=cos x 的图象向右平移 个单位长度, 3 所得图象的解析式是( π A.y=cos x+ 3 ? π? ? ? C.y=cos?x+ ? 3? ? ) π B.y=cos x- 3 ? π? ? ? D.y=cos?x- ? 3? ? π 解析:将函数 y=cos x 的图象向右平移 个单位长 3 ? π? ? 度,所得图象的解析式是 y=cos?x- ? . ? 3? ? 答案:D 3. 已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω >0)的最大值是 2π π 3,最小正周期是 ,初相是 ,则这个函数的表达式是 7 6 ( ) ? π? ? A.y=3sin?7x- ? 6? ? ? ? π? ? ? C.y=3sin?7x+ ? 42? ? ? π? ? B.y=3sin?7x+ ? 6? ? ? ? π? ? ? D.y=3sin?7x- ? 42? ? 2π π 2π 解析:由已知得 A=3,T= ,φ= ,ω= T = 7 6 7, ? π? ? 所以 y=3 sin?7x+ ? ?. 6 ? ? 答案:B 4. 要得到函数 y=sin 2x 的图象,只需将函数 y=sin x 图象上所有点的横坐标________________. 解析:要得到函数 y=sin 2x 的图象,只需将函数 y 1 =sin x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 . 2 1 答案:缩短为原来的 2 5.函数 ? π? ? ? y = 2sin ?x+ ? 图 象 的 一 条 对 称 轴 是 3? ? ________(填序号). π π π ①x=- ;②x=0;③x= ;④x=- . 2 6 6 解析:由正弦函数对称轴可知, π π x+ =kπ + ,k∈Z, 3 2 π x=kπ + ,k∈Z. 6 π k=0 时,x= . 6 答案:③ 类型 1 用“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)的简图 [典例 1] 用“五点法”画函数 ? π 5π ? ? ∈? - , ? 6 6 ? ? ? ? π? ? ? y=3sin?2x+ ?,x 3? ? 的简图. 解:①列表: π 2x+ 3 x ? π? ? y=3sin?2x+ ? 3? ? ? 0 π 3π π 2π 2 2 π π π 7π 5π - 6 12 3 12 6 0 3 0 -3 0 ? π ? ?π ? ? ? ? ? ②在坐标系中描出下列各点: ?- ,0?,? ,3?, ? 6 ? ?12 ? ?π ? ?7π ? ?5π ? ? ? ? ? ? ? , , , 0 ,- 3 , 0 ?3 ? ? 12 ? ? 6 ?. ? ? ? ? ? ? ③连线:用光滑的曲线将所描的五个点顺次连接起 来,得函数 图所示. ? ? π 5π ? π? ? ? ? ? y=3sin?2x+ ?,x∈?- , ?的简图,如 3? 6 ? ? ? 6 归纳升华 “五点法”画三角函数图象的实质就是找出函数 y =Asin(ωx+φ)的图象的五个关键点,这五个点通常是在 原点附近的一个周期内,由 y 的最小值、最大值和 y=0 时求得,即由 sin(ωx+φ)=-1,1,0 时求得,因此 x 的 π 3 取值是由 ωx+φ=0, ,π , π ,2π 求得的. 2 2 [变式训练] 用 “ 五 点 法 ” 作 出

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