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湖北省武汉市汉铁高级中学2014届高三上学期第二次周练 数学(文)试题 Word版含答案


一,

选择题

1.设复数 z1 ? 1 ? i , z 2 ? 2 ? bi (b ? R) ,若 z1 ? z 2 为实数,则 b 的值为( A. 2 B. 1
2



C. ? 1

D. ? 2

2.若集合 A={x∈R|ax +ax+1=0}其中只有一个元素,则 a= A.4 B.2 C.0 D.0 或 4 3.若平面向量 a ? (?1, 2) 与 b 的夹角是 180 ? ,且︱ b ︱ ? 3 5 ,则 b 的坐标为( A. (?3, 6) B. (3, ? 6) C. (6, ? 3) D. (?6, 3)

?

?



4. 已知函数 f ? x ? ? ? A. 1

? x ? x ? 4 ?, x ? 0, ? 则函数 f ? x ? 的零点个数为 ( ? x ? x ? 4 ?, x ? 0. ?
C. 3 D. 4



B. 2

5.将函数 y ? 3 cos x ? sin x ( x ?R) 的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位长度后,所得到的图象 关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 A.

π 12

B.

π 6

C.

π 3

D.

5π 6

6.等差数列 ?an ? 的前 n 项之和为 S n ,若 a2 ? a6 ? a10 为一个确定的常数,则下列各数中也可 以确定的是( A. S 6 ) B. S11 C. S12 )
y 1
y 1

D. S13

7.函数 f(x)=(1-cosx)sinx 在[-π,π]的图像大致为(
y 1
π

y 1
O
π

x

π

O

π

x

π

O

π

x

π

O

π

x

8.一几何体的三视图如右所示, 则该几何体的体积 为 A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π

9.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,点 A, B 在抛物线上,且 ?AFB ? 上的射影为 M ?, 则 | MM ? | 的最大值为 | AB | A.

2 π ,弦 AB 中点 M 在准线 l 3

4 3 3

B.

3 3

C.

2 3 3 D. 3

?-x2 +2 x ? 10.已知函数 f(x)=? ?ln(x+1) ?

x≤0 x>0

,若| f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( ) (C)[-2,1] (D)[-2,0]

(A) (-∞,0]

(B) (-∞,1]

二.填空题 11.设 a ? R ,函数 f ( x) ? e x ? ae? x 的导函数是 f ?( x ) ,且 f ?( x ) 是奇函数,则 a 的值为——— ———

12.在锐角△ A B C 中,角 A , B , C 所对应的边分别为 a , b , c , 若 b ? 2a sin B ,则角 A 等于 _______________.

?x ? 2 ? 0 ? 13.点 P ( x, y ) 在不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上运动,则 z ? x ? y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
___________ 14 某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 y=_________.

_ ____________

16.设 0 ? ? ? ? ,不等式 8x2 ? (8sin ? ) x ? cos 2? ? 0 对 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围 为 .

17.已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是--------三.解答题

18.(本题满分 12 分).在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知 b sin A ? 3c sin B ,

a = 3, cos B ? .
(Ⅰ) 求 b 的值;
? (Ⅱ) 求 sin ? 2 B ? ? 的值. ? ?
? 3?

2 3

19.(本题满分 12 分) 向量 a ? (m ? 1, sin x) , b ? (1,4 cos( x ? ( m ? R ,且 m 为常数) (1)若 x 为任意实数,求 g (x) 的最小正周期;

?

?

?
6

)) ,设函数 g ( x) ? a? b ,

? ?

(2)若 g (x) 在 ?0,

? ?? ? 上的最大值与最小值之和为 7 ,求 m 的值. ? 3?

(20) (本小题满分 13 分) 如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱 长均相等. D, E, F 分别为棱 AB, BC, A1C1 的中点. (Ⅰ) 证明 EF//平面 A1CD; (Ⅱ) 证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅲ) 求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值.
21.

( 本 小 题 满 分

14

分 ) 设 函 数

1 f ( x) ? ? x3 ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? 1(0 ? a ? 1) , 3
(1)求函数 f ( x ) 的极大值; (2)记 f ( x ) 的导函数为 g ( x) ,若 x ??1 ? a,1 ? a? 时,恒有 ?a ? g ( x) ? a 成立,试确定 实数 a 的取值范围. 22. (本小题满分 14 分)

已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ?的左、右焦点分别为F1,F2, 心 率 为 3, 线 离 直 a 2 b2

y ? 2与C的两个交点间的距离为 6.

(I)求 a, b; ;

(II) 设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且

AF1 ? BF1 , 证明: AF2 、 、 2 成等比数列. AB BF
参考答案 选择题

1.D 2.A
填空题 11. 1

3.B 4.C
12.

5B . 6.B

7.C 8.A 9.b. 10.D

16. 【答案】 [0, 三.解答题

?
6

? 6

13. 2

14.

63.

15.

]?[

5? ,? ] . 6

1 2

1 17. (0, ) . 2

18(I)解:在 ?ABC 中,由 可得 a=3c,又 a=3,故 c=1.

a b = ,可得 b sin A ? a sin B ,又由 b sin A ? 3c sin B , sin A sin B

2 由 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B , cos B = ,可得 b ? 6. 3

( II)解 :由 c o sB =
4 5 . 9

2 1 5 ,得 s i nB = ,进而得 cos 2B = 2cos2 B ? 1 = ? , 3 9 3

sin 2 B ? 2sin B cos B ?

? ? 4 5? 3 ?? ? 所以 sin ? 2 B ? ? =sin 2 B cos ? cos 2 B sin ? . 3 3 18 3? ?

20. (I)证明:如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,
AC ∥ AC1 ,且 AC = AC1 ,连接 ED,在 ?ABC 中,因为 D,E 分别为 AB, BC 的中点,所 1 1

1 以 DE= AC 且 DE∥AC,又因为 F 为 AC1 的中点,可得 A1F ? DE ,且 A1F ∥ DE ,即四 1 2

边形 A1DEF 为平行四边形, 所以 EF ∥ DA1. 又 EF ? 平面 ACD , DA1 ? 平面 ACD , 1 1 所以, EF ∥平面 ACD 。 1 (II) 证明: 由于底面 ABC 是正三角形, 为 AB 的中点, CD⊥AB, D 故 又由于侧棱 A1 A

⊥底面 ABC ,CD ? 平面 ABC ,所以 A1 A ⊥CD,又 A1 A ? AB ? A ,因此 CD⊥平面

A1 ABB1 ,而 CD ? 平面 ACD ,所以平面 ACD ⊥ A1 ABB1 。 1 1
(III)解:在平面 A1 ABB1 内,过点 B 作 BG⊥ A1D 交直线 A1D 于点 G,连接 CG. 由于 平面 ACD ⊥平面 A1 ABB1 ,而直线 A1D 是平面 ACD 与平面 A1 ABB1 的交线,故 BG 1 1 ⊥平面 ACD 。由此得 ?BCG 为直线 BC 与平面 ACD 所成的角。 1 1 设棱长为 a,可得 A1D ?
5a 5a ,由 ?AAD ∽ ?BGD ,易得 BG ? 。在 Rt ?BGC 1 2 5

中,sin ?BCG ?

BG 5 . ? BC 5
5 。 5

所以直线 BC 与平面 ACD 所成角的正弦值为 1

22. (Ⅰ) 由题设知

c a 2 ? b2 ? 3, ? 9 , b2 ? 8a 2 . 所以 C 的方程为 8x2 ? y 2 ? 8a 2 . 将 即 故 a a2
2

y=2 代入上式,求得, x ? ? a ?

1 1 2 2 .由题设知, 2 a ? ? 6 ,解得, a ? 1 .所以 2 2

a ? 1,b ? 2 2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, F1 (?3,0) , F2 (3,0) ,C 的方程为 8x ? y ? 8 .
2 2



由 题 意 可 设 l 的 方 程 为 y ? k ( x ? 3) , | k |? 2 2 , 代 入 ① 并 化 简 得 ,

(k 2 ? 8) x2 ? 6k 2 x ? 9k 2 ? 8 ? 0 .设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? ?1, x2 ? 1 , x1 ? x2 ?
6k 2 9k 2 ? 8 , x1 ? x2 ? 2 .于是 k ?8 k2 ?8

| AF1 |? ( x1 ? 3) 2 ? y12 ? ( x1 ? 3) 2 ? 8 x12 ? 8 ? ?(3x1 ? 1) , | BF1 |? ( x2 ? 3) 2 ? y2 2 ? ( x2 ? 3) 2 ? 8 x2 2 ? 8 ? 3x2 ? 1
由 | AF1 |?| BF1 | 得, ?(3x1 ? 1) ? 3x2 ? 1 ,即 x1 ? x2 ? ?

2 . 3

4 19 6k 2 2 ? ? ,解得 k 2 ? ,从而 x1 ? x2 ? ? . 故 2 5 9 k ?8 3
由于 | AF2 |?

( x1 ? 3) 2 ? y12 ? ( x1 ? 3) 2 ? 8 x12 ? 8 ? 1 ? 3x1 ,

| BF2 |? ( x2 ? 3) 2 ? y2 2 ? ( x2 ? 3) 2 ? 8 x2 2 ? 8 ? 3x2 ? 1 ,
故 | AB |?| AF2 | ? | BF2 |? 2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 4 ,

| AF2 | ? | BF2 |? 3( x1 ? x2 ) ? 9 x1x2 -1 ? 16 .
因而 | AF2 | ? | BF2 |? |AB|2 ,所以 | AF2 | 、 | AB | 、 | BF2 | 成等比数列.


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