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高中数学经典解题技巧和方法:(集合、常用逻辑用语)


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高中数学经典的解题技巧和方法(集合、常用逻辑用语)
【编者按】集合跟常用逻辑用语是高中数学考试的必考内容,而且是这几年考试的热点跟增长点,无 论是期中、期末还是会考、高考,都是高中数学的必考内容之一。因此,马博士教育网数学频道编辑部特 意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法,希望能够帮助到高中的同学们,让同 学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了,下面就请同学们跟我们一起来探讨下集合跟常用逻 辑用语的经典解题技巧。 首先,解答集合跟常用逻辑用语这两个方面的问题时,先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题, 同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题: 1.集合 (1)集合的含义与表示 ①了解集 合的含义、元素与集合的属于关系。 ②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。 (2)集合间的基本关系 ①理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。 ②在具体情境中,了解全集与空集的含义。 (3)集合的基本运算 ①理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集。 ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集。 ③能使用 Venn 图表达集合的关系及运算。 2.常用逻辑用语 (1)命题及其关系 ①理解命题的概念。 ②了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系。 ③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。 (2)简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”含义。 (3)全称量词与存在量词。 ①理解全称量词与存在量词的意义。 ②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。 好了,搞清楚了集合跟常用逻辑用语的基本内容之后,下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题 第 1 页(共 4 页) 数学投稿咨询 QQ:1114962912 山东世纪金榜书业有限公司

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技巧。 一、集合间的包含与运算关系问题

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考情聚焦:1.该考向涉及到集合的核心内容,所以在 近几年各省市高考中出现的频率非常高,常与函 数、方程、不等式、解析几何等知识交汇命题。 2.多以选择、填空题的形式考查,属容易的送分题。 解题技巧:解答集合间的包含与运算关系问题的思路:先正确理解各个集合的含义,认清集合元素的 属性;再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解,一般的规律为: (1)若给定的集合是不等式的解集,用数轴来解; (2)若给定的集合是点集,用数形结合法求解; (3)若给定的集合是抽象集合, 用 Venn 图求解。 例解 1:(1)(2010·福建高考文科·T1)若集合 A ? x 1 ? x ? 3 , B ? x x ? 2 ,则 A ? B 等于 ( ) A. x 2 ? x ? 3

?

?

?

?

?

?

B. x x ? 1

?

?

C. x 2 ? x ? 3

?

?

D. x x ? 2

?

?

【命题立意】本题主要考查集合的交集运算. 【思路点拨】 画出数轴,数形结合求解,注意临界点的取舍。 【规范解答】选 A,由数轴可知: A ? B ? ?x | 2 ? x ? 3? 。 (2)(2010·广东高考文科·T1)若集合 A={0,1,2,3} ,B={1,2,4} ,则集合 A ? B= A. {0,1,2,3,4} B. {1,2,3,4} C. {1,2} D. {0}

【命题立意】本题考察集合的基本运算. 【思路点拨】直接用集合并集的定义进行运算. 【规范解答】选 A , A ? B ? ?0 ,1, 2 , 3? ? ?1, 2 , 4? ? ?0 ,1, 2 ,3 , 4? ,故选 A 。 二、以集合语言为背景的新信息题 考情聚焦:1.该考向由于形式新颖,具有很好的考查学生探究、创新能力的功能,因此特别受命题专 家的青睐,而成为近几年很多省市高考中的一大亮点。 2.常与集合相关知识相类比命题,多以选择、填空题的形式出现。 解题技巧:以集合语言为背景的新信息题,常见的有定义新概念型、定义新运算型及开放型,解决此 类问题的关键是准确理解新概念或运算,通过对题目的分析,明确所要解决的问题,类比集合的有关定义 运算来解决。 例解 2: (2010·广东高考文科·T10)在集合{a,b,c,d}上定义两种运算 ? 和 ? 如下:

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那么 d ? (a ? c) ? A.a B.b C.c D.d

【命题立意】本题考查对新定义运算的理解. 【思路点拨 】根据所定义的运算法则,先算出 a ? c ,再算出 d ? (a ? c) . 【规范解答】选 A ? a ? c ? c ,? d ? (a ? c) ? d ? c ? a 故选 A . 三、命题真假的判断与否定问题 考情聚焦:1.该类问题具有一题考查多个重要考点的强大功能,从而成为高考的热点。 2.此类问题往 往综合性较强,多以选择、填空题的形式出现。 解题技巧:1.命题真假的判定方法: (1)一般命题 p 的真假由涉及到的相关交汇知识辨别真假。 (2)四种命题的真假的判断根据:一个命题和它的逆否命题同真假,而与它的其他两个命题的真假 无此规律。 (3)形如 p ? q 、 p ? q 、 ? p 命题真假根据真值根据教材中给定方法判断。 2.命题的否定形式有:

?x ? A 使
原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个

p ( x) 真
?x ? A 使

否定形式

不是

不都是



一个也没有

至少有两个

p ( x) 假

要严格区分命题的否定与否命题之间的差别。 例解 3:给出命题:已知 a 、 b 为实数,若 a ? b ? 1 ,则 ab ? 个命题中,真命题的个数是( )

1 .在它的逆命题、否命题、逆否命题三 4

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0
1 4

【解析】选 C 因为 a ? b ? 1 ? 1 ? (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? 4ab ? ab ? . 所以原命题为真命题。从而逆否 命题亦为真命题;若 ab ?

1 ,显然得不出 a ? b ? 1 ,故逆命题为假命题,从而否命题亦为假命题。故 4

在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数为 1 个。要点考向四:充分条件、必要 第 3 页(共 4 页) 数学投稿咨询 QQ:1114962912 山东世纪金榜书业有限公司

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条件、充要条件的确认与探求问题

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四、充分条件、必要条件、充要条件的确认与探求问题 考情聚焦:1.该考向涉及的是高中数学的一个重要考点,同时该类题目的背景知识丰富,可以是高中 数学的任何一个分支,因此一直是各省市高考命题的一个热点。 2.多以选择、填空题的形式考查。 例解 3: “a ? 2” 是“实系数一元二次方程 x 2 ? ax ? 1 ? 0 有虚根”的( (A)必要不充分条件 (C)充要条件 【解析】选 A 选 A。
2



(B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

“a ? 2” △= a -4<0 时,-2< a <2,因为 是“-2< a <2”的必要不充分条件,故

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