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【名师一号】2016届高考数学一轮总复习 1.1集合课件


第一章 集合与常用逻辑用语

第一节

集合

基础回扣· 自主学习

热点命题· 深度剖析

特色专题· 感悟提高

高考明方向 1.了解集合的含义,元素与集合的属于关系;能用列举法或描述 法表示集合. 2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;了 解全集与空集的含义. 3.理解并会求并集、交集、补集;能用Venn图表达集合的关系与 运算.

备考知考情 对于本节的考查,一般以选择题或填空题形式出现,难度中 低档.命题的规律主要体现在集合与集合、元素与集合之间的关 系以及集合的交集、并集、补集的运算,同时注意以集合为工 具,考查对集合语言、集合思想的理解和运用,往往与映射、函 数、方程、不等式等知识融合在一起,体现出一种小题目综合化 的特点.

J 基础回扣· 自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发

知 识 梳 理 知识点一 元素与集合

1.集合中的元素有三个性质: 确定性 , 互异性 ,无序性. 2.集合中元素与集合的关系分为 属于和不属于 分别用 ∈和? 表示. 两种,

3.常见数集的符号表示 数集 表示法 自然 数集 N 正整数集 N*或N+ 整数 集 Z 有理 数集 Q 实数 集 R

4.集合有三种表示法:

列举法,描述法,图示法



5.集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为

有限集、无限集、空集



知识点二

集合间的基本关系

知识点三 1.集合的基本运算

集合的基本运算及性质

集合的并集 集合的交集 符号 表示 图形 表示 意义 {x|x∈A或x {x|x∈A且x A∪B A∩B

集合的补集 若全集为U,则集合 A的补集为?UA

?UA={x|x∈U且x? A}

∈B}

∈B}

2.集合的运算性质 并集的性质: A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A? B?A . 交集的性质: A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A? A?B . 补集的性质: A∪(?UA)= U ;A∩(?UA)= ? ;?U(?UA)= A .

对 点 自 测 知识点一 元素与集合 )

1.i是虚数单位,若集合S={-i,0,i},则( A.i2∈S C.i2 012∈S
解析

B.i2 010∈S D.i2 013∈S
010

i2=-1?S;i2

=i2=-1?S;i2

012

=i4=1?S;i2

013

=i

∈S,故选D项.

答案 D

2.已知集合A={x|y=x2},B={(x,y)|y=x},则A∩B= ________.

答案 ?

3.已知集合M={1,m+2,m2+4},且5∈M,则m的值为 ________.

解析

因为5∈{1,m+2,m2+4},所以m+2=5或m2+4=

5,即m=3或m=± 1. 当m=3时,M={1,5,13}; 当m=1时,M={1,3,5}; 当m=-1时,M={1,1,5}不满足互异性. 所以m的值为3或1.

答案 3或1

知识点二

集合间的基本关系

4.判断下列说法是否正确. (1)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )

(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n,真子集个数是2n- 1,非空真子集的个数是2n-2.( )

答案 (1)× (2)√

5.已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A?B,则实 数a的取值范围是(c,+∞),其中c=________.
解析 由log2x≤2,得0<x≤4,

即A={x|0<x≤4}. 而B=(-∞,a). 由于A?B,如图所示,则a>4,即c=4.

答案 4

知识点三 6.

集合的基本运算及性质

设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,3,5},B= {2,4,6},则右图中的阴影部分表示的集合为( A.{2} C.{1,3,5} B.{4,6} D.{4,6,7,8} )

解析

由图知即求(?UA)∩B,而?UA={4,6,7,8},B=

{2,4,6},所以(?UA)∩B={4,6}.故选B.

答案 B

7.已知集合A={x|a-1≤x≤1+a},B={x|x2-5x+4≥0}, 若A∩B=?,则实数a的取值范围是________.
解析 集合B中,x2-5x+4≥0,∴x≥4或x≤1.

又∵集合A中a-1≤x≤1+a. ∵A∩B=?,∴a+1<4且a-1>1,∴2<a<3.

答案 (2,3)

R 热点命题· 深度剖析
研考点 知规律 通法悟道

问 题 探 究 问题1 如何正确认识集合的三大特性?

集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时 经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间 的相互转化.

问题2

?、{?}与{0}有什么区别与联系?

?是空集,不含任何元素.{?}不是空集,它含有一个元素 ?;同样,{0}也不是空集,它含有一个元素0.由于空集是任何集 合的子集,故??{0},??{?};又根据?是{?}的一个元素,也可以 得到?∈{?}.另外,{?}∩{0}=?.

问题3

如何判断集合间的关系?

判断集合关系的方法有三种 (1)一一列举观察; (2)集合元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合 元素的特征,再利用集合元素的特征判断集合关系; (3)数形结合法:利用数轴或Venn图.

问题4

如何运用数形结合思想解决问题?

数轴和Venn图是进行交、并、补集运算的有力工具,数形结 合是解集合问题的常用方法,解题时要先把集合中各种形式的元 素化简,使之明确化,尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn图 等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用 数形结合的思想方法解题.

高 频 考 点 考点一 集合的基本概念

【例1】 (1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈ A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( A.3 C.8 B.6 D.10
? b ? ? ? ?0, ,b? a ? ? ? ?

)

(2)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}= ________.

,则b-a=

听课记录

(1)由x-y∈A,及A={1,2,3,4,5}得x>y,

当y=1时,x可取2,3,4,5,有4个; 当y=2时,x可取3,4,5,有3个; 当y=3时,x可取4,5,有2个; 当y=4时,x可取5,有1个. 故共有1+2+3+4=10(个),选D.

? ? b ? ? ? ?,a≠0, 0 , , b (2)因为{1,a+b,a}= a ? ? ? ?

b 所以a+b=0,得 =-1, a 所以a=-1,b=1.所以b-a=2.

答案 (1)D (2)2

【规律方法】

(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中

代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数 集、点集还是其他类型集合. (2)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注 意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.

变式思考

1 (1)已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2= )

1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为( A.0 C .2 B.1 D.3

(2)若集合A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则实数a= ________. (3)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为____.

解析

(1)集合A表示的是圆心在原点的单位圆,集合B表示

的是直线y=x,据此画出图象,可得出图象有两个交点,即A∩B 的元素个数为2.

(2)∵集合A的子集只有两个, ∴A中只有一个元素. 2 当a=0时,x= 符合要求. 3 当a≠0时,Δ=(-3)2-4a×2=0, 9 ∴a=8. 9 故a=0或8.

(3)因为3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3. 当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3, 此时集合A中有重复元素3, 所以m=1不符合题意,舍去; 3 当2m +m=3时,解得m=-2或m=1(舍去),
2

3 1 此时当m=- 时,m+2= ≠3符合题意, 2 2 3 所以m=- . 2
答案 (1)C

9 (2)0或 8

3 (3)- 2

考点二

集合间的基本关系

【例2】 (1)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m -1},若B?A,求实数m的取值范围. (2)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x +m=0}.若(?UA)∩B=?,求m的值.

听课记录

(1)当B=?时,有m+1≥2m-1,则m≤2.

当B≠?时,若B?A,如图.

?m+1≥-2, ? 则?2m-1≤7, ?m+1<2m-1, ?

解得2<m≤4.

综上,m的取值范围是(-∞,4].

(2)A={-2,-1},由(?UA)∩B=?,得B?A. ∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m- 1)2≥0,∴B≠?. ∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}. ①若B={-1},则m=1; ②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4, 且m=(-2)· (-2)=4,这两式不能同时成立, ∴B≠{-2};

③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3, 且m=(-1)· (-2)=2,由这两式得m=2. 经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或2.

【规律方法】

(1)已知两个集合之间的关系求参数时,要明

确集合中的元素,对子集是否为空集进行分类讨论,做到不漏 解. (2)在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效手段是 合理运用数轴帮助分析与求解,另外,在解含有参数的不等式 (或方程)时,要对参数进行讨论.

变式思考 2 (1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B= {x|0<x<5,x∈N},则满足条件A?C?B的集合C的个数为( A.1 C.3 B.2 D.4 )

(2)已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B?A,则实数 a的所有可能取值的集合为( A.{-1} C.{-1,1} B.{1} D.{-1,0,1} )

解析

(1)由题意知:A={1,2},B={1,2,3,4}.又A?C?B,

则集合C可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. (2)a=0时,B={x|1≠0}=??A;a≠0时,B= 1 1 A,则-a=-1或-a=1,故a=0或a=1或-1.
? ? ? 1 ?x?x=- a ? ? ? ? ? ? ? ?

?

答案 (1)D (2)D

考点三 【例3】

集合的基本运算

(1)(2014· 新课标全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x- )

3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=( A.[-2,-1] C.[-1,1] B.[-1,2) D.[1,2)

(2)已知R是实数集,集合P={x|y=ln(x2+2 014x-2 015)}, Q={y|y= -x2+2x+3},则(?RP)∪Q=( A.(0,1] C.(-2 015,1] B.[0,1] D.[-2 015,2] )

听 课 记 录

(1)由已知,可得A={x|x≥3,或x≤-1},则

A∩B={x|-2≤x≤-1}=[-2,-1].故选A. (2)集合P表示函数y=ln(x2+2 014x-2 015)的定义域, 由x2+2 014x-2 015>0, 即(x-1)(x+2 015)>0, 解得x<-2 015或x>1. 故P=(-∞,-2 015)∪(1,+∞), ?RP=[-2 015,1].

集合Q表示函数y= -x2+2x+3的值域, 设t=-x2+2x+3,则y= t.

因为t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4≤4, 所以y= t∈[0,2],即Q=[0,2].

所以(?RP)∪Q=[-2 015,2],故选D.

答案 (1)A (2)D

【规律方法】

解决此类问题的关键在于确定集合中元素的

性质,分清数集与点集、函数的定义域与函数的值域等集合表 示;进行集合的基本运算时要注意区间端点值的取舍,防止出现 增解或漏解等现象,尤其是求解集合的补集时,要先求出该集 合,然后求其补集,防止因错误地否定条件导致错解.

变式思考 3
? ? ??1?x ?x?? ? ≤1 ? ? ??2?

(1)已知全集为R,集合A= )

? ? ?,B={x|x2-6x+8≤0},则A∩?RB=( ? ?

A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2,或x>4} D.{x|0<x≤2,或x≥4}

(2)(2015· 唐山模拟)若集合M={y|y=3x},集合S={x|y=lg(x -1)},则下列各式正确的是( A.M∪S=M C.M=S )

B.M∪S=S D.M∩S=?

解析

? ? ??1?x (1)A= ?x??2? ≤1 ? ? ?? ?

? ? ? ={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},所以 ? ?

?RB={x|x<2,或x>4},此时A∩?RB={x|0≤x<2,或x>4}. (2)M={y|y>0},S={x|x>1},故选A.

答案 (1)C (2)A

T 特色专题· 感悟提高
拓思维 提能力 启智培优

前沿热点系列之(一) 以集合为载体的创新型与交汇型问题 1.以集合为载体的创新型问题 以集合为载体的创新型问题,是高考命题创新型试题的一个 热点,常见的命题形式有新概念、新法则、新运算以及创新交汇 等,此类问题中集合只是基本的依托,考查的是考生创造性解决 问题的能力.

【典例1】

在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组

成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出 如下四个结论: ①2 014∈[4];②-3∈[3];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];

④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是( A.1 C .3 B.2 D.4 )

【规范解答】

因为2 014=402×5+4,

又因为[4]={5n+4|n∈Z}, 所以2 014∈[4],故①正确; 因为-3=5×(-1)+2,所以-3∈[2],故②不正确; 因为所有的整数Z除以5可得的余数为0,1,2,3,4,所以③正 确; 若a,b属于同一“类”,则有a=5n1+k,b=5n2+k,

所以a-b=5(n1-n2)∈[0], 反过来,如果a-b∈[0], 也可得到a,b属于同一‘类’”,故④正确. 故有3个结论正确.

【答案】

C

【名师点评】

解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两

点:(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的 问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破 解新定义型集合问题难点的关键所在.(2)用好集合的性质.解题 时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之 处用好集合的运算与性质.

对应训练 1.A,B是非空集合,若a∈A,b∈B,满足|a-b|∈A∪B, 则称a,b是集合A,B的一对“基因元”.若A={2,3,5,9},B= {1,3,6,8},则集合A,B中“基因元”的对数是( A.8 B.10 C.13 D.16 )

解析

因为A={2,3,5,9},B={1,3,6,8},所以2,1;2,3;

2,8;3,1;3,6;3,8;5,3;5,6;5,8;9,1;9,3;9,6;9,8都是A,B 中的“基因元”,共13对,故选C.

答案 C

2.以集合为载体的交汇型问题 集合的交汇性问题多与函数、方程、几何概型、三角、解析 几何等问题相联系,突破集合交汇型问题的关键是:利用数形结 合的方法,即借助函数的图象以及解析几何中的相关图形,根据 函数图象的特点以及平面图形的直观性进行求解.

【典例2】

已知平面区域M={(x,y)|x2+y2≤4},N= ? ? ? ,在区域M上随机取一点A,点A落在 ? ?
?1 3π+2? ? ? ,则实数m的取值范 , ?2 ? 4π ? ?

? ?? ? ?y≥mx+2m, ??x,y??? 2 2 ?x +y ≤4 ? ?? ?

区域N内的概率为P(N),若P(N)∈ 围为( )
? B.? ?- ?

A.[0,1] C.[-1,1]

? 3 ? ,0? 3 ?

D.[-1,0]

【规范解答】

平面区域M={(x,y)|x2+y2≤4}的面积为 ? ? ? 的面积为S,因为 ? ?

? ?? ? ?y≥mx+2m, 4π,设平面区域N= ??x,y??? 2 2 ?x +y ≤4 ? ?? ?

3π+2 1 1 S 3π+2 ≤P(N)≤ ,所以 ≤ ≤ ,2π≤S≤3π+2,直线y= 2 4π 2 4π 4π mx+2m过定点(-2,0),斜率为m,数形结合可知,当m=0时,平 面区域N的面积为2π;当m=-1时,平面区域N的面积为3π+2. 所以实数m的取值范围为[-1,0].故选D.

【答案】 D

【名师点评】

两个集合表示的都是点集,故先作出两个集

合表示的平面区域,求出平面区域 M 的面积,设平面区域 N 的面 积为 S,利用 P(N)的取值范围,可求出 S 的取值范围,再利用数 形结合,即可求出参数 m 的取值范围.

对应训练 2.设平面点集
? ? ? 1 ? ? A= ?x,y? ?y-x??y- x?≥0 ? ? ? ? ? ?,B={(x,y)|(x ? ?

-1)2+(y-1)2≤1},则 A∩B 所表示的平面图形的面积为( 3 A.4π 4 C. π 7 3 B.5π π D. 2

)

解析

? 1? 不等式(y-x)?y- x ?≥0 ? ?

y-x≥0, y-x≤0, ? ? ? ? 可化为? 1 或? 1 y- ≥0, y- ≤0. ? ? ? x ? x 集合 B 表示圆(x-1)2+(y-1)2=1 上以及圆内部的点所构成 1 的集合,A∩B 所表示的平面区域如图所示.曲线 y=x,圆(x-1)2 +(y-1)2=1 均关于直线 y=x 对称,所以阴影部分占圆面积的一 半,故选 D.

答案 D


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