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2014届高三数学一轮复习《椭圆》理 新人教B版


[第 49 讲

椭圆]

(时间:45 分钟 分值:100 分)

基础热身 1.[2013?宁德质检] 已知方程 的取值范围是( ) A.k<1 或 k>3 B.1<k<3 C.k>1 D.k<3 2.[2013?海口模拟] 设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,A 是椭圆上 1 的一点,AF2⊥AF1,原点 O 到直线 AF1 的距离为 |OF1|,则椭圆的离心率为( 2 1 A. B. 3-1 3 C. 2 2 D. 2-1
2 2

+ =1(k∈R)表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 k k+1 3-k

x2

y2

x2 y2 a b

)

x y 10 3.[2013?佛山质检] 已知椭圆 + =1 的离心率 e= ,则 m 的值为( 5 m 5
5 15 A.3 B. 或 15 3 25 C. 5 D. 或 3 3

)

4.设 P 是椭圆 + =1 上一点,M,N 分别是两圆:(x+4) +y =1 和(x-4) +y =1 25 9 上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为( ) A.9,12 B.8,11 C.8,12 D.10,12

x2

y2

2

2

2

3

能力提升 5.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两顶点分别为 A(a,0),B(0,b),且左焦点为 F,△FAB 是 以角 B 为直角的直角三角形,则椭圆的离心率 e 为( 3-1 5-1 A. B. 2 2 C. ( )

x2 y2 a b

1+ 5 3+1 D. 4 4 6.以椭圆上任意一点与焦点所连的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是 )

A.相切 C.相离

B.相交 D.无法确定

7.[2013 ?泉州质检] 已知 A1,A2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右顶点,椭 4 圆 C 上异于 A1,A2 的点 P 恒满足 kPA1?kPA2=- ,则椭圆 C 的离心率为( 9 4 2 A. B. 9 3 C. 5 5 D. 9 3 )

x2 y2 a b

8.[2 013?宝鸡三模] 设椭圆 + =1 和双曲线 -x =1 的公共焦点分别为 F1,F2,P 2 m 3 为这两条曲线的一个交点,则|PF1|?|PF2|的值等于( ) A.3 B.2 3 C.3 2 D.2 6 9.[2013?泉州四校二联] 已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x - =1 有公 a b 4 共的焦点,C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( ) 2 A.a =13 13 2 B.a = 2 2 C.b =2 1 2 D.b = 2 10.[2013?韶关一调] 已知 F1(-1,0),F2(1,0)为椭圆 2+ 2=1 的两个焦点,若椭 → → 圆上一点 P 满足|PF1|+|PF2|=4,则椭圆的离心率 e=________. 11. 以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点, 顺次连接这四个点 和两个焦点,恰好得到一个正六边形,那么这一个椭圆的离心率等于________. 12.过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标 5 4 原点,则△OAB 的面积为________. x2 y2 3 13.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的直线 a b 2 → → 与 C 相交于 A,B 两点.若 AF=3FB,则 k=________. 14. (10 分)[2013?兰州三模] 设直线 l: y=k(x+1)与椭圆 x +3y =a (a>0)相交于 A, B 两个不同的点,与 x 轴相交于点 C,记 O 为坐标原点. 2 3k 2 (1)证明:a > 2; 1+3k → → (2)若AC=2CB,求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程.
2 2 2

x2 y 2

y2

2

x2 y2

2

y2

x2 y2 a b

x2 y2

15. (13 分)[2013?江门一模] 已知直线 x- 3y+ 3=0 经过椭圆 C:2+ 2=1(a>b>0) 的一个顶点 B 和一个焦点 F. (1)求椭圆的离心率; (2)设 P 是椭圆 C 上动点,求||PF|-|PB||的取值 范围,并求||PF|-|PB||取最小值时 点 P 的坐标.

x2 y2 a b

难点突破 16.(12 分)[2013?豫北六校三联] 如图 K49-1,设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左, → 右焦点分别为 F1,F2,上顶点为 A,过点 A 与 AF2 垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q,且 2F1F2+ → F2Q=0, 过 A, Q, F2 三点的圆的半径为 2.过定点 M(0, 2)的直线 l 与椭圆 C 交于 G, H 两点(点 G 在点 M,H 之间). (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 的斜率 k>0,在 x 轴上是否存在点 P(m,0),使得以 PG,PH 为邻边的平行 四边形是菱形?如果存在,求出 m 的取值范围;如果不存在,请说明理由.

x2 y2 a b

图 K49-1

课时作业(四十九) 【基础热身】 1.B [ 解 析 ] 因 为方程

x2 k+1



y2
3-k

= 1(k∈R) 表示 焦点在 x 轴上 的椭 圆,所 以

3-k>0, ? ? ?k+1>0, 解得 1<k<3. ? ?k+1>3-k, 2.B [解析] 由条件得|AF2|=c,|AF1|= 3c,所以 2a=(1+ 3)c,e= 3-1. 5-m 10 m-5 3. D [解析] 当焦点在 x 轴上时, = , 解得 m=3; 当焦点在 y 轴上时 , 5 5 m 10 25 ,解得 m= . 5 3 4.C [解析] 最大值 2a+2,最小值 2a-2,a=5,故最大值是 12、最小值是 8. 【能力提升】 2 2 2 2 2 2 2 5.B [解析] 根据已知 a +b +a =(a+c) ,即 c +ac-a =0,即 e +e-1=0,解 -1± 5 5-1 得 e= ,故所求的椭圆的离心率为 . 2 2 =

6.A [解析] 如图,设线段是 PF1,O1 是线段 PF1 的中点,连接 O1O,PF2,其中 O 是椭 圆的中心,F2 是椭圆的另一个焦点,则在△PF1F2 中,由三角形中位线定理可知,两圆的连心 1 1 1 线的长是|OO1|= |PF2|= (2a-|PF1|)=a- |PF1|=R-r.答案 A. 2 2 2 y0 y0 4 7.D [ 解析] 设 P(x0,y0),则 ? =- ,化简得 x0+a x0-a 9

x2 y2 b2 4 0 0 + = 1 ,可以判断 = ,e= a2 4a2 a2 9
9

2 ?b? 1-? ? = a

? ?

4 5 1- = . 9 3

8.A [解析] 焦点坐标为(0,±2),由此得 m-2=4,故 m=6.根据椭圆与双曲线的定 义可得|PF1|+|PF2|=2 6,||PF1|-|PF2||=2 3,两式平方相减得 4|PF1||PF2|=4?3,所 以|PF1|?|PF2|=3. 9.D [解析] 因为椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b> 0)与双曲线 C2:x - =1 有公共的焦点, a b 4 2 2 2 所以 c =5, a =b +5;因为 C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 a2 5a2b2 5a4-25a2 2 11 2 1 C1 恰好将线段 AB 三等分,所以|OB|2= = 2 ,a = ,b = . 2= 2 9 b +4a 5a -5 2 2 1 1 → → 10. [ 解析] 由椭圆定义得 2 a=|PF1|+|PF2|=4,a=2,c=1,e= . 2 2

x2 y2

2

y2

11. 3-1 [解析] 如图所示,设 A,B 是两个焦点,P 是圆与椭圆的一个交点,则由正 六边形的性质,△PAB 是一个直角三角形,且∠BAP=30°,所以 AP=ABcos30°= 3c,BP

=c,根据椭圆定义 AP+BP=2a, 3c+c=2a,所以 e= = 5 12. 3
2 2

c a

2 3 +1

= 3-1.

?4x +5y -20=0, ? ?5 4? [解析] 将椭圆与直线方程联立? 得交点 A(0,-2),B? , ?. ?3 3? ?y=2(x-1), ?

1 1 ?4 ? 5 故 S△OAB= ?|OF|?|y1-y2|= ?1?? +2?= . 2 2 ?3 ? 3 3 4 2 1 2 3x 3y 2 2 , 可得 a = c , 则b= c, 故椭圆方程为 2+ 2 =1, 2 3 3 4c c 2 2 2 2 2 2 即 3x +12y -4c =0.设直线的方程为 x=my+c,代入椭圆方程得(3m +12)y +6mcy-c = → → 0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则根据AF=3FB,得(c-x1,-y1)=3(x2-c,y2),由此得-y1 2cm c2 cm =3y2,根据韦达定理 y1+y2=- 2 ,y1y2=- ,把-y1=3y2 代入得,y2= 2 , 2 m +4 3(m +4) m +4 c2 1 2 2 2 2 y2 = ,故 9m =m +4,故 m = ,从而 k =2,k=± 2.又 k>0,故 k= 2. 2 2 3(m +4) 2 14.解:(1)证明:依题意,直线 l 显 然不平行于坐标轴, 1 故 y=k(x+1)可化为 x= y-1. 13. 2 [解析] 根据已知 =

c a

2

2

k

1 2 2 2 将 x= y-1 代入 x +3y =a ,消去 x,得

k

?1

2 ? ?k2+3?y2-ky+1-a2=0.① ? ? 由直线 l 与椭圆相交于两 个不同的点,得 2 1 4 1+3k 2 ? ? 2 Δ = 2-4? 2+3?(1-a )>0,整理得 a >3, 2

k

?k
2

?

k

3k 2 即a> 2. 1+3k 2k (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由①,得 y1+y2= 2. 1+3k -2k → → 因为AC=2CB,得 y1=-2y2,代入上式,得 y2= 2. 1+3k 1 3 于是,△OAB 的面积 S= |OC|?|y1-y2|= |y2| 2 2 = 3|k| 3|k| 3 = . 2≤ 1+3k 2 3|k| 2
2

其中,上式取等号的条件是 3k =1,即 k=±

3 . 3

-2k 3 由 y2= . 2,可得 y2=± 1+3k 3 2 将这两组值分别代入①,均可解出 a =5. 2 2 所以,△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是 x +3y =5. 2 2 15.解:(1)依题意,B(0,1),F(- 3,0),所以 b=1,c= 3,a= b +c =2,所 c 3 以椭圆的离心率 e= = . a 2 (2)0≤||PF|-|PB||≤|BF|,当且仅当|PF|=|PB|时,取到 0,当且仅当 P 是直线 BF 与椭圆 C 的交点时,||PF|-|PB||=|BF|,|BF|=2,所以||PF|-|PB||的取值范围是[0, 2]. 设 P(m,n),由|PF|=|PB|得 3m+n+1=0,

m ?m=- 13 , ? ? 4 +n2=1, ?m=0, ? ? 由? 解得? 或? ? ?n=-1 11 ? ? 3m+n+1=0, ?n= ,
2

8 3

?

13

? 8 3 11? 所求点 P 为 P(0,-1)和 P?- , ?. ? 13 13? 【难点突破】 → → 16.解:(1)因为 2F1F2+F2Q=0, 所以 F1 为 F2Q 的中点. 设 Q 的坐标为(-3c,0), 因为 AQ⊥AF2, 2 2 2 2 所以 b =3c?c=3c ,a =4c?c=4c ,且过 A,Q,F2 三点的圆的圆心为 F1(-c,0), 半径为 2c, 故 c=1,所以 a=2,b= 3.
故所求椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)设 l 的方程为 y=kx+2(k>0), ?y=kx+2, 由?x2 y2 得(3+4k )x +16kx+4=0. + =1 ? ?4 3 2 2 方程有两不同解,则判别式 Δ =(16k) -16(3+4k )>0 1 1 得 k> 或 k<- (因 k>0,舍去). 2 2 16k 设 G(x1,y1),H(x2,y2),则 x1+x2=- 2. 3+4k → → 所以PG+PH=(x1-m,y1)+(x2-m,y2)=(x1+x2-2m,y1+y2)=(x1+x2-2m,k(x1+x2) +4), → GH=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1,k(x2-x1)). → → → 由于菱形对角线互相垂直,则(PG+PH)?GH=0, 所以(x2-x1)[(x1+x2)-2m]+k(x2-x1)[k(x1+x2)+4]=0. 2 故(x2-x1)[(x1+x2)-2m+k (x1+x2)+4k]=0. 1 因为 k> ,所以 x2-x1≠0, 2 2 所以(x1+x2)-2m+k (x1+x2)+4k=0, 2 即(1+k )(x1+x2)+4k-2m=0. 16k ? 2 ? 所以(1+k )?- 2?+4k-2m=0, ? 3+4k ? 2k 2 解得 m=- . 2,即 m=- 3+4k 3 +4k
2 2

x2 y2

?

k

1 3 3 因为 k> ,可以使 =4k,所以- ≤m<0. 2 k 6 故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是?-

? ?

3 ? ,0?. 6 ?


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