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示范教案(第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.4)


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2.4 幂函数
整体设计 教材分析 幂函数作为一类重要的函数模型, 是学生在系统地学习了指数函数、 对数函数之后研究 的又一类基本的初等函数, 幂函数模型在生活中是比较常见的, 和许多生活实例都有密切的 联系,幂函数的解析式虽然简单,但是幂函数的性质却是非常复杂的.因此,在研究幂函数的 概念和性质时,可以组织学生通过生活实例了解幂函数的概念,并通过计算机画出它们的图 象, 观察总结幂函数图象的变化情况和性质,尤其是幂指数 a 的不同取值对幂函数单调性的 影响. 通过几个常见的幂函数图象加深学生对幂函数概念的理解.对于幂函数和指数函数这两 类函数的解析式学生容易混淆, 因此在引出幂函数的概念后要组织学生结合具体的例子比较 分析它们的异同,并组织学生讨论:在我们学过的函数里面,哪些函数是幂函数?通过对幂 函数的学习, 能让学生熟练利用幂函数的性质比较两个或是多个不同指数式的大小问题和求 变量范围的问题, 同时, 借助于几个例子加深对幂函数概念的理解也是本节研究的一个重要 方面. 三维目标 1.通过具体实例引入幂函数的概念,会画几个常见的幂函数图象,并结合这几个幂函数 的图象,了解幂函数图象的变化情况和性质. 2.通过观察、 总结幂函数的性质, 培养学生概括抽象能力和识图能力.通过利用幂函数图 象解决有关问题, 使学生加深对函数概念的理解, 在这一过程中培养学生综合运用知识分析 问题、解决问题的能力. 3.在教学过程中,通过学生相互交流,来加深对幂函数概念和性质的理解,增强学生数 学交流能力,同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质. 重点难点 教学重点: 幂函数概念以及常见幂函数的图象和性质. 教学难点: ①幂指数的变化对函数图象的影响. ②数形结合解决大小比较以及求含参数的问题. 课时安排 2 课时 教学过程 第一课时 幂函数(一) 导入新课 问题 1:小明买一元钱一支的笔 ω 支,那么他需要付的钱数 p(元)和他买的笔的数量之 间的关系如何? 问题 2:小车从静止开始做加速度为 2 m/s2 的匀加速直线运动,试写出其位移 s 和时间 t 的关系. 问题 3:如果正方体的边长为 a,那么正方体的体积 V 与边长 a 的关系如何? 问题 4:如果正方形的面积为 S,则正方形的边长 a 和面积 S 的关系如何? 问题 5:如果小华 t s 内骑自行车行进了 1 km,那么他骑车的平均速度是多少? 分析:对于问题 1,它们的关系为 p=ω,根据函数的定义可知,这里的 p 是 ω 的函数; 对于问题 2,因为初速度为零,根据位移和时间的关系以及加速度的关系,可以得到以下关

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系:s=t ,这里 s 是时间 t 的函数;对于问题 3 中的正方体的体积 V 与边长 a 的关系很简单, 即 V=a3, 这里 V 是 a 的函数; 对于问题 4, 由正方形的面积 S 和边长 a 的关系可以得到 S=a2,
1

2

所以正方形的边长 a 和面积 S 的关系为 a=S 2 ,这里边长 a 是面积 S 的函数;问题 5 中的平 均速度为 v=t-1 km/s,这里的平均速度 v 是时间 t 的函数. 合作探究: 以上是我们生活中经常遇到的几个函数模型, 你能发现上述几个函数解析式 的共同点吗?
1

分析:由上述的 p=ω;s=t2;V=a3;a=S 2 ;v=t-1 这几个函数模型,我们可以发现,解 析式的右边都是指数式,而且底数都是自变量.如果设自变量为 x,因变量为 y,则以上的解
1

析式就有以下具体的函数式:y=x;y=x ;y=x ;y=x 2 ;y=x-1.这几个函数式满足 y=xα 这种
2 3

形式, 我们把此类函数叫幂函数, 这就是今天我们将要所学的又一类重要的基本初等函数模 型. 推进新课 新知探究 1.一般地,我们把形如 y=xα 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,a 是常数. 思考: 幂函数与指数函数有什么区别? (组织学生回顾指数函数的概念,明确二者的区别,得出如下结论) 结论: 幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数, 从它们 的解析式来看有如下区别:对幂函数来说,底数是自变量,指数是常数;对指数函数来说, 指数是自变量,底数是常数.
1

2.请同学们在同一个坐标系内画出 y=x;y=x2;y=x3;y=x 2 ;y=x-1 的函数图象(提示学 生画图要列表、描点、连线),条件好的学校可以利用计算机几何画板画出上述的几个函数 图象.

注:y=x,y=x2 这两个函数图象以前学过,学生很容易就可以画出,可以不用列表描点
1

了,关键是 y=x ;y=x 2 ;y=x-1 这三个函数图象该如何绘制呢?老师可以边巡视边提示. 教师用多媒体显示如下图表,请学生完成下列表格的内容: y=x y=x2 y=x3
1

3

y=x 2

y=x-1

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定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 图象范围
1

合作探究:根据上表的内容并结合图象,试总结 y=x;y=x2;y=x3;y=x 2 ;y=x-1 的共 同性质(学生交流,老师结合学生的回答组织学生总结出如下性质).
1

1.图象均过(1,1)点,特别的,y=x;y=x ;y=x ;y=x 2 的图象过原点和(1,1)点,而 y=x-1 的图象过定点(1,1)点.
1

2

3

2.在第一象限,y=x;y=x ;y=x ;y=x 2 是单调递增的,其中 y=x2,y=x3 在(1,1)点的
1

2

3

右侧是高于 y=x 的图象的,y=x 2 在(1,1)点的右侧是低于 y=x 的图象的,而 y=x-1 是单调递 减的.
1

3.y=x;y=x3;y=x-1 是奇函数,y=x2 是偶函数,y=x 2 为非奇非偶函数. 注:y=x-1 在区间(-∞,0)和(0,+∞)是减函数,能否说 y=x-1 在定义域内是减函数呢?答 案是否定的,原因如下:如果说 y=x-1 在定义域内是减函数,根据函数单调性的定义,对于 定义域(-∞,0)∩(0,+∞)内任意的值,当 x1,x2∈(-∞,0)∪(0,+∞)且 x1<x2 有 y1>y2,但是 在-2<1 时,却有(-2)-1<(1)-1 不能满足减函数的定义. 注意:当函数 f(x)的定义域不连续时,如果它在两个区间上都单调递增或单调递减,不 能说函数在定义域上单调递增或单调递减, 需分区间分别叙述函数 f(x)在各个区间上的单调 性. 应用示例 例 1 求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.
3 2 2

(1)y=x ;(2)y=x 3 ;(3)y=x

?

3 2

;(4)y=x-2.

问题 1: 观察以上函数的解析式, 你能发现解析式中对于自变量 x 都有哪些限制条件吗? (学生进行交流,并得出如下结论) 结论:在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,根据“偶次根 号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域;当函数的解析式的幂指数为负数时,根据负 指数幂的意义将其转化为分式形式,根据“分式的分母不能为 0”这一限制条件来求出对应函 数的定义域. 问题 2:如何来判断函数的奇偶性呢? (学生进行交流,并得出如下结论) 结论:首先要看函数的定义域是否关于数 0 对称,然后根据定义域内的任意自变量 x 是否有 f(-x)=f(x),或 f(-x)=-f(x)来进行判断. 下面请同学们根据我们的分析给出完整的解答过程,老师进行课堂评价.
3

解:(1)函数 y=x 2 即 y= 数,在(0,+∞)上单调递增.

x

3

,其定义域为[0,+∞),所以它既不是奇函数也不是偶函

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2

(2)函数 y=x 3 即 y= 3 x 2 ,其定义域为 R,是偶函数,它在区间(0,+∞)上单调递增,在 区间(-∞,0)上单调递减.
? 3 2

(3)函数 y=x

即 y=

1 x
3

,由 x3>0 得其定义域为(0,+∞),所以它既不是奇函数也不

是偶函数,在(0,+∞)上单调递减. (4)函数 y=x-2 即 y=
1 x
2

,由 x2≠0 得其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因此函数 y=x-2 在定义

域上是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减. 探究:请同学们根据我们以上的分析,把上述函数图象的大概形状画出来.并总结归纳 幂函数的指数变化时对幂函数定义域的影响. (学生讨论交流,老师结合学生的交流内容,总结并简单板书如下) (1)α∈N+时,x∈R; (2)α∈Z 且 α≤0 时,x∈(-∞,0)∪(0,+∞); (3)α=
n m

(其中 m,n 互质,且 m,n∈N+)时,若 m 是偶数,则 x∈{非负实数},若 m 是

奇数,则 x∈R. (4)α=n m

(其中 m,n 互质,且 m,n∈N+)时,若 m 是偶数,则 x∈{正实数},若 m 是

奇数,则 x∈(-∞,0)∪(0,+∞). 点评: 这两个变式考查了幂函数的定义和幂函数图象特征的综合应用, 尤其是幂指数的 值对幂函数的单调性以及奇偶性的影响, 这是学生在充分掌握幂函数的图象和性质的基础上 才能解决的问题. 合作探究: 我们研究的几个常见幂函数的性质, 这些性质是否也适用于其他的幂函数? (师生共同探究,师使用几何画板软件,画出函数 y=xα 的图象,改变指数 α 的值,组织 学生观察、分析所得到的函数图象,在动态变化过程中让学生了解幂函数的性质,得出如下 结论) 知识拓展:幂函数 y=xα 图象的基本特征是:当 α>0 时,图象过原点和(1,1)点,且在 第一象限随 x 的增大而上升,当 α>1 时,在(1,1)点的右侧是高于 y=x 的图象的,即图象 越靠近 y 轴;当 0<α<1 时,在(1,1)点的右侧是低于 y=x 的图象的,即图象越靠近 x 轴; 当 α<0 时,图象不过原点而过(1,1)点,且在第一象限随 x 的增大而下降.可以用一句话来概 括:幂函数在第一象限的图象,当幂指数越大时,函数图象也越高. 例 2 根据下列条件对于幂函数 y=xα 的有关性质的叙述,分别指出幂函数 y=xα 的图象 具有下列特点时的 α 的值,其中 α∈{-2,-1, ?
1 2

,

1 3

,

1 2

,1,2,3}.

(1)图象过原点,且在第一象限随 x 的增大而上升; (2)图象不过原点,不与坐标轴相交,且在第一象限随 x 的增大而下降; (3)图象关于 y 轴对称,且与坐标轴相交; (4)图象关于 y 轴对称,但不与坐标轴相交; (5)图象关于原点对称,且过原点; (6)图象关于原点对称,但不过原点. 解:(1)因为幂函数 y=xα 的图象过原点,可知幂指数为正数.又函数图象随 x 的增大而上

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升,所以 α=
1 3



1 2

,1,2,3.

(2)因为幂函数 y=xα 的图象不过原点,可知幂指数不大于 0.又函数图象不与坐标轴相交 且在第一象限随 x 的增大而下降,所以 α=-2,-1, ?
1 2

.

(3)因为幂函数 y=xα 的图象关于 y 轴对称,所以此幂函数为偶函数,又与坐标轴相交, 可知幂指数 α=2. (4)因为幂函数 y=xα 的图象关于 y 轴对称, 所以此幂函数为偶函数, 但不与坐标轴相交, 所以幂指数 α=-2. (5)因为幂函数 y=xα 的图象关于原点对称,所以此幂函数为奇函数,又图象过原点,所 以 α=
1 3

,1,3.

(6)因为幂函数 y=xα 的图象关于原点对称,所以此幂函数为奇函数,又图象不过原点, 所以 α=-1. 点评:通过本例的训练,加深学生对幂函数的学习和认识,对于我们生活中常见的幂函 数有了更深刻的了解,我们可以根据幂函数的幂指数的具体值,来判定幂函数图象过定点, 在第一象限的单调性,在定义域上的奇偶性;也可根据幂函数图象过定点,在第一象限的单 调性,以及在定义域上的奇偶性来判定幂指数的具体取值,达到了这样的学习要求,就掌握 了幂函数的概念和图象,从而达到我们的教学目标. 例 3 已知函数 y= 4 15 ? 2 x ? x 2 , (1)求函数的定义域、值域; (2)判断函数的奇偶性; (3)求函数的单调区间. 分析:这是个幂函数的复合函数形式,本例中的函数的基本形式是开偶次方根,故定义 域只要根式下大于或等于 0 即可,值域要先求根式下面二次函数的值域,然后再开方;对于 复合函数奇偶性的判断,要先求定义域,定义域首先要关于原点对称,然后根据对定义域内 的任意自变量 x 是否有 f(-x)=f(x),或 f(-x)=-f(x)来进行判断,满足前者为偶函数,满足后者 为奇函数; 对于复合函数单调区间的求解, 则要在定义域内根据内函数和外函数的单调性来 综合判断. 解:令 t=15-2x-x2,则 y= 4 t . (1)由 15-2x-x2≥0 ? -5≤x≤3,得函数的定义域为[-5,3] ; 2 2 而 t=15-2x-x =16-(x+1) ∈[0,16] ,所以函数的值域为[0,2]. (2)因为函数的定义域为[-5,3]不关于原点对称,所以函数既不是奇函数也不是偶函 数. (3)因为函数的定义域为[-5,3] ,对称轴为 x=-1,所以当 x∈[-5,-1]时,t 随 x 的 增大而增大;当 x∈[-1,3]时,t 随 x 的增大而减小.又因为 y= 4 t 在 t∈[0,16]时,y 随 t 的增大而增大, 所以函数 y= 4 15 ? 2 x ? x 2 的单调增区间为 [-5, , -1] 单调减区间为 [-1, 3]. 知能训练 一、课本第 73 页练习 1、2.

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解答: 1.(1)幂函数 y=x 的定义域为 R, 为偶函数; (2)幂函数 y=x 4 的定义域为 [0, +∞), 既不是奇函数也不是偶函数;(3)幂函数 y=x-3 定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),为奇函数. 2.该函数的单调增区间为(-∞,+∞).

4

二、补充练习 1.下列函数中,是幂函数的是( A.y=2x B.y=2x2

) C.y=
1 x

D.y=2x

分析:由幂函数的定义知,形如 y=xα 的形式. 答案:C 2.下列结论正确的是( ) A.幂函数的图象一定过原点 B.当 α<0 时,幂函数 y=xα 是减函数 C.当 α>1 时,幂函数 y=xα 是增函数 D.函数 y=x2 既是二次函数,也是幂函数 分析:对于 A,只有幂指数 α>0 时,幂函数的图象过原点;对于 B,当 α<0 时,幂函 数 y=xα 在第一象限是减函数;对于 C,当 α>1 时,幂函数 y=xα 在第一象限是增函数,而 不能说整个函数是增函数;对于 D,显然是对的. 答案:D 3.下列函数中,在区间(-∞,0)上是增函数的是( ) A.y=2x3 B.y=x2 C.y=
1 x
3

D.y=-2x 2

分析:由幂函数的图象特征可得. 答案:A 4.函数 y=(x -2x)
2
? 1 2

的定义域是(

) B.(-∞,0)∪(2,+∞) D.(0,2)

A.{x|x≠0 或 x≠2} C.(-∞,0]∪[2,+∞) 分析:由函数 y=(x -2x) 答案:B
1

2

?

1 2

=
x
2

1 ? 2x

可得,x2-2x>0.

5.对于函数 y=x 和 y=x 2 有下列说法:a.两个函数都是幂函数;b.两个函数在第一象限 都是单调递增的;c.它们的图象关于直线 y=x 对称;d.两个函数都是偶函数;e.两个函数都 经过(0,0)、(1,1)点;f.两个函数的图象都是抛物线形;g.两个函数互为反函数. 其中正确的是______________(把你认为正确的都写上).

2

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1

分析:由 y=x 和 y=x 2 这两个幂函数的图象特征可以观察出 a、b、e、f 是正确的. 答案:a、b、e、f 课堂小结 1.幂函数的概念及其和指数函数表达式的区别. 2.常见幂函数的图象特征. 3.幂指数取值不同时对函数图象的影响. 4.给出幂函数能求出其幂函数的定义域、值域,判断函数的奇偶性,求函数的单调区间 等问题. 作业 1.课本第 73 页习题 2.4 的 1、3. 2.借助有关数学软件,通过研究,写一篇“幂指数对幂函数性质的影响”的小论文.要求要 详细,如定点,单调性,奇偶性等. 设计感想 这节课是幂函数的第一课时, 主要教学目标就是幂函数的概念和图象以及常见幂函数的 性质.本来学生对幂函数的概念比较陌生,但是本课时采用了从生活实例导入,让学生感受 幂函数就在我们身边,从而增近学生和幂函数的距离,这是本节的一大亮点.由实例得到的 函数模型引出课题, 即幂函数的概念, 它的形式和指数函数在形式上有些相似, 但是又不同, 试让学生比较两个函数的区别,从而让学生把两者区分开.并采用通过几个常见幂函数的图 象来研究幂函数的图象特征, 尤其是幂指数的变化对幂函数性质的影响, 这要靠教师在课堂 上利用计算机演示给学生看,让学生深刻地理解和掌握幂函数的概念和图象. 本节采用三个例题来加强幂函数概念的理解, 1 是求幂函数的定义域, 例 并指出幂函数 的单调性,奇偶性;例 2 是在学生充分了解幂函数的图象和性质的基础上设计的,根据幂函 数图象的过定点、关于坐标轴或原点对称来确定题目中所给出的幂指数的具体值.例 3 是对 例 2 的补充和加深,难度比较大,老师可根据学生的情况选择性地讲解.在作业中设计了让 学生通过自己利用数学软件画出幂函数的图象来自己研究幂函数的性质,并通过写小论文 “幂指数对幂函数性质的影响”来加深学生自主学习的能力,并加深对幂函数的理解和掌握. (设计者:王银娣) 第二课时 幂函数(二) 导入新课 复习导入 上节课我们学习了幂函数的概念以及常见幂函数的图象和性质, 请同学们回顾一下有关 知识. 1.定义:形如 y=xα 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数. 2.幂函数 y=xα 的性质:当 α>0 时:①图象都过点(0,0)和(1,1);②函数在区间(0,+∞) 上是增函数,即图象在第一象限是单调递增的;③当 x>1 时,指数大的图象在上方;当 0 <x<1 时,指数大的图象在下方. 当 α<0 时:①图象不过原点而过(1,1)点;②函数在区间(0,+∞)上是减函数,即图象在 第一象限是单调递减的;③在第一象限内,图象向上无限接近 y 轴,向右无限接近 x 轴;④ 当 x>1 时,指数大的图象在上方;当 0<x<1 时,指数大的图象在下方. 无论指数正负如何,他们都有共同的性质:①图象都过点(1,1);②当 x>1 时,指数大 的图象在上方;当 0<x<1 时,指数大的图象在下方. 应用示例 思路 1

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3 4 1 3

例 1 幂函数 y=x ,y=x ,y=x A.M ? N ? P
3

?

4 3

的定义域分别 M、N、P,则( C.M ? P ? N D.以上都不对
1

)

B.N ? M ? P

分析:把上述三个幂函数的定义域分别求出来,看定义域之间的包含关系即可. 解:因为 y=x 4 = 4 x 3 ,所以 x≥0,即得 M=[0,+∞);函数 y=x 3 的定义域为 R,即
? 4 3

N=R;函数 y=x

=
3

1 x
4

,可得 x≠0,于是 P=(-∞,0)∪(0,+∞).所以选 D.

点评:求幂函数的定义域时,需先把分数指数幂化为根式,然后令根式有意义,列出相 应的不等式或不等式组,解不等式或不等式组就得到函数的定义域.以下总结当 α 为有理数 时函数 y=xα 的定义域的情况: (1)当 α=0 时,y=xα 的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞); (2)当 α 是正整数时,y=xα 的定义域是 R; (3)当 α 是正分数时,设 α=
p q

(p,q 为互质的正整数,且 q>1),如果 q 是奇数,定义域

是 R;如果 q 是偶数,此时定义域为[0,+∞); (4)当 α 是负整数时,设 y=xα 定义域是(-∞,0)∪(0,+∞); (5)当 α 是负分数时,设 α=p q

(p,q 为互质的正整数,且 q>1),如果 q 是奇数,则定

义域是(-∞,0)∪(0,+∞);如果 q 是偶数,定义域是(0,+∞). 例 2 已知函数满足 f(x)=ax5+bx3+cx-10,且 f(3)=10,求 f(-3)的值. 解:令 g(x)=ax5+bx3+cx,则 f(x)=g(x)-10 对于任意实数 x,都有 g(-x)=a(-x)5+b(-x)3+c(-x)=-(ax5+bx3+cx)=-g(x),故 g(x)为奇函数. 因 为 f(3)=10 , 即 f(3)=g(3)-10=10 , 得 g(3)=20 , 于 是 有 g(-3)=-20 , 所 以 f(-3)=g(-3)-10=-20-10=-30. 点评:学会用整体思想考虑,考查整体的奇偶性进而求值.出现的误区:不能准确采用 整体思想考虑,导致不知如何着手. 例 3 求下列各式中参数 a 的取值范围:
3 4 3 4 2 3 2

(1)a >0.5 ;(2)(-2)

>(2a+4) 3 .
3 3 3

解:(1)因为 a≥0,又幂函数 y=x 4 为区间(0,+∞)上的增函数,由 a 4 >0.5 4 可得 a>0.5, 所以 a 的取值范围是(0.5,+∞).
2

(2)方法一:函数 y=x 3 为偶函数,在[0,+∞)上为单调递增,在(-∞,0)上单调递减. 故有 ?
?2a ? 4 ? 0 ?2a ? 4 ? 2

或?

?2a ? 4 ? 0 ?2a ? 4 ? ?2

,解得-2≤a<-1 或-3<a<-2,

综上可得参数 a 的范围是-3<a<-1.
2

方法二:函数 y=x 3 为偶函数,在[0,+∞)上为单调递增,在(-∞,0)上单调递减.所以

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2 3 2

自变量离 y 轴越远则函数值就越大,由(-2) >(2a+4) 3 ,可得|2a+4|<2,解得-3<a<-1,所 以参数 a 的范围是(-3,-1). 点评:当幂指数相同时,根据幂函数的单调性,只要比较自变量的大小即可.求参数的 问题时,要找准相应的幂函数,先看定义域,根据幂函数的奇偶性和单调性建立不等式或不 等式组,遇到幂函数是偶函数时,要注意分区间进行讨论. 例 4 证明:y=
x 在区间(0,+∞)上是增函数.

证明:任取 x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2,则有 f(x1)-f(x2)=
x1 ? x2 ? ( x1 ? x 2 )( x1 ? x1 ? x2 x2 ) ? x1 ? x 2 x1 ? x2



因为 0<x1<x2,所以 x1-x2<0, x 1 ?

x 2 >0,则有

x1 ? x 2 x1 ? x2

<0.

所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),所以 y=

x 在区间(0,+∞)上是增函数.

点评:在对两个函数值进行作差比较时,要化简到最简.本题中对根式作差采用的是分 子有理化,因为这样就可以利用题意中 x1<x2 这个条件,直接进行判断. 思路 2 例 1 图中曲线是幂函数 y=xα 在第一象限的图象,已知 α 可取± 2,± 四个值,则相应
2 1

于曲线 C1,C2,C3,C4 的 α 依次为(

)

A.-2, ?

1 2

,

1 2

,2

B.2,

1 2

,?

1 2

,-2

C. ?

1 2

,-2,2,

1 2

D.2,

1 2

,-2, ?

1 2

分析:因为曲线 C3,C4 的图象是递减的,所以 α3<0,α4<0.又因为在(1,+∞)上,C3 的图 象高于 C4 的图象,故 α4<α3<0,于是有 α3= ?
1 2

,α4=-2;C1,C2 的图象是递增的,所以
1 2

C1>0, 2>0.又因为在(1, C +∞)上, 1 的图象高于 C2 的图象, α1>α2>0, C 故 所以 α1=2, 2= α 综上可得. 答案:B 例 2 点( 3 ,3)在幂函数 y=f(x)的图象上,点(-2 2 , 试解下列不等式:(1)f(x)>g(x);(2)f(x)<g(x).
1 8

.

)在幂函数 y=g(x)的图象上,

解: f(x)=xα, 设 g(x)=xβ.因为点( 3 ,3)在幂函数 y=f(x)的图象上, 所以( 3 )α=3, 解得 α=2;

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同样由点(-2 2 ,
1 8

)在幂函数 y=g(x)的图象上,得(-2 2 )β=

1 8

,解得 β=-2.所以 f(x)=x2,

g(x)=x-2. (1)由 f(x)>g(x),可得 x2>x-2,即 x4>1,所以|x|>1,得 x<-1 或 x>1. 所以不等式 f(x)>g(x)的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞). (2)由 f(x)<g(x),可得 x2<x-2,即可得 0<x4<1,所以-1<x<0 或 0<x<1. 所以不等式 f(x)<g(x)的解集为(-1,0)∪(0,1). 点评:在求不等式 f(x)<g(x)的解集时,应特别注意 g(x)的定义域,要注意 x≠0. 例 3 求下列各式中参数 a 的范围:
? 1 3

(1)(a+1)

<(3-2a)

?

1 3

;(2)(a-1)

?

2 3

>(2+a)

?

2 3

.

分析:已知同指数的两个幂值的大小,可以利用幂函数的单调性进行比较自变量即可, 但是要注意幂函数的定义域、单调性和奇偶性. 解:(1)因为幂函数 y=x
?a ? 1 ? 0, ? ?3 ? 2 a ? 0, ?3 ? 2 a ? a ? 1 ?
? 1 3

的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),故要分下列情况讨论:
?a ? 1 ? 0, 或? ?3 ? 2 a ? 0.

?a ? 1 ? 0, ? 或 ?3 ? 2 a ? 0, ?3 ? 2 a ? a ? 1 ?

解上面的不等式组:得
? 2 3

2 3

<a<

3 2

或 a<-1.综上可得 a 的范围是(-∞,-1)∪(

2 3


? 2 3

3 2

).

(2)函数 y=x
? 2 3

为偶函数, 在(0,+∞)上为单调递减, 在(-∞, 0)上单调递增.由(a-1)
1 2

>(2+a)

可得 0<|a-1|<|2+a|,解得 a> ?

,且 a≠1.所以 a 的范围是( ?

1 2

,1)∪(1,+∞).

点评:利用幂函数的单调性求参数的问题时,需注意:找准相应的幂函数,准确判断幂 函数的奇偶性和单调性;定义域不要遗漏;注意分类讨论的思想. 例 4 判断函数 y= ? x +1 的单调性并给出证明. 解:因为-x≥0,得 x≤0,即函数的定义域为(-∞,0] ,在定义域内任取 x1,x2,且 x1< x2,则 f(x1)-f(x2)= ? x 1 ? 1 ? ( ? x 2 ? 1) = ? x 1 ?
? x2 ? x 2 ? x1 ? x1 ? ? x2



因为 x1<x2≤0,故有-x1>-x2≥0,所以 x2-x1>0, ? x 1 ? 所以
x 2 ? x1 ? x1 ? ? x2

? x 2 >0,

>0,即 f(x1)-f(x2)>0,所以 f(x1)>f(x2).

所以函数 y= ? x +1 为在定义域(-x,0]上的减函数. 例 5 已知幂函数 y= x n 的值.
n ?2n?3
2

(n∈N)为偶函数,它的图象与坐标轴都无交点,求自然数

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解:因为函数 y= x
n ?2n?3
2

(n∈N)的图象与坐标轴都无交点,于是有 n2-2n-3≤0,即得

-1≤n≤3,n∈N,所以 n 可取-1,0,1,2,3,又此函数为偶函数,故指数为非负偶数. 当 n=-1 或 n=3 时,y=x0 满足题意;当 n=0 或 n=2 时,y=x-3,不满足题意,故舍去;当 n=1 时,y=x-4 满足题意. 综上可得:n 可取-1,1,3. 点评:不要漏掉 n=-1 或 n=3 的情况,即函数解析式为 y=x0 的情况,教师在教学时要结 合图象讲解. 知能训练
1 3 1

1.在下列四个函数(1)y=x ,(2)y=x 2 ,(3)y=x-2,(4)y=x0 中为偶函数的是(

) )

A.(1) B.(1)(3) C.(3)(4) D.(1)(2)(3)(4) n 2.当 x∈(0,1)时, 幂函数 y=x (n∈Q)的图象在直线 y=x 的上方, n 的取值范围为( 则 A.n<1 B.n>1 C.0<n<1 D.0≤n<1 3.若 0<m<n<1,则( ) -m -n -m A.m >m B.m >n-n C.mn>nn D.nm>mm
1

4.函数 y=1+ x ? 1 的图象可以看成由幂函数 y=x 2 的图象( A.向左平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位得到的 B.向左平移 1 个单位,再向下平移 1 个单位得到的 C.向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位得到的 D.向右平移 1 个单位,再向下平移 1 个单位得到的
3

)

5.已知函数 g(x)的图象与函数 f(x)=x 2 +1 的图象关于直线 y=x 对称,则 g(9)的值等于 ( ) A.2 B.4 C.28 D. 2

6.若(x-1)-2>(2+x)-2,则 x 的取值范围是____________. 答案:1—5:C、A、D、C、B;6. 答案:( ?
1 2

,1)∪(1,+∞).

点评:此练习是在掌握幂函数性质的基础上的加深练习,对知识起巩固作用. 课堂小结 1.利用幂函数的单调性比较几个数值的大小; 2.幂函数的单调性; 3.幂函数的奇偶性; 4.运用幂函数的单调性以及奇偶性求解一些含参数的问题. 作业 课本第 73 页习题 2.4 第 2、4、5 题. 设计感想 本节课是幂函数的第二节课时, 主要研究根据幂函数的性质, 比较两个或多个同指数的 指数式的大小问题、利用幂函数的单调性求参数的问题、用定义证明单调性问题、复合函数 的定义域、值域以及单调区间等问题. 设计思路一选取的例题比较基础, 但考查的知识点很全面, 有利于学生对幂函数的基本 性质的掌握,适合普通班的教学.设计思路二也解决了利用幂函数的单调性进行大小比较、

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求解参数、单调性证明等问题,但是在例题的选取上作了精心的挑选.对学生的审题、解题 能力要求比较高,适合中等以上的学生学习.在教学过程中老师可利用学校的教学资源进行 多媒体教学, 数形结合授课学生比较容易接受.通过利用幂函数的图象和性质解决有关问题, 使学生加深对幂函数概念的理解, 在这一过程中培养学生综合运用知识分析问题、 解决问题 的能力,同时增强学生数学交流能力. 习题详解 课本第 73 页习题 2.4
1 1 1

1.(1)因为函数 y=x 2 在定义域 +∞)上单调递增, 0<5.23<5.24, [0, 且 所以 5.23 2 <5.24 2 ; (2)因为函数 y=x-1 在定义域(0,+∞)上单调递减,且 0<0.26<0.27,所以 0.26-1>0.27-1;(3) 因为函数 y=x3 在定义域 R 上单调递增,且-0.72>-0.75,所以(-0.72)3>(-0.75)3.
2

2.(1)因为 y=x 3 = 3 x 2 ,所以函数的定义域为 R;
5

(2)因为 y=x 6 = 6 x 5 ,所以函数的定义域为[0,+∞);
? 4 5

(3)因为 y=x

=
5

1 x 1
2 4

,所以函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞);

?

3 2

(4)因为 y=x

=

,所以函数的定义域为(0,+∞).
3

x

2 3

2

3.如图, 根据已知可得函数 y=x 的定义域为 R, 由函数奇偶性的定义可得函数 y=x 3 是 偶函数,所以它的图象关于 y 轴对称,且在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单 调递增.

4.如图,

1 2

1

函数 y=x 的图象和函数 y=x 3 的图象的共同点是:都过点(0,0),(1,1);且在定义域

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1 2 1

内是增函数.不同点是:y=x 是非奇非偶函数,y=x 3 是奇函数. 函数 y=x-1 的图象和函数 y=x-2 的图象的共同点是:都过点(1,1),且在区间(0,+∞)上是 减函数.不同点是:y=x-1 是奇函数,y=x-2 是偶函数. 5.设正比例常数为 k,车身长为 l,则 d=klv2.依题意得 1.44× 4=k· 2× 60 4,解得 k=0.000 4, 所以 d=0.000 4v2· 4=0.001 6v2=0.5× 4,则 v=25 2 km/h.所以 d= ?
? 2 , 0 ? v ? 25 ?
2

2, 2.

? 0 . 0016 v , v ? 25 ?

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