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2.3.2数学归纳法的应用ppt课件(20张) 高中数学选修4-5 北师大版


3.2 数学归纳法的应用 学习目标 1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式,特别是 绝对值不等式、平均值不等式和柯西不等式. 2.了解贝努利不等式,学会贝努利不等式的简单应用. 3.会用数学归纳法证明贝努利不等式. 预习自测 1.对任何实数x≥-1和任何正整数n,有(1+x)n≥1+nx. ≤ 1+αx; 2.设α为有理数,x>-1,如果0<α<1,则(1+x)α__ x=0 ≥ 1+αx,当且仅当_____ 如果α<0或者α>1,则(1+x)α__ 时等号成立. 典例剖析 知识点1 用数学归纳法证明绝对值不等式 【例1】 设x1,x2,…,xn为实数,证明:|x1+x2+…+xn|≤ |x1|+|x2|+…+|xn|. 证明 (1)∵|x1+x2|≤|x1|+|x2|, ∴n=2时命题成立. (2)假设命题n=k (k≥2,k∈N*)时成立,即 |x1+x2+…+xk|≤|x1|+|x2|+…+|xk|, 于是,当n=k+1时, |x1+x2+…+xk+1|=|(x1+x2+…+xk)+xk+1| ≤|x1+x2+…+xk|+|xk+1| ≤|x1|+|x2|+…+|xk|+|xk+1|. 即当n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对于任意n∈N*命题都成立. 1.证明不等式|sin nθ|≤n|sin θ| (n∈N*). 证明 (1)当n=1时,上式左边=|sin θ|=右边,不等式成立. (2)假设当n=k (k≥1)时,命题成立,即有|sin kθ|≤k|sin θ|. 当n=k+1时,|sin(k+1)θ|=|sin(kθ+θ)| =|sin kθcos θ+cos kθ· sin θ| ≤|sin kθcos θ|+|cos kθ· sin θ| ≤|sin kθ|+|sin θ| ≤k|sin θ|+|sin θ|=(k+1)|sin θ|. 即当n=k+1时不等式成立. 由(1)(2)可知,不等式对一切正整数n均成立. 知识点2 用数学归纳法证明平均值不等式 a1+a2+…+an 【例2】 设 a1,a2,…,an 为 n 个正数,则 n ≥ a1a2…an,当且仅当 a1=a2=…=an 时等号成立. n 证明 不妨设an≥an-1≥…≥a1>0,若a1=an, 则a1=a2=…=an,此时原不等式中等号成立. 设an>a1 (n≥2). a1+a2 (1)n=2 时,由基本不等式 > a1a2, 2 所以命题对 n=2 成立. (2)假设 n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立, a1+a2+…+ak k 即 ≥ a1a2…ak. k a1+a2+…+ak 记 Ak= ,所以有:Ak k≥a1a2…ak. k 当 n=k+1 时, 因为 ak+1>a1,ak+1≥a2,ak+1≥a3,…,ak+1≥ak, kak+1-(a1+a2+…+ak) 所以 ak+1-Ak= k (ak+1-a1)+(ak+1-a2)+…+(ak+1-ak) = >0, k 则有 ak+1>Ak. 根据二项式定理及归纳假设得: ?a1+a2+…+ak+1? ? ? ? ?k+1 ?kAk+ak+1?k+1 =? ? ? ? k + 1 ? ? ? k+1 ? ? ak+1-Ak? ? ?k+1 =?Ak+ k+1 ? ? ? ?ak+1-Ak?k+1 k+ 1 k?ak+1-Ak? =Ak +(k+1)Ak? ?+…+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k+1 k+1 +1 k >Ak

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