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人教版高中数学知识点总结新(1) - 副本


高中数学知识点 必修 1 知识点
第一章 集合与函数概念
1、集合的概念: 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. 2、常用数集及其记法:

N 表示自然数集, N ? 或 N ? 表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示实
数集. 3、集合与元素间的关系: 对象 a 与集合 M 的关系是 a ? M ,或者 a ? M ,两者必居其一. 4、集合的表示法: ①列举法 ②描述法 ③图示法 ④图示法 5、集合的分类: ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何 元素的集合叫做空集( ? ). 6、子集、真子集、集合相等 7、已知集合 A 有 n(n ? 1) 个元素,则它有 2 个子集,它有 2 ? 1 个真子集,它有 2 ? 1 个
n

n

n

非空子集,它有 2 ? 2 非空真子集.
n

8、交集、并集、补集 9、函数的概念: ①概念:设 A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任何一 个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么这样的对应(包括集合 A ,

B 以及 A 到 B 的对应法则 f )叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作 f : A ? B .
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. 10、区间的概念及表示法: ①设 a , b 是两个实数, a ? b , 且 满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间, 记做 [a, b] ; 满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,记做 (a, b) ;满足 a ? x ? b ,或 a ? x ? b 的 实 数 x 的 集 合 叫 做 半 开 半 闭 区 间 , 分 别 记 做 [ a, b) , ( a, b] ; 满 足

x ? a x? , x , b ?的实数 x 的集合分别记做 [a, ??),(a, ??),(??, b],(??, b) . , a ? x b
11、求函数的定义域

1

12、求函数的值域或最值 13、函数的表示方法:解析法、列表法、图象法三种. 14、映射的概念 15、函数的单调性 16、函数的奇偶性 17、函数的图象 (1)作图 利用描点法作图: ①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性) ; ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图: 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函 数等各种基本初等函数的图象. ①平移变换 ②伸缩变换 ③对称变换 (2)识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研 究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是 探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.

第二章
1、根式的概念 2、分数指数幂的概念 3、分数指数幂的运算性质 4、指数函数 函数名称 定义

基本初等函数

指数函数 函数 y ? a (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数
x

a ?1

0 ? a ?1
y ? ax

y

y ? ax

y

图象

y ?1
(0,1)

y ?1

(0,1)

O
定义域

1
x 0
R

O

1
x 0

2

值域 过定点 奇偶性 单调性 在 R 上是增函数

(0, ??)
图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 . 非奇非偶 在 R 上是减函数

a x ? 1 ( x ? 0)
函数值的 变化情况

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 对图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图 象越低.

5、对数的定义. 6、几个重要的对数恒等式

log a 1 ? 0 , log a a ? 1 , log a a b ? b .
7、常用对数与自然对数 8、对数的运算性质 9、对数函数 函数 名称 定义 对数函数 函数 y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1

0 ? a ?1
y ? log a x

y

x ?1

y

x ?1

y ? log a x

图象

O

1

(1, 0)

0

x
(0, ??)

O

(1, 1 0) 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数

R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

3

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化对 图 象 的 影 在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象
响 10、反函数的概念及性质 原函数 y ? f ( x) 与反函数 y ? f 11、反函数的求法 12、幂函数的定义: 一般地,函数 y ? x 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数
?
?1

越靠高.

( x) 的图象关于直线 y ? x 对称.

13、幂函数的图象 14、幂函数的性质

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)( x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫 做函数 y ? f ( x)( x ? D) 的零点。 2、函数零点的意义:函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数

y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f (x)
有零点. 3、函数零点的求法: 求函数 y ? f (x) 的零点: 1 ○ (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; 2 ○ (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? 起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) .
2

f (x) 的图象联系

1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个 交点,二次函数有两个零点.
2

2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
2

3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次 函数无零点.
2

4

高中数学 必修 2 知识点
第一章 空间几何体
1、 三视图: 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 2、 画三视图的原则:长对齐、高对齐、宽相等 3、直观图:斜二测画法 4、斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。 5、 用斜二测画法画出长方体的步骤: (1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 6、 空间几何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 S ? 2?rl ? 2?r 2 4 圆台的表面积 S ? ?rl ? ?r ? ?Rl ? ?R
2 2

3 圆锥的表面积 S ? ?rl ? ?r 5 球的表面积 S ? 4?R
2

2

(二)空间几何体的体积 1 柱体的体积 3 台体的体积

V ? S底 ? h

2 锥体的体积 4 球体的体积

V ?

1 V ? (S 上 ? S 上 S 下 ? S 下 ) ? h 3

1 S底 ? h 3 4 V ? ?R 3 3

第二章 直线与平面的位置关系
一、空间点、直线、平面之间的位置关系
1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 3 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线。 二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点:

5

① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ? ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, ); 2 ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 四、直线、平面平行的判定及其性质 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与 此平面平行。 2、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面 平行。 3、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 五、直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平 行。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

六、直线、平面垂直的判定及其性质
(一)直线与平面垂直的判定 1、定义: 如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂直, 记作 L⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。 2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 (二)平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 2、二面角的记法 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 (三)直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
6

第三章
一、直线的倾斜角和斜率

直线与方程

(一)倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念:当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向 上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α = 0°. 2、倾斜角α 的取值范围: 0°≤α <180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°. 3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小 写字母 k 表示,也就是 k = tanα 4、直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率: 斜率公式: k=(y2-y1)/(x2-x1) (二)两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们 的斜率相等,那么它们平行,即 2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们 的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直

二、直线方程
(一) 直线的点斜式方程 1、直线的点斜式方程:直线 l 经过点 P0 ( x0 , y 0 ) ,且斜率为 k ,则 y

? y 0 ? k ( x ? x0 )

2、 直线的斜截式方程: 已知直线 l 的斜率为 k , 且与 y 轴的交点为 (0, b) , 则 (二) 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程:已知两点 P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y 2 ) ,其中 ( x1 1 则

y ? kx ? b


? x2 , y1 ? y 2 )

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

2、直线的截距式方程: (三)直线的一般式方程 1、直线的一般式方程:关于 x, y 的二元一次方程 Ax ? 2、各种直线方程之间的互化。 三、直线的交点坐标与距离公式 (一)两直线的交点坐标 1、给出例题:两直线交点坐标 L1 :3x+4y-2=0 L1:2x+y +2=0

By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)

7

解:解方程组

?3 x ? 4 y ? 2 ? 0 ? ?2 x ? 2 y ? 2 ? 0

解得 x=-2,y=2

所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2)

2、两点间距离公式:

PP2 ? 1

? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

(二) 、点到直线的距离公式 1.点到直线距离公式: 点 P( x0 , y 0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ? 2、两平行线间的距离公式: 已 知 两 条 平 行 线 直 线 l1 和 l 2 的 一 般 式 方 程 为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l 2 :

Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2

Ax ? By ? C 2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C 2 A2 ? B 2

第四章
一、圆的方程
(一) 、圆的标准方程 1、圆的标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2 2 2

圆的方程

2、点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的关系的判断方法:
2

2 2 (1) ( x0 ? a ) ? ( y0 ? b) > r ,点在圆外 (2) ( x0 ? a ) ? ( y0 ? b) = r ,点在圆上
2 2 2 2

2 (3) ( x0 ? a ) ? ( y0 ? b) < r ,点在圆内
2 2

(二) 、圆的一般方程
1、圆的一般方程: x
2

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

2、圆的一般方程的特点

二、直线和圆、圆和圆的位置关系
(一) 直线与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 设直线 l : ax ? by ? c ? 0 ,圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆的半径为 r ,圆心
(? D E , ? ) 到直线的距离为 d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: 2 2

8

(1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交; 2、圆与圆的位置关系 设两圆的连心线长为 l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外切; (3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内含; (二) 直线与圆的方程的应用 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几 何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.

三、空间直角坐标系
1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ( x, y, z ) , x 、 y 、 z 分别是 P、Q、R 在 x 、 y 、 z 轴 上的坐标 2、有序实数组 ( x, y, z ) ,对应着空间直角坐标系中的一点 3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 ( x, y, z ) 来表示,该数组叫做点 M 在此空间 直角坐标系中的坐标,记 M ( x, y, z ) , x 叫做点 M 的横坐标, y 叫做点 M 的纵坐标, z 叫做 点 M 的竖坐标。

9

四、空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点 P ( x1 , y1 , z1 ) 到点 P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 之间的距离公式 1

P1 P2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2

高中数学 必修 3 知识点
一、算法的概念
1、算法概念 在数学上, 现代意义上的 “算法” 通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤, 这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点 (1)有限性 (2)确定性 (3)顺序性与正确性 (4)不唯一性 (5)普遍性

二、程序框图
1、程序框图基本概念: (一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来 准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文 字说明。 (二)构成程序框的图形符号及其作用 (三) 、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。

三、基本语法语句
1、输入语句 2、输出语句 3、赋值语句 3、条件语句 4、循环语句

四、算法案例
1、辗转相除法与更相减损术 2、秦九韶算法与排序 3、进位制

10

第二章
一、随机抽样
(一)简单随机抽样 1.总体和样本 2.简单随机抽样,也叫纯随机抽样。 (二)系统抽样 (三)分层抽样

统计

二、用样本估计总体
(一)用样本的频率分布估计总体分布 (二)用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、本均值: x ?

x1 ? x2 ? ? ? xn n
s2 ? ( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 n

2、 .样本标准差: s ?

3. (1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变 (2)如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k,标准差变为原来的 k 倍 (3)一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间 ( x ? 3s, x ? 3s ) 的应用; “去掉一个最高分,去掉一个最低分”中的科学道理 4、变量间的相关关系 (1)变量之间的相关关系

三、两个变量的线性相关
1、概念: (1)回归直线方程 (2)回归系数 2.最小二乘法 3.直线回归方程的应用 4.应用直线回归的注意事项

第三章
一、随机事件的概率及概率的意义
(一)基本概念: (1)必然事件 (2)不可能事件 (6)频率与概率的区别与联系

概 率

(3)确定事件 (4)随机事件 (5)频数与频率

11

(二) 概率的基本性质 1、事件的关系与运算: (1)事件包含关系; (2)事件相等关系; (3)并事件; (4)交事件; (5)互斥事件; (6) 对立事件 2、概率的基本性质: 1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; 2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件, P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B); 4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会 同时发生,其具体包括三种不同的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不 发生且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与事件

B 有且仅有一个发生,其包括两种情形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发生事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。

二、古典概型及随机数的产生
1、 (1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数;②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)

A包含的基本事件数 = 总的基本事件个数

三、几何概型及均匀随机数的产生
1、基本概念: (1) 几何概率模型: 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积) 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式:

构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) ;
几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; 2)每个基本事件出现的可能性相等.

12

高中数学
1、任意角的概念 2、象限角的概念

必修 4 知识点

第一章 三角函数

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ?
?

?

?
l . r

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 5、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ?

? 180 ? ? 57.3? . 6、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? ,1 ? ? ? ? 180 ? ?
?

?

?

?

7、若扇形的圆心角为 ? ? 为弧度制 ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S , 则 l ? r ? , C ? 2r ? l , S ?

?

?

1 1 lr ? ? r 2 . 2 2
y P T v O M A x

8、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原

y x 2 2 点 的 距 离 是 r r ? x ?y ?0 , 则 s i? ? , cos ? ? , n r r y tan ? ? ? x ? 0 ? . x
9、三角函数在各象限的符号 10、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? .

?

?

2 2 2 2 11、 三角函数的基本关系: 1? sin ? ? cos ? ? 1 sin ? ? 1 ? cos ? , cos ? ? 1 ? sin ? ; ?

2

2

?

?

? 2?

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

12、三角函数的诱导公式: (口诀:函数名称不变,符号看象限)

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos ? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ? ? ? . ? 2 ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? tan ? .
? 3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos ? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4 ? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? ?2 ? ?2 ?
13

?

? 6 ? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

13、图像的平移 14、函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0 ? 的性质: 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

第二章
1、向量的基本概念 2、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

平面向量

⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质: ①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 3、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 4、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ① ?a ? ? a ; ②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当

?

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? ? 0 时, ? a ? 0 .
⑵运算律:① ? ? ? a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a ;③ ? a ? b ? ? a ? ? b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ? a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 5、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1 , y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? , b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、b b ? 0 共线.

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14

6、平面向量基本定理: 如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且 只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向 量的一组基底) 7、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1? 2 上的一点, ?1 、 ? 2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , 当 ?1? ? ? ?? 2 时, ? 的坐标是 ? 点 8、平面向量的数量积:
? ? ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .

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? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? (当 , ? . ? ? 1时,就为中点公式。) 1? ? ? ? 1? ?

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⑵运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ? b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c (3)坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .
2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ?

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?2

x2 ? y2 .

设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 设 a 、 b 都是非零向量, a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的夹角,

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? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b 则 cos ? ? ? ? ? . 2 2 a b x12 ? y12 x2 ? y2

第三章 三角恒等变换
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ;

⑹ tan ?? ? ? ? ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) .

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? ⑵ cos 2? ? cos
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
15

⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

3、 半角公式 :
α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; s in ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cos α s inα 1 ? cos α tan ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α s inα

4、 万能公式 :

α α 2 tan 1 ? tan 2 2 ; cosα ? 2 sinα ? α α 1 ? tan 2 1 ? tan 2 2 2
5、合一变形 ? 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 其中 tan ? ? y ? A sin(?x ? ? ) ? B 形式。? sin ? ? ? cos ? ? ? 2 ? ? 2 sin ?? ? ? ? ,

? . ?

6、常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换(2)函数名称变换: (3)常数代换: (4)幂的变换: (5)公式变形: (6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四 方面入手;

高中数学
(一)解三角形:

必修 5 知识点

1 、 正 弦 定 理 : 在 ???C 中 , a 、 b 、 c 分 别 为 角 ? 、 ? 、 C 的 对 边 , 则 有 ,
a b c ? ? ? 2R sin ? sin ? sin C

( R 为 ???C 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式:① a ? 2R sin ? , b ? 2R sin ? , c ? 2R sin C ; ② sin ? ?

a b , sin ? ? , sin C ? c ;③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; 2R 2R 2R
2 2 2

3、三角形面积公式: S???C ? 1 bc sin ? ? 1 ab sin C ? 1 ac sin ? .
2 2 2 2 2 2 4、余弦定理:在 ???C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? ,推论: cos ? ? b ? c ? a

2bc

(二)数列: 1.数列的有关概念: (1) 数列:按照一定次序排列的一列数 (2) 通项公式:数列的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系用一个公式来表示,这个公式 即是该数列的通项公式。 (3) 递推公式:已知数列{an}的第 1 项(或前几项) ,且任一项 an 与他的前一项 an-1 (或前几项)可以用一个公式来表示,这个公式即是该数列的递推公式。
16

2.数列的表示方法: (1) 列举法 (3) 解析法 3.数列的分类: (1)按项数:有穷数列和无穷数列 (2)按单调性:常数列、递增数列、递减数列 4.数列{an}及前 n 项和之间的关系: (2)图象法 (4)递推法

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an

? S1 , ( n ? 1) an ? ? ? S n ? S n ?1 , ( n ? 2)

5.等差数列 (1)定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于一个常数, (2)等差中项: (3)通项公式: (4)等差数列的前 n 项和 6、等比数列 (1)定义:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数 (2)等比中项 (3)通项公式 (4)等比数列前 n 项和 (三)不等式 1、实数 a、b 大小的比较: (1) a ? b ? 0 ? a ? b ; (2) a ? b ? 0 ? a ? b ; (3) a ? b ? 0 ? a ? b . 2、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ; ② a ? b, b ? c ? a ? c ; ③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; ⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ; ⑦a ? b ? 0? a ? b
n n

⑧a ?b ? 0?

n

a?

n

? n ? ?, n ? 1? ; b ? n ? ?, n ? 1? .
, 即
2 a?b ? ab . ab ? ? a ? b ? ? a ? 0, b ? 0 ? ; ? ? 2 ? 2 ?

3、一元二次不等式解法

b 4、 均值定理: 若 a ? 0 ,b ? 0 , a ?b ? 2 a 则

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数. 2
5、均值定理的应用 6、线性规划问题:

17

高中数学

选修 1-1,1-2 知识点

第一部分 简单逻辑用语
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句. 2、 “若 p ,则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论. 3、原命题: “若 p ,则 q ” 否命题: “若 ?p ,则 ?q ” 逆否命题: “若 ?q ,则 ?p ” 4、四种命题的真假性之间的关系: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 5、若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件(充分必要条件) . 6、逻辑联结词:⑴且(and) ;⑵或(or) ;⑶非(not) 7、⑴全称量词——“所有的”“任意一个”等,用“ ? ”表示; 、 ⑵存在量词——“存在一个”“至少有一个”等,用“ ? ”表示; 、 逆命题: “若 q ,则 p ”

第二部分 圆锥曲线
1、定义 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

范围

?a ? x ? a 且 ?b ? y ? b
?1 ? ?a, 0 ? 、 ? 2 ? a, 0 ?

?b ? x ? b 且 ?a ? y ? a
?1 ? 0, ? a ? 、 ? 2 ? 0, a ? ?1 ? ?b, 0 ? 、 ? 2 ? b, 0 ?
长轴的长 ? 2a

顶点

?1 ? 0, ?b ? 、 ? 2 ? 0,b ?
短轴的长 ? 2b

轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

F1 ? ?c, 0 ? 、 F2 ? c, 0 ?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴、原点对称

e?

c b2 ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a a

18

3、双曲线的定义 4、双曲线的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

x ? ?a 或 x ? a , y ? R
?1 ? ?a, 0 ? 、 ? 2 ? a, 0 ?
虚轴的长 ? 2b

y ? ?a 或 y ? a , x ? R
?1 ? 0, ? a ? 、 ? 2 ? 0, a ?
实轴的长 ? 2a

F1 ? ?c, 0 ? 、 F2 ? c, 0 ?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

c b2 e ? ? 1 ? 2 ? e ? 1? a a

渐近线方程

y??

b x a

y??

a x b

5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 6、抛物线的定义 7、抛物线的几何性质:

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

图形

顶点

? 0, 0 ?

19

对称轴

x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ? ? p ? F ? ? ,0? ? 2 ? p? ? F ? 0, ? ? 2?

y轴
p? ? F ? 0, ? ? 2? ?

焦点

准线方程

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

离心率

e ?1

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

8、 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、? 两点的线段 ?? , 称为抛物线的 “通 径” ,即 ?? ? 2 p . 9、焦半径公式:

p ; 2 p 2 若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 x ? 2 py ? p ? 0 ? 上,焦点为 F ,则 ?F ? y0 ? ; 2
若点 ? ? x0 , y0 ? 在抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 上,焦点为 F ,则 ?F ? x0 ?
2

第三部分 导数及其应用
1、导数定义: f ? x ? 在点 x 0 处的导数记作 y ?
x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; . ?x

2、函数 y ? f ? x ? 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 线的斜率. 3、常见函数的导数公式: ① C ? 0 ;② ( x ) ? nx
'
n ' x ' x n ?1

y ? f ? x?

在点

? ? x0 , f ? x0 ? ?

处的切


x

③ (sin x) ? cos x ;④ (cos x) ? ? sin x ;
' '

⑤ (a ) ? a ln a ;⑥ (e ) ? e ;
x '

⑦ (log a x) ?
'

1 1 ' ;⑧ (ln x) ? x ln a x

4、导数运算法则:

?1? ? 2?

? f ? x ? ? g ? x ??? ? f ? ? x ? ? g ? ? x ? ? ? ; ? f ? x ? ? g ? x ??? ? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? ? ;

? f ? x ? ?? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? g ? x ? ? 0? ? ? ? 2 ? g ? x ?? ? 3? ? g ? x ? ? ? ? .
20

5、在某个区间 ? a, b ? 内,若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递增; 若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递减. 6、求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时:

?1? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; ? 2 ? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.
8、求函数 y ? f ? x ? 在 ? a , b ? 上的最大值与最小值的步骤是:

?1? 求函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b ? 内的极值; ? 2 ? 将函数 y ? f ? x ? 的各极值与端点处的函数值 f ? a ? , f ? b ? 比较,其中最大的一个是最
大值,最小的一个是最小值.

第四部分
1.基本概念
2

复数

(1) z=a+bi∈R ? b=0 (a,b∈R) ? z= z ? z ≥0; (2) z=a+bi 是虚数 ? b≠0(a,b∈R);

(3) z=a+bi 是纯虚数 ? a=0 且 b≠0(a,b∈R) ? z+ z =0(z≠0) ? z <0; (4) a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R); 2.复数的代数形式及其运算:设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z 1±z2 = (a + b)± (c + d)i; (2) z1.z2 = (a+bi)?(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;
2

(3) z1÷z2 =

(a ? bi)(c ? di) ? ac ? bd ? bc ? ad i (z2≠0) ; (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2 c2 ? d 2

3.几个重要的结论: (1) (1 ? i ) 2 ? ?2i ;⑷ 1 ? i ? i; 1 ? i ? ?i; 1? i 1? i (2) i 性质:T=4; i
4n

? 1, i 4 n?1 ? i, i 4 n? 2 ? ?1, i 4 n?3 ? ?i ; i 4n ? i 4n ?1 ? i 4? 2 ? i 4n ?3 ? 0;

(3) z ? 1 ? z z ? 1 ? z ? 4.运算律: (1) z ? z ? z
m n

1 。 z

m? n

; (2)( z m ) n ? z mn ; (3)( z1 ? z 2 ) m ? z1 z 2 (m, n ? N );
m m

5. 共轭的性质: ( z1 ? z 2 ) ? z1 ? z 2 ; z1 z 2 ? z1 ? z 2 ; ( ⑴ ⑵ ⑶

z1 z ) ? 1 ; z ? z。 ⑷ z2 z2

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