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高二数学期末复习之圆锥曲线综合


高 二 数 学 期 末 复 习 之 圆锥曲线综合 一.典型例题 1.已知抛物线 y 2 ? 4 x ,焦点为 F,顶点为 O,点 P 在抛 物线上移动,Q 是 OP 的中点,M 是 FQ 的中点,求点 M 的轨迹方程. [解析]:设 M( x, y ) ,P( x1 , y1 ) ,Q( x 2 , y 2 ) ,易求 y ? 4 x 的焦点 F 的坐标为(1,0)
2

∵M 是 FQ 的中点,∴

x?

1 ? x2 2 y2 y? 2

? x 2 ? 2 x ? 1 ,又 Q 是 OP 的中点
y2 ? 2 y



x2 ?

x1 2 y y2 ? 1 2

? x1 ? 2 x 2 ? 4 x ? 2 ,
y1 ? 2 y 2 ? 4 y

∵P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,∴ (4 y ) 2 ? 4(4 x ? 2) ,所以 M 点的轨迹方程为 y 2 ? x ? 1

2

2.已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点 A(0, 2 ) 为圆心,1 为半径的圆相切,又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 y ? x 对称. (1)求双曲线 C 的方程; 设直线 y ? mx ? 1 与双曲线 C 的左支交于 A,B 两点,另一直线 l 经过 M(-2,0)及 AB 的中点,求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围. (1)设双曲线 C 的渐近线方程为 y=kx,则 kx-y=0∵该直线与圆 x 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 1 相切,
2 2 ∴双曲线 C 的两条渐近线方程为 y=±x.故设双曲线 C 的方程为 x ? y ? 1 . 2 2

a

a

又双曲线 C 的一个焦点为 ( 2 ,0) ,∴ 2a 2 ? 2 , a 2 ? 1 .∴双曲线 C 的方程为: x 2 ? y 2 ? 1 . (2)由 ? y ? mx ? 1 得 (1 ? m 2 ) x 2 ? 2mx ? 2 ? 0 .令 f ( x) ? (1 ? m 2 ) x 2 ? 2mx ? 2 ?
2 2 ?x ? y ? 1

∵直线与双曲线左支交于两点,等价于方程 f(x)=0 在 (??,0) 上有两个不等实根. 因此 ? ?
?? ? 0 ,解得 1 ? 2m ?2 ? 0且 ?0 ? 2 2 1? m ?1 ? m

m ? 2 .又 AB 中点为 ( m 2 ,
1? m

1 ), 1 ? m2

∴直线 l 的方程为: y ?

1 2 2 . ( x ? 2) . 令 x=0,得 b ? ? ? 2m ? m ? 2 ? 2m 2 ? m ? 2 ? 2(m ? 1 ) 2 ? 17 4 8
2

∵ m ? (1, 2 ) ,∴ ? 2(m ? 1 ) 2 ? 17 ? (?2 ? 2 ,1) ,∴ b ? (??,?2 ? 2 ) ? (2,??) .
4 8

y P O x

A B

3.如图, 直线 y= 1 x 与抛物线 y= 1 x2-4 交于 A、B 两点, 线段 AB 的垂直平分线与直线 y=
2 8

-5 交于 Q 点. (1) 求点 Q 的坐标; (2) P 为抛物线上位于线段 AB 下方 当 (含 A、 的动点时, 求 ΔOPQ B) 面积的最大值.

1 x x ? ?4 x ?8 2 [解析]: 【解】(1) 解方程组 得 1 或 2 1 y1 ? ?2 y2 ? 4 y ? x2 ? 4 8 y?

即 A(-4,-2),B(8,4), 从而 AB 的中点为 M(2,1).由 kAB== y-1=

1 ,直线 AB 的垂直平分线方程 2

1 (x-2). 令 y=-5, 得 x=5, ∴Q(5,-5). 2 1 2 (2) 直线 OQ 的方程为 x+y=0, 设 P(x, x -4).∵点 P 到直线 OQ 的距离 8
x? 1 2 x ?4 8 = 1 x 2 ? 8 x ? 32 , OQ ? 5 2 ,∴SΔOPQ= 1 OQ d = 5 x 2 ? 8x ? 32 . 2 16 8 2 2

d=

∵P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点, 且 P 不在直线 OQ 上, ∴-4≤x<4 3 -4 或 4 3 -4<x≤8. ∵函数 y=x2+8x-32 在区间[-4,8] 上单调递增, ∴当 x=8 时, ΔOPQ 的面积取到最大值 30 二.巩固练习 1.椭圆 x
a
2 2

?

y2 b
2

?1

(a>b>0)离心率为 B.
5 2

3 2

,则双曲线 x
a

2 2

?

y2 b2

? 1 的离心率为(

B )

A. 5
4

C. 2
3

D.

5 4

2.抛物线顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上一点 P(m,1)到焦点距离为 5,则抛物线方程为 ( C ) A. x 2 ? 8 y B. x 2 ? ?8 y C. x 2 ? 16 y D. x 2 ? ?16 y 3. 圆的方程是(x-cos?)2+(y-sin?)2= A. 2
2?

1 ,当?从 0 变化到 2?时, 动圆所扫过的面积是 ( A ) 2 C. (1 ?
2 )?

B.?

D. (1 ?

2 2 ) ? 2

4. 若过原点的直线与圆 x 2 + y 2 + 4 x +3=0 相切, 若切点在第三象限, 则该直线的方程是 ( C ) A. y ?
3x

B. y ? ?

3x

C. y ?

3 x 3

D. y ? ?

3 x 3

5.椭圆 x

2

12

?

y2 ? 1 的焦点为 3

F1,F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 中点在 y 轴上,那么|PF1|

是|PF2|的(A ) A.7 倍 B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍 6.以原点为圆心,且截直线 3x ? 4 y ? 15 ? 0 所得弦长为 8 的圆的方程是( B ) A. x 2 ? y 2 ? 5 B. x 2 ? y 2 ? 25 C. x 2 ? y 2 ? 4 D. x 2 ? y 2 ? 16 7.曲线 ? x ? 2 cos? ( ? 为参数)上的点到原点的最大距离为 ( C )
? ? y ? sin ?

A. 1

B.

2

C.2
x

D.

3

8.如果实数 x、y 满足等式 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ,则 y 最大值 A. 1
2
2

( D )
3

B.

3 3

C.

3 2

D.

9.过双曲线 x2- y =1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A, B 两点,若|AB|=4,则这样的直线
2

l 有(C) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 10.如图,过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A.B,交其准线于点 C, 若 BC
? 2 BF

,且 AF

? 3 ,则此抛物线的方程为(

B )
y

A

A. y 2 ? 3 x
2

B. y 2 ? 3x

C. y 2 ? 9 x
2

D. y 2 ? 9 x
O

F B

x

C

11.椭圆的焦点是 F1(-3,0)F2(3,0) 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差 ,P 中项,则椭圆的方程为_______________ .
x2 y2 ? ?1 36 27
y2 ? 1的 3

12 . 若 直 线 mx ? ny ? 3 ? 0 与 圆 x 2 ? y 2 ? 3 没 有 公 共 点 , 则 m, n 满 足 的 关 系 式 为 . 0 ? m ? n ? 3 ,以( m, n) 为点 P 的坐标,过点 P 的一条直线与椭圆 x 2
2 2

7

?

公共点有

个.2
2

13.设点 P 是双曲线 x 2 ? y ? 1 上一点,焦点 F(2,0) ,点 A(3,2) ,使|PA|+ 1 |PF|有最小
3
2

值时,则点 P 的坐标是_______. (

21 , 2) 3

14.AB 是抛物线 y=x2 的一条弦,若 AB 的中点到 x 轴的距离为 1,则弦 AB 的长度的最大值 为
5 . 2
2

15.已知抛物线 C: y ? x 2 ? 4x ? 7 ,过 C 上一点 M,且与 M 处的切线垂直的直线称为 C 在点 M 的法线. 若 C 在点 M 的法线的斜率为 ? ,求点 M 的坐标(x0,y0) ; (2)设 P(-2,a)为 C 对称轴上的一点,在 C 上是否存在点,使得 C 在该点的法线通过
1 2

点 P?若有,求出这些点,以及 C 在这些点的法线方程;若没有,请说明理由.
7 [解析]: (1)由题意设过点 M 的切线方程为: y ? 2x ? m ,代入 C 得 x 2 ? 2 x ? ( ? m) ? 0 , 2

则 ? ? 4 ? 4( ? m) ? 0 ? m ?

7 2

5 1 5 1 ,? x 0 ? ?1, y 0 ? ?2 ? ? ,即 M(-1, ) . 2 2 2 2

(2)当 a>0 时,假设在 C 上存在点 Q( x1 , y1 ) 满足条件.设过 Q 的切线方程为: y ? kx ? n , 代入
y ? x 2 ? 4x ?

7 7 ? x 2 ? (4 ? k ) x ? ( ? n) ? 0 ,则 ? ? 0 ? (k ? 4) 2 ? 14 ? 4n 2 2



且 x1 ?

y ?a k2 ?2 1 1 k ?4 .若 k ? 0 时,由于 k PQ ? ? ? 1 ? ? ? k 2 ? 4a ? k ? ?2 a , , y1 ? k x1 ? 2 k 4 2



x1 ? a ? 2 y1 ? a ? 2

1 或

x1 ? ? a ? 2 1 y1 ? a ? 2

1 ;若 k=0 时,显然 Q(?2,? ) 也满足要求. 2

∴有三个点(-2+ a , 2a ? 1 )(-2- a , 2a ? 1 )及(-2,- 1 ) , , 2 2 2 且过这三点的法线过点 P(-2,a) ,其方程分别为: x+2 a y+2-2a a =0,x-2 a y+2+2a a =0,x=-2. 当 a≤0 时,在 C 上有一个点(-2,- =-2. 16.双曲线

1 ) ,在这点的法线过点 P(-2,a) ,其方程为:x 2

x2 y2 2 3 3 . ? 2 ? 1 的离心率 e ? , A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的距离是 过 2 3 2 a b

(Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆 上,求 k 的值. 16. ∵ ( I )
d ? ab a2 ? b2 ? ab ? c
c 2 3 ? , a 3

原 点 到 直 线

AB :

x y ? ?1 a b
2

的 距 离

3 . ? b ? 1, a ? 2
2

3.

? b ? 1, a ? 3 .双曲线方程是 x

3

(6 分) ? y ? 1.

( II ) 把 y ? k x ? 5代入 x ? y 2 ? 1 中 消 去 y , 整 理 得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30 kx ? 78 ? 0 . 设
3

C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ), CD 的中点是 E ( x0 , y0 ) ,则
x0 ? y ?1 x1 ? x 2 15 k 5 1 ? ? y 0 ? k x0 ? 5 ? , k BE ? 0 ?? . 2 x0 k 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

? x0 ? ky0 ? k ? 0, 即 15k
k= ± 7 .

1 ? 3k 2

?

5k ? k ? 0, 又k ? 0,? k 2 ? 7 1 ? 3k 2


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