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2015-2016学年高中数学人教A版必修4课时训练:3.2 简单的三角恒等变换(含答案)


第三章
数学· 必修 4(人教 A 版)

三角恒等变换

3. 2

简单的三角恒等变换

基 础 提 升 α 1.已知 180° <α<360° ,则 cos =( 2 A. C.- 1+cos α 2 1+cos α 2 B. ) 1-cos α 2 1-cos α 2

D.-

α α 解析:∵90° < <180° ,∴cos =- 2 2 答案:C

1+cos α . 2

π 2.将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 4 个单位,所得图象的函数解析式是( A.y=2cos2x B.y=2sin2x
? π? C.y=1+sin?2x+4? ? ?

)

D.y=cos 2x

第三章

三角恒等变换

π 解析:将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位,得到函数 y= 4
? π? ? π? sin 2?x+4?, 即 y=sin?2x+2?=cos 2x 的图象, 再向上平移 1 个单位, ? ? ? ?

所得图象的函数解析式为 y=1+cos 2x=2cos2x,故选 A. 答案:A 3.已知 tan θ=2,则 sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ=( A.- 4 3 B. 5 4 3 C.- 4 D. 4 5

)

解析:sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ = sin2θ+cos2θ tan2θ+tan θ-2 = tan2θ+1 = 4+2-2 4 = .故选 D. 5 4+1

答案:D

1+tan α ? π? 1 2 4. 如果 tan(α+β)= , tan?β-4?= , 那么 的值为( 5 ? ? 4 1-tan α 13 A. 16 答案:B 3 B. 22 C. 13 22 D. 3 16

)

第三章

三角恒等变换

?π ? 1 ?2π ? 5.若 sin?6-α?= ,则 cos? 3 +2α?=( ? ? 3 ? ?

) 7 D. 9

A.-

7 9

B.-

1 3

C.

1 3

?2π ? ? ?2π ?? 解析:cos? 3 +2α?=-cos?π-? 3 +2α?? ? ? ? ? ?? ?π ? =-cos?3-2α? ? ? ?? ?? ? ?π ?? =-cos?2?6-α?? ? ? ? ?π ?? =-?1-2sin2?6-α?? ? ?

1 7 =-1+2× =- .故选 A. 9 9 答案:A

巩 固 提 高
? π π? 6.函数 y=- 3sin x+cos x 在?-6,6?上的值域是 ? ?

_______________________________________________________ _________________.

答案:[0, 3]

第三章

三角恒等变换

7. 函数 f(x)= sin x- 3cos x(x∈[- π, 0])的单调递增区间是 ( )
? 5π? A.?-π,- 6 ? ? ? ? ? π ? C.?-3,0? ? ? 5π π? B.?- 6 ,-6? ? ? ? π ? D.?-6,0? ? ?

π 解析:f(x)=2sin(x- ). 3 π? π ? 4 x∈[-π,0],∴x- ∈?-3π,-3?, 3 ? ? π? ? π ? π ? π 由 x- ∈?-2,-3 ?得,x∈?-6,0?, 3 ? ? ? ?
? π ? ∴f(x)的单调增区间是?-6,0?,故选 D. ? ?

答案:D

8.设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,且有 2sin Bcos A=sin Acos C+cos Asin C. (1)求角 A 的大小;

解析:A+C=π-B,A,B∈(0,π)?sin(A+C)=sin B>0 2sin Bcos A=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)= 1 π sin B?cos A= ?A= . 2 3

第三章

三角恒等变换

(2)若 b=2,c=1,D 为 BC 的中点,求 AD 的长.

→ =a, → =b, → =c, 解析: 设BC AC AB 则|a|2=a· a=(b-c)· (b-c)=b· b π + c· c-2b· c=b2+c2-2bccos A?a= 3?b2=a2+c2?B= . 2 在 Rt△ABD 中,AD= AB2+BD2= 12+?
? 3?2 7 ?= . 2 ? 2 ?

9.已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x-1(x∈R).
? π? (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间 ?0,2? 上的最大值和最小 ? ?

值;
?π π? 6 (2)若 f(x0)= ,x0∈?4,2?,求 cos 2x0 的值. 5 ? ?

解析:由 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x-1,得 f(x)= 3(2sin xcos x)+(2cos2x-1) = 3sin 2x+cos 2x
? π? =2sin?2x+6?. ? ?

∴函数 f(x)的最小正周期为 π.
? π? ? π? ?π π? ∵f(x)=2sin?2x+6?在区间?0,6?上为增函数, 在区间?6,2?上为 ? ? ? ? ? ? ?π? ?π? ? π? 减函数,又 f(0)=1,f?6?=2,f?2?=-1,∴函数 f(x)在区间?0,2?上 ? ? ? ? ? ?

的最大值为 2,最小值为-1.
? π? (2)由(1)可知 f(x0)=2sin?2x0+6?, ? ?

第三章

三角恒等变换

? π? 3 6 又∵f(x0)= ,∴sin?2x0+6?= . 5 ? ? 5 ?π π? π ?2π 7π? 由 x0∈?4,2?,得 2x0+ ∈? 3 , 6 ?, 6 ? ? ? ? ? π? 从而 cos?2x0+6?=- ? ? ?? ? ? π? 4 1-sin2?2x0+6 ?=- . 5 ? ? ?

?? π? π? ∴cos 2x0=cos??2x0+6?-6? ? π? π ? π? π =cos?2x0+6?cos +sin?2x0+6?sin 6 ? ? ? ? 6



3-4 3 . 10


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