2.设全集 U={1,3,5,7},集合 M={1,a-5},M ? U, ? U M ={5,7},则实数 a = . 3.某工厂生产了某种产品 3000 件,它们来自甲、乙、丙三条生产线.为检查这批产品 的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样.若从甲、乙、丙三条生产线抽取的个数分别为 a,b,c,且 a,b,c 构成等差数列,则乙生产线生产了 件产品. 4.若 f ( x) = a sin( x ?
?
) + 3sin( x ? ) 是偶函数,则实数 a= 4 4
?
.
5.从分别写有 0,1,2,3,4 五张卡片中取出一张卡片,记下数 字后放回,再从中取出一张卡片.两次取出的卡片上的数字之和恰好 等于 4 的概率是 . 6.如右图,函数 y= f ( x) 的图象在点 P 处的切线方程,y=-x+ 5,在 f (3) - f / (3) = .
17. (本小题满分 14 分) 如图,某市拟在道路的一侧修建一条运动赛道,赛道的前 一部分为曲线段 ABC, 该曲线段为函数 y= A sin(? x ? ? ) (A>0,
? >0,
? 2
< ? < ? ),x∈[-3,0]的图象,且图象的最高点为
B(-1, 3 2 );赛道的中间部分为 3 千米的水平跑到 CD;赛 道的后一部分为以 O 圆心的一段圆弧 DE . (1)求 ? , ? 的值和∠DOE 的值; (2)若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪” ,如图所示,矩形的一边 在道路 AE 上,一个顶点在扇形半径 OD 上.记∠POE= ? ,求当“矩形草坪”的面积最大 时 ? 的值.
18. (本小题满分 16 分) 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴分别相交于 A, B 两点, △AOB 的内切圆为圆 M. (1)如果圆 M 的半径为 1,l 与圆 M 切于点 C (
3 3 ,1+ ),求直线 l 的方程; 2 2
(2)如果圆 M 的半径为 1,证明:当△AOB 的面积、周长最小时,此时△AOB 为同一 个三角形; (3)如果 l 的方程为 x+y-2- 2 =0,P 为圆 M 上任一点,求 PA2 + PB 2 + PO 2 的 最值.
3
19. (本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 =0, a2 =2,且对任意 m,n∈ N ? 都有 a2 m ?1 + a2 n ?1 = 2am ? n ?1 +
2(m ? n)2 (1)求 a 3 , a 5 ; (2)设 bn = a2 n ?1 - a2 n ?1 ( n∈ N ? ),证明: ?bn ? 是等差数列; (3)设 c n =( an ?1 - an ) q n ?1 ( q≠0,n∈ N ? ),求数列的前 n 项的和 Sn .
20. (本小题满分 16 分) 对于函数 y= f ( x) ,x∈(0, ??) ,如果 a,b,c 是一个三角形的三边长,那么 f (a ) , f (b) , f (c) 也是一个三角形的三边长, 则称函数 f ( x) 为“保三角形函数” . 对于函数 y= g ( x) ,x∈ [0 ,??) ,如果 a,b,c 是任意的非负实数,都有 g (a) , g (b) , g (c) 是一个三角形的三边长,则称函数 g ( x) 为“恒三角形函数” . (1)判断三个函数“ f1 ( x) =x, f 2 ( x) = 2 x , f 3 ( x) = 3 x 2 (定义域均为 x∈(0,??) )” 中,那些是“保三角形函数”?请说明理由; (2)若函数 g ( x) =
x 2 ? kx ? 1 ,x∈ [0 , ??) 是“恒三角形函数” ,试求实数 k 的取值 x2 ? x ? 1
( x1 ,0),( x 2 ,0),且 0< x1 <1< x 2 . 由 f (1) =0 可知 b=-a-3,所以 f ( x) = x3 + (a ? 1) x2 +3x+b=(x-1)( x 2 +ax+a+ 3),故 x 2 +ax+a+3=0 的两根分别在(0,1),(1, ?? )内.
? g (0) ? 0, 令 g ( x) = x 2 +ax+a+3,则 ? 得-3<a<-2. ? g (1) ? 0, 14.13.解析:当 x∈ [0 , 1) 时, f ( x) = [ x[ x ]] = [ x ? 0] =0; 当 x∈ [1 , 2) 时, f ( x) = [ x[ x ]] = [ x ? 1] = [ x] =1; 当 x∈ [2 ,3) 时, 再将 [2 ,3) 等分成两段, x∈ [2 , ) 时, f ( x) = [ x[ x ]] = [ x ? 2] = [2 x] =4;x∈ [ , 3) 时, f ( x) = [ x[ x ]] = [ x ? 2] = [2 x] =5. 类似地,当 x∈ [3 , 4) 时,还要将 [3 , 4) 等分成三段,又得 3 个函数值;将 [4 , 5) 等 分成四段,得 4 个函数值,如此下去.当 x∈ [0 , n) (n∈ N ? )时,函数 f ( x) 的值域中的元 素个数为 an =1+1+2+3+4+?+(n-1)=1+
5 2
5 2
a ? 90 n 91 1 n(n ? 1) ,于是 n = + - = n 2 n 2 2 a ? 90 1 1 182 的最小值为 13. (n ? ) - ,所以当 n=13 或 n=14 时, n 2 n 2 n 15.解析: (1)因为 A,B,C 成等差数列,所以 B=
?
3 3 3 3 1 因为 AB ? BC = ? ,所以 ac cos(? ? B) = ? ,所以 ac = ,即 ac=3. 2 2 2 2 因为 b= 3 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,所以 a 2 ? c 2 ? ac =3,即 (a ? c) 2 ? 3ac =3. 所以 (a ? c)2 =12,所以 a+c= 2 3 .
.
3 1 2? ? C ) ? sin C = 2( cos C ? sin C ) ? sin C = 3 cos C . 2 2 3 3 2? 因为 0<C< ,所以 3 cos C ∈ ( ? , 3) . 2 3 3 所以 2sin A ? sin C 的取值范围是 ( ? , 3) . 2 (2) 2sin A ? sin C = 2sin( 16.解析: (1)连结 OC.因为 BO=DO,AB=AD,所以 AO⊥BD.因为 BO=DO, CB=CD,所以 CO⊥BD. 在△AOC 中,由已知可得 AO=1,CO= 3 .而 AC=2,所以 AO 2 ? CO 2 = AC 2 ,所 以∠AOC= 90 ? ,即 AO⊥OC.因为 BD OC=O,所以 AO⊥平面 BCD.
( 2 )设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .因为 VE ? ACD = VA?CDE ,所以 h ? S?A C D =
?n(n ? 1), ? 综上所述, Sn = ? nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 , ?2 ? (q ? 1) 2 ? 8
q ?1 , q ? 1.
20.解析: (1)对于 f1 ( x) =x,它在(0, ??) 上是增函数,不妨设 a≤b≤c,则 f1 (a ) ≤
f1 (b) ≤ f1 (c) ,因为 a+b>c,所以 f1 (a) + f1 (b) =a+b>c= f1 (c) ,故 f1 ( x) 是“保三角形 函数” . 对于 f 2 ( x) = 2 x ,它在(0, ??) 上是增函数, ,不妨设 a≤b≤c,则 f 2 ( a ) ≤ f 2 (b) ≤
f 2 (c) ,因为 a+b>c,所以 f 2 ( a ) + f 2 (b) = 2a + 2b = ( 2a ? 2b ) 2 > 2(a ? b) > . 2c = f 2 (c) ,故 f 2 ( x) 是“保三角形函数” 对于 f 3 ( x) = 3 x 2 ,取 a=3,b=3,c=5,显然 a,b,c 是一个三角形的三边长,但因 为 f 3 (a ) + f 3 (b) = 3 ? (32 ? 32 ) < 3 ? 52 = f 3 (c) ,所以 f 3 (a ) , f 3 (b) , f 3 (c) 不是三角形的三 边长,故 f 3 ( x) 不是“保三角形函数” . (2)解法 1:因为 g ( x) =1+ =1+
(k ? 1) x ,所以当 x=0 时, g ( x) =1;当 x>0 时, g ( x) x2 ? x ? 1
k ?1 . 1 x ? ?1 x ①当 k=-1 时,因为 g ( x) =1,适合题意. k ?1 k ?1 ②当 k>-1 时,因为 g ( x) =1+ ≤1+ =k+2,所以 g ( x) ∈ (1 , 1 1 x ? ?1 2 x ? ?1 x x k ?1 k ? 2] .从而当 k> -1 时, g ( x) ∈ [1 , k ? 2] .由 1+1>k+2,得 k<0,所以 1 2 x ? ?1 x -1<k<0. k ?1 k ?1 ③当 k<-1 时, 因为 g ( x) =1+ ≥1+ =k+2, 所以 g ( x) ∈ [ k ? 2 , 1 1 x ? ?1 2 x ? ?1 x x ?k ? 2 ? 0, 3 3 1) , 1] . 从而当 k>-1 时, 所以 g ( x) ∈ [ k ? 2 , 由? 得, k> ? , 所以 ? 2 2 ?(k ? 2) ? (k ? 2) ? 1 <k<-1. 综上所述,所求 k 的取值范围是( ? ,0). 解法 2:因为 g / ( x) =
3 2
(2 x ? k )( x 2 ? x ? 1) ? ( x 2 ? kx ? 1)(2 x ? 1) (k ? 1)( x ? 1)( x ? 1) =? , 2 2 ( x 2 ? x ? 1) 2 ( x ? x ? 1)
①当 k=-1 时,因为 g ( x) =1,适合题意. ②当 k>-1 时,可知 g ( x) 在 [0 ,1) 上单调递增,在 (1 ,??) 上单调递减,而 g (0) =1,
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g (1) =k+2,且当 x>1 时, g ( x) >1,所以此时 g ( x) ∈ [1 , k ? 2] . ③当 k<-1 时,可知 g ( x) 在 [0 ,1) 上单调递减,在 (1 ,??) 上单调递增,而 g (0) =1, g (1) =k+2,且当 x>1 时, g ( x) <1,所以此时 g ( x) ∈ [ k ? 2 , 1] . (以下同解法 1) (3)①因为 h( x) 的值域是(0, ??) ,所以存在正实数 a,b,c,使得 h(a) =1, h(b) = 1, h(c) =2,显然这样的 h(a) , h(b) , h(c) 不是一个三角形的三边长. 故 h( x) 不是“恒三角形函数” . ②因为 h( x) 的最小正周期为 T(T>0),令 a=b=m+kT,c=n,其中 k∈ N ? ,且 k>