2．设全集 U＝{1，3，5，7}，集合 M＝{1，a－5}，M ? U， ? U M ＝{5，7}，则实数 a ＝ ． 3．某工厂生产了某种产品 3000 件，它们来自甲、乙、丙三条生产线．为检查这批产品 的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙三条生产线抽取的个数分别为 a，b，c，且 a，b，c 构成等差数列，则乙生产线生产了 件产品． 4．若 f ( x) ＝ a sin( x ?
?
) ＋ 3sin( x ? ) 是偶函数，则实数 a＝ 4 4
?
．
5．从分别写有 0，1，2，3，4 五张卡片中取出一张卡片，记下数 字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好 等于 4 的概率是 ． 6．如右图，函数 y＝ f ( x) 的图象在点 P 处的切线方程，y＝－x＋ 5，在 f (3) － f / (3) ＝ ．
17． （本小题满分 14 分） 如图，某市拟在道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前 一部分为曲线段 ABC， 该曲线段为函数 y＝ A sin(? x ? ? ) (A＞0，
? ＞0，
? 2
＜ ? ＜ ? )，x∈[－3，0]的图象，且图象的最高点为
B(－1， 3 2 )；赛道的中间部分为 3 千米的水平跑到 CD；赛 道的后一部分为以 O 圆心的一段圆弧 DE ． （1）求 ? ， ? 的值和∠DOE 的值； （2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪” ，如图所示，矩形的一边 在道路 AE 上，一个顶点在扇形半径 OD 上．记∠POE＝ ? ，求当“矩形草坪”的面积最大 时 ? 的值．
18． （本小题满分 16 分） 在直角坐标系 xOy 中， 直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴分别相交于 A， B 两点， △AOB 的内切圆为圆 M． （1）如果圆 M 的半径为 1，l 与圆 M 切于点 C (
3 3 ，1＋ )，求直线 l 的方程； 2 2
（2）如果圆 M 的半径为 1，证明：当△AOB 的面积、周长最小时，此时△AOB 为同一 个三角形； （3）如果 l 的方程为 x＋y－2－ 2 ＝0，P 为圆 M 上任一点，求 PA2 ＋ PB 2 ＋ PO 2 的 最值．
3
19． （本小题满分 16 分） 已知数列 ?an ? 满足 a1 ＝0， a2 ＝2，且对任意 m，n∈ N ? 都有 a2 m ?1 ＋ a2 n ?1 ＝ 2am ? n ?1 ＋
2(m ? n)2 （1）求 a 3 ， a 5 ； （2）设 bn ＝ a2 n ?1 － a2 n ?1 ( n∈ N ? )，证明： ?bn ? 是等差数列； （3）设 c n ＝( an ?1 － an ) q n ?1 ( q≠0，n∈ N ? )，求数列的前 n 项的和 Sn ．
20． （本小题满分 16 分） 对于函数 y＝ f ( x) ，x∈(0， ??) ，如果 a，b，c 是一个三角形的三边长，那么 f (a ) ， f (b) ， f (c) 也是一个三角形的三边长， 则称函数 f ( x) 为“保三角形函数” ． 对于函数 y＝ g ( x) ，x∈ [0 ，??) ，如果 a，b，c 是任意的非负实数，都有 g (a) ， g (b) ， g (c) 是一个三角形的三边长，则称函数 g ( x) 为“恒三角形函数” ． （1）判断三个函数“ f1 ( x) ＝x， f 2 ( x) ＝ 2 x ， f 3 ( x) ＝ 3 x 2 (定义域均为 x∈(0，??) )” 中，那些是“保三角形函数”？请说明理由； （2）若函数 g ( x) ＝
x 2 ? kx ? 1 ，x∈ [0 ， ??) 是“恒三角形函数” ，试求实数 k 的取值 x2 ? x ? 1
( x1 ，0)，( x 2 ，0)，且 0＜ x1 ＜1＜ x 2 ． 由 f (1) ＝0 可知 b＝－a－3，所以 f ( x) ＝ x3 ＋ (a ? 1) x2 ＋3x＋b＝(x－1)( x 2 ＋ax＋a＋ 3)，故 x 2 ＋ax＋a＋3＝0 的两根分别在(0，1)，(1， ?? )内．
? g (0) ? 0， 令 g ( x) ＝ x 2 ＋ax＋a＋3，则 ? 得－3＜a＜－2． ? g (1) ? 0， 14．13．解析：当 x∈ [0 ， 1) 时， f ( x) ＝ [ x[ x ]] ＝ [ x ? 0] ＝0； 当 x∈ [1 ， 2) 时， f ( x) ＝ [ x[ x ]] ＝ [ x ? 1] ＝ [ x] ＝1； 当 x∈ [2 ，3) 时， 再将 [2 ，3) 等分成两段， x∈ [2 ， ) 时， f ( x) ＝ [ x[ x ]] ＝ [ x ? 2] ＝ [2 x] ＝4；x∈ [ ， 3) 时， f ( x) ＝ [ x[ x ]] ＝ [ x ? 2] ＝ [2 x] ＝5． 类似地，当 x∈ [3 ， 4) 时，还要将 [3 ， 4) 等分成三段，又得 3 个函数值；将 [4 ， 5) 等 分成四段，得 4 个函数值，如此下去．当 x∈ [0 ， n) (n∈ N ? )时，函数 f ( x) 的值域中的元 素个数为 an ＝1＋1＋2＋3＋4＋?＋(n－1)＝1＋
5 2
5 2
a ? 90 n 91 1 n(n ? 1) ，于是 n ＝ ＋ － ＝ n 2 n 2 2 a ? 90 1 1 182 的最小值为 13． (n ? ) － ，所以当 n＝13 或 n＝14 时， n 2 n 2 n 15．解析： （1）因为 A，B，C 成等差数列，所以 B＝
?
3 3 3 3 1 因为 AB ? BC ＝ ? ，所以 ac cos(? ? B) ＝ ? ，所以 ac ＝ ，即 ac＝3． 2 2 2 2 因为 b＝ 3 ， b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ，所以 a 2 ? c 2 ? ac ＝3，即 (a ? c) 2 ? 3ac ＝3． 所以 (a ? c)2 ＝12，所以 a＋c＝ 2 3 ．
．
3 1 2? ? C ) ? sin C ＝ 2( cos C ? sin C ) ? sin C ＝ 3 cos C ． 2 2 3 3 2? 因为 0＜C＜ ，所以 3 cos C ∈ ( ? ， 3) ． 2 3 3 所以 2sin A ? sin C 的取值范围是 ( ? ， 3) ． 2 （2） 2sin A ? sin C ＝ 2sin( 16．解析： （1）连结 OC．因为 BO＝DO，AB＝AD，所以 AO⊥BD．因为 BO＝DO， CB＝CD，所以 CO⊥BD． 在△AOC 中，由已知可得 AO＝1，CO＝ 3 ．而 AC＝2，所以 AO 2 ? CO 2 ＝ AC 2 ，所 以∠AOC＝ 90 ? ，即 AO⊥OC．因为 BD OC＝O，所以 AO⊥平面 BCD．
（ 2 ）设点 E 到平面 ACD 的距离为 h ．因为 VE ? ACD ＝ VA?CDE ，所以 h ? S?A C D ＝
?n(n ? 1)， ? 综上所述， Sn ＝ ? nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 ， ?2 ? (q ? 1) 2 ? 8
q ?1 ， q ? 1.
20．解析： （1）对于 f1 ( x) ＝x，它在(0， ??) 上是增函数，不妨设 a≤b≤c，则 f1 (a ) ≤
f1 (b) ≤ f1 (c) ，因为 a＋b＞c，所以 f1 (a) ＋ f1 (b) ＝a＋b＞c＝ f1 (c) ，故 f1 ( x) 是“保三角形 函数” ． 对于 f 2 ( x) ＝ 2 x ，它在(0， ??) 上是增函数， ，不妨设 a≤b≤c，则 f 2 ( a ) ≤ f 2 (b) ≤
f 2 (c) ，因为 a＋b＞c，所以 f 2 ( a ) ＋ f 2 (b) ＝ 2a ＋ 2b ＝ ( 2a ? 2b ) 2 ＞ 2(a ? b) ＞ ． 2c ＝ f 2 (c) ，故 f 2 ( x) 是“保三角形函数” 对于 f 3 ( x) ＝ 3 x 2 ，取 a＝3，b＝3，c＝5，显然 a，b，c 是一个三角形的三边长，但因 为 f 3 (a ) ＋ f 3 (b) ＝ 3 ? (32 ? 32 ) ＜ 3 ? 52 ＝ f 3 (c) ，所以 f 3 (a ) ， f 3 (b) ， f 3 (c) 不是三角形的三 边长，故 f 3 ( x) 不是“保三角形函数” ． （2）解法 1：因为 g ( x) ＝1＋ ＝1＋
(k ? 1) x ，所以当 x＝0 时， g ( x) ＝1；当 x＞0 时， g ( x) x2 ? x ? 1
k ?1 ． 1 x ? ?1 x ①当 k＝－1 时，因为 g ( x) ＝1，适合题意． k ?1 k ?1 ②当 k＞－1 时，因为 g ( x) ＝1＋ ≤1＋ ＝k＋2，所以 g ( x) ∈ (1 ， 1 1 x ? ?1 2 x ? ?1 x x k ?1 k ? 2] ．从而当 k＞ －1 时， g ( x) ∈ [1 ， k ? 2] ．由 1＋1＞k＋2，得 k＜0，所以 1 2 x ? ?1 x －1＜k＜0． k ?1 k ?1 ③当 k＜－1 时， 因为 g ( x) ＝1＋ ≥1＋ ＝k＋2， 所以 g ( x) ∈ [ k ? 2 ， 1 1 x ? ?1 2 x ? ?1 x x ?k ? 2 ? 0， 3 3 1) ， 1] ． 从而当 k＞－1 时， 所以 g ( x) ∈ [ k ? 2 ， 由? 得， k＞ ? ， 所以 ? 2 2 ?(k ? 2) ? (k ? 2) ? 1 ＜k＜－1． 综上所述，所求 k 的取值范围是( ? ，0)． 解法 2：因为 g / ( x) ＝
3 2
(2 x ? k )( x 2 ? x ? 1) ? ( x 2 ? kx ? 1)(2 x ? 1) (k ? 1)( x ? 1)( x ? 1) ＝? ， 2 2 ( x 2 ? x ? 1) 2 ( x ? x ? 1)
①当 k＝－1 时，因为 g ( x) ＝1，适合题意． ②当 k＞－1 时，可知 g ( x) 在 [0 ，1) 上单调递增，在 (1 ，??) 上单调递减，而 g (0) ＝1，
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g (1) ＝k＋2，且当 x＞1 时， g ( x) ＞1，所以此时 g ( x) ∈ [1 ， k ? 2] ． ③当 k＜－1 时，可知 g ( x) 在 [0 ，1) 上单调递减，在 (1 ，??) 上单调递增，而 g (0) ＝1， g (1) ＝k＋2，且当 x＞1 时， g ( x) ＜1，所以此时 g ( x) ∈ [ k ? 2 ， 1] ． （以下同解法 1） （3）①因为 h( x) 的值域是(0， ??) ，所以存在正实数 a，b，c，使得 h(a) ＝1， h(b) ＝ 1， h(c) ＝2，显然这样的 h(a) ， h(b) ， h(c) 不是一个三角形的三边长． 故 h( x) 不是“恒三角形函数” ． ②因为 h( x) 的最小正周期为 T(T＞0)，令 a＝b＝m＋kT，c＝n，其中 k∈ N ? ，且 k＞