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2019-2020年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 2.1直线的方向向量与平面的法向量 苏教版选修2-1


2019-2020 年高中数学 第 3 章 空间向量与立体几何 2.1 直线的方向
向量与平面的法向量 苏教版选修 2-1
课时目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.理解直线的方向向量与平面的法 向量在确定直线与平面时的作用.
1.直线的方向向量 直线 l 上的向量 e(e≠0)以及与 e 共线的非零向量叫做直线 l 的______________. 2.平面的法向量 如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 α ,那么称向量 n__________平面 α ,记作________,此时把向量 n 叫做平面 α 的__________. 3.平面法向量与平面内点之间的关系 在空间直角坐标系内,设平面 α 经过点 P(x0,y0,z0),平面 α 的法向量 n=(A,B,C), M(x,y,z)为平面 α 内任意一点,则 x,y,z 满足的关系式为______________________.
一、填空题 1.已知 A(3,5,2),B(-1,2,1),把→AB按向量 a=(2,1,1)平移后所得的向量是________. 2.从点 A(2,-1,7)沿向量 a=(8,9,-12)的方向取线段长 AB=34,则 B 点的坐标为 ________. 3.已知 a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线 l1、l2 的方向向量,若 l1∥l2,则 x=________; y=________. 4.设平面 α 的法向量为(1,2,-2),平面 β 的法向量为(-2,-4,k),若 α ∥β , 则 k=________.
5.已知 l∥α ,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 α 的法向量为???1,12,2???,则 m=________. 6.若 A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线 l 上,则 l 的一个方向向量|aa|=
________________________________________________________________________. 7. 如图所示,已知矩形 ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,若在 BC 上只有一个点 Q 满 足 PQ⊥QD,则 a=________. 8 . 已 知 A(1,0,0) , B(0,1,0) , C(0,0,1) , 则 平 面 ABC 的 单 位 法 向 量 坐 标 为 ________________________. 二、解答题 9.已知平面 α 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面 α 的一个 法向量.

10.△ABC 中,A(1,-1,2),B(3,3,1),C(3,1,3),设 M(x,y,z)是平面 ABC 上任一点. (1)求平面 ABC 的一个法向量; (2)求 x,y,z 满足的关系式.

能力提升 11. 在三棱锥 S—ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC⊥平面 ABC,SA=SC=2 3, M、N 分别为 AB、SB 的中点,如图所示,求平面 CMN 的一个法向量.
12.
如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,D1B1 的中点. 求证:E→F是平面 AB1C 的法向量.

1.直线的方向向量是一个很重要的概念.由定点 A 和方向向量 a 不仅可以确定直线 l 的 位置,还可具体表示出 l 上的任意点;还可确定直线共线的条件,计算两条直线所成的 角等. 2.求解平面的法向量 若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求 解. 3.由平面的法向量和平面内一点可得到平面上任一点坐标满足的关系式.
§3.2 空间向量的应用 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 知识梳理 1.方向向量 2.垂直于 n⊥α 法向量 3.A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 作业设计 1.(-4,-3,-1)
解析 A→B=(-4,-3,-1).平移后向量的模和方向是不改变的,所以平移后的向量和

向量→AB相等.

2.(18,17,-17)

解析 设 B(x,y,z),A→B=(x-2,y+1,z-7)=λ (8,9,-12),λ >0.

故 x-2=8λ ,y+1=9λ ,z-7=-12λ ,又(x-2)2+(y+1)2+(z-7)2=342, 得(17λ )2=342,∵λ >0,∴λ =2.∴x=18,y=17,z=-17,即 B(18,17,-17).

3.6

15 2

解析 ∵l1∥l2,∴a∥b,则有 2x=12 且 2y=15, 解方程得 x=6,y=125.

4.4

解析 α ∥β (-2,-4,k)=λ (1,2,-2),

∴λ =-2,k=4. 5.-8 解析 (2,m,1)·???1,12,2???=0,得 m=-8. 6.??? 1144, 714,3 1414???或???- 1144,- 714,-3 1414??? 7.2 解析 以 A 为原点,AB,AD,AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系,设

Q(1,y,0),P(0,0,b),D(0,a,0),所以P→Q=(1,y,-b),Q→D=(-1,a-y,0),由 PQ

⊥QD 得-1+y(a-y)+0=0,即 y2-ay+1=0 有等根,所以 Δ =0,即 a2-4=0,得 a =2.

8.???

3 3,

3 3,

33???或???-

3 3 ,-

3 3 ,-

33???

9.解 ∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),

∴A→B=(1,-2,-4),A→C=(2,-4,-3),

设平面 α 的法向量为 n=(x,y,z).依题意,应有 n·→AB=0,n·→AC=0.

即?????x2- x-2y4-y-4z3=z=00 ,解得?????xz= =20y .
令 y=1,则 x=2. ∴平面 α 的一个法向量为 n=(2,1,0). 10.解 (1)设平面 ABC 的法向量 n=(a,b,c),
∵A→B=(2,4,-1),A→C=(2,2,1),

??n·A→B=2a+4b-c=0

??c=b

∴???n·A→C=2a+2b+c=0

,∴???a=-32b

.

故可取 n=(-3,2,2). ∴平面 ABC 的一个法向量为 n=(-3,2,2). (2)∵点 M(x,y,z)是平面 ABC 上任一点, ∴-3(x-1)+2(y+1)+2(z-2)=0. ∴3x-2y-2z-1=0. 这就是所求的 x、y、z 满足的关系式. 11.

解 取 AC 中点 O,连结 OS、OB. ∵SA=SC,AB=BC, ∴CA⊥SO 且 AC⊥BO. ∵平面 SAC⊥平面 ABC, 平面 SAC∩平面 ABC=AC, ∴SO⊥平面 ABC, ∴SO⊥BO. 如图所示建立空间直角坐标系 O—xyz, 则 A(2,0,0),B(0,2 3,0), C(-2,0,0),S(0,0,2 2), M(1, 3,0),N(0, 3, 2).
∴C→M=(3, 3,0),M→N=(-1,0, 2).
设 n=(x,y,z)为平面 CMN 的一个法向量,

??C→M·n=3x+ 3y=0 则???M→N·n=-x+ 2z=0

,取 z=1,

则 x= 2,y=- 6,∴n=( 2,- 6,1). 因此平面 CMN 的一个法向量为( 2,- 6,1). 12.

证明 分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,不妨 设|→AB|=2, 则 E(2,2,1),F(1,1,2), A(2,0,0),B1(2,2,2),C(0,2,0). ∴E→F=(-1,-1,1),A→B1=(0,2,2),A→C=(-2,2,0),
→EF·A→B1=-2+2=0,→EF·→AC=2-2=0.



E→F⊥A→B1??

E→F⊥A→C

? ??

E→F⊥平面 AB1C.

∴E→F是平面 AB1C 的法向量.

2019-2020 年高中数学 第 3 章 空间向量与立体几何 2.2 空间线面关
系的判定 苏教版选修 2-1
课时目标 1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系.2.能用向量方法证 明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).

1.用直线的方向向量和平面的法向量表示平行、垂直关系 设空间两条直线 l1,l2 的方向向量分别为 e1,e2,两个平面 α 1,α 2 的法向量分别为 n1, n2,则
平行 垂直 l1 与 l2 l1 与 α 1 α 1与 α 2 文 字语 言: 在平 面内 的一条 直线 ,如 果它 和这 个平面 的一 条 ________在 这个平 面内 的 ________垂直,那么它也和这条________垂直.

几何语言:

b?平面α
?? c是b在平面α 内的射影 ?? a⊥b ??

3.直线与平面垂直的判定定理 文字语言:如果一条直线和平面内的________________________,那么这条直线垂直于 这个平面.

几何语言:

??

a?

α

,b?

α

?? l⊥α ??

一、填空题 1.平面 ABCD 中,A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1),若 a=(-1,y,z),且 a 为平 面 ABC 的法向量,则 y2=______. 2.若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2),平面 α 的法向量为 u=(-2,0,-4),则直线 l 与平面 α 的位置关系为__________. 3.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,如果A→B=(2,-1,-4),→AD=(4,2,0), →AP=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③A→P是平面 ABCD 的法向量;④→AP ∥B→D.其中正确的是________.(写出所有正确的序号) 4.已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k=________. 5.平面 α 的一个法向量为(1,2,0),平面 β 的一个法向量为(2,-1,0),则平面 α 与 平面 β 的位置关系是_______________________________________________. 6.已知 a=(1,1,0),b=(1,1,1),若 b=b1+b2,且 b1∥a,b2⊥a,则 b1,b2 分别为 ________________.

7.已知 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),若=,且 a⊥A→B,a⊥→AC,则向量 a 的坐 标为________. 8.设平面 α 、β 的法向量分别为 u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),则 α 、β 的位置 关系为________. 二、解答题 9.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点,求证:B1C∥平面 ODC1.

10.
如图所示,在六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,四边形 A1B1C1D1 是边长为 1 的正方形,DD1⊥平面 A1B1C1D1,DD1⊥平面 ABCD,DD1=2. 求证:(1)A1C1 与 AC 共面,B1D1 与 BD 共面; (2)平面 A1ACC1⊥平面 B1BDD1.
能力提升 11.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,G、E、F 分别是 DD1、BB1、D1B1 的中点. 求证:(1)EF⊥平面 A1DC1;(2)EF∥平面 GAC.
12.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 A1B1、A1D1 的中点,E、F 分别是棱 B1C1、 C1D1 的中点. 证明:(1)E、F、B、D 四点共面; (2)平面 AMN∥平面 BDFE.

1.运用空间向量将几何推理转化为向量运算时,应注意处理和把握以下两大关系:一是 一些几何题能用纯几何法和向量法解决,体现了纯几何法和向量法在解题中的相互渗透; 二是向量法解题时也有用基向量法和坐标向量法两种选择. 2.利用向量法解立体几何问题的“三步曲” (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把 立体几何问题转化为向量问题; (2)进行向量运算,研究点、直线、平面之间的关系; (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.
3.2.2 空间线面关系的判定

知识梳理

1.

平行

垂直

l1 与 l2

e1∥e2

l1 与 α 1

e1⊥n1

α 1与 α 2

n1∥n2

2.斜线 射影 斜线 aα a⊥c

3.两条相交直线垂直 l⊥a l⊥b a∩b=A

e1⊥e2 e1∥n1 n1⊥n2

作业设计

1.1

2.l⊥α 解析 ∵u=-2a,∴a∥u,∴l⊥α . 3.①②③

4.75

解析 ∵ka+b=(k-1,k,2),

2a-b=(3,2,-2),(ka+b)⊥(2a-b),

∴3(k-1)+2k-4=0,即 k=75.

5.垂直

解析 ∵(1,2,0)·(2,-1,0)=0,∴两法向量垂直,从而两平面也垂直.

6.(1,1,0),(0,0,1)

解析 ∵b1∥a,∴设 b1=(λ ,λ ,0),b2=b-b1

=(1-λ ,1-λ ,1),由 b2⊥a,即 a·b2=0, ∴1-λ +1-λ =0,得 λ =1, ∴b1=(1,1,0),b2=(0,0,1). 7.(1,1,1)或(-1,-1,-1)
解 析 设 a = (x , y , z) , 由 题 意 →AB = ( - 2 , - 1,3) , A→C = (1 , - 3,2) , ∴
?? x2+y2+z2=3, ?-2x-y+3z=0, ??x-3y+2z=0.
解得 x=1,y=1,z=1,或 x=-1,y=-1,z=-1, 即 a=(1,1,1)或(-1,-1,-1). 8.平行
9.证明 方法一 ∵B→1C=A→1D,B1 A1D, ∴B1C∥A1D,又 A1D 面 ODC1, ∴B1C∥平面 ODC1.
方法二 ∵B→1C=B→1C1+D→1D=B→1O+O→C1+D→1O+O→D=O→C1+O→D.
∴B→1C,O→C1,→OD共面. 又 B1C 面 ODC1,∴B1C∥面 ODC1. 方法三

建系如图,设正方体的棱长为 1,则可得 D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),O???12,12,1???, C1(0,1,1),
B→1C=(-1,0,-1),
→OD=???-12,-12,-1???, O→C1=???-12,12,0???. 设平面 ODC1 的法向量为 n=(x0,y0,z0),

??n·O→D=0 则???n·O→C1=0

??-21x0-12y0-z0=0
,得
???-12x0+21y0=0②



.

令 x0=1,得 y0=1,z0=-1,∴n=(1,1,-1). 又B→1C·n=-1×1+0×1+(-1)×(-1)=0, ∴B→1C⊥n,∴B1C∥平面 ODC1. 10.证明 以 D 为原点
,以 DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图,则有 A(2,0,0), B(2,2,0),C(0,2,0), A1(1,0,2),B1(1,1,2), C1(0,1,2),D1(0,0,2). (1)∵A→1C1=(-1,1,0),A→C=(-2,2,0), D→1B1=(1,1,0),D→B=(2,2,0), ∴A→C=2A→1C1,→DB=2D→1B1. ∴A→C与A→1C1平行,→DB与D→1B1平行, 于是 A1C1 与 AC 共面,B1D1 与 BD 共面. (2)D→D1·→AC=(0,0,2)·(-2,2,0)=0, →DB·→AC=(2,2,0)·(-2,2,0)=0, ∴D→D1⊥→AC,→DB⊥→AC. DD1 与 DB 是平面 B1BDD1 内的两条相交直线, ∴AC⊥平面 B1BDD1.又平面 A1ACC1 过 AC, ∴平面 A1ACC1⊥平面 B1BDD1. 11.证明
设正方体的棱长为 2,以D→A、D→C、D→D1为正交基底建立空间直角坐标系 D—xyz,如图,则 A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(2,2,1)、F(1,1,2)、G(0,0,1)、A1(2,0,2)、C(0,2,2).

(1)→EF=(1,1,2)-(2,2,1) =(-1,-1,1), A→1D=(0,0,0)-(2,0,2)=(-2,0,-2), D→C1=(0,2,2)-(0,0,0)=(0,2,2), ∵E→F·A→1D=(-1,-1,1)·(-2,0,-2) =(-1)×(-2)+(-1)×0+1×(-2)=0, →EF·D→C1=(-1,-1,1)·(0,2,2) =-1×0+(-1)×2+1×2=0, ∴EF⊥A1D,EF⊥DC1. 又 A1D∩DC1=D,A1D、DC1 平面 A1DC1, ∴EF⊥平面 A1DC1. (2)取 AC 的中点 O,则 O(1,1,0), ∴O→G=(-1,-1,1),∴OG∥EF. 又∵OG 平面 GAC,EF 平面 GAC, ∴EF∥平面 GAC. 12.证明
不妨设正方体的棱长为 2,建立如图所示空间直角坐标系,则 A(2,0,0),M(2,1,2), N(1,0,2),B(2,2,0),E(1,2,2),F(0,1,2). (1)→EF=(-1,-1,0), →DB=(2,2,0). ∵D→B=-2E→F,∴→DB∥→EF. 故 E、F、B、D 四点共面. (2)→DF=(0,1,2),→MN=(-1,-1,0),M→A=(0,-1,-2). 设 n=(x,y,z)为平面 BDFE 的法向量,
??n·D→F=y+2z=0, 则???n·→EF=-x-y=0. 令 z=1,得 n=(2,-2,1).

∵n·→MN=(2,-2,1)·(-1,-1,0)=0, n·→MA=(2,-2,1)·(0,-1,-2)=0, ∴n⊥→MN,n⊥M→A,即 n 也是平面 AMN 的法向量. ∴平面 AMN∥平面 BDFE.


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