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2019版高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 3.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式习题课件 文_图文


课后作业夯关 3.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式

[重点保分 两级优选练]

A级

一、选择题

1.计算 sin43°cos13°+sin47°cos103°的结果等于( )

1

3

2

3

A.2 B. 3 C. 2 D. 2

解析 原式=sin43°cos13°-cos43°sin13°=sin(43°-

13°)=sin30°=12.故选 A.

2.sin47°-cosisn1177°°cos30°=(

)

A.-

3 2

B.-12

1 C.2

3 D. 2

解 析 sin47°= sin(30°+ 17°) = sin30°cos17°+ cos30°·sin17°,
∴原式=sin3c0o°sc1o7s°17°=sin30°=12.故选 C.

3.(2017·云南一检)已知过点(0,1)的直线 l:xtanα-y-

3tanβ=0 的斜率为 2,则 tan(α+β)=( )

A.-73

7 B.3

5 C.7

D.1

解析 由题意知 tanα=2,tanβ=-13. ∴tan(α+β)=1t-anαta+nαttaannββ=1-22-×13????-13????=1. 故选 D.

4.cosπ9·cos29π·cos????-293π????=(

)

A.-18

B.-116

1 C.16

1 D.8

解析 cosπ9·cos29π·cos????-293π???? =cos20°·cos40°·cos100°=-cos20°·cos40°·cos80°

=-sin20°·cos2s0in°·2c0o°s40°·cos80°

1

1

=-2sin40°·scions2400°°·cos80°=-4sin8si0n°2·c0o°s80°

1

1

=-8ssiinn2106°0°=-8ssiinn2200°°=-81.故选 A.

5.(2017·衡水中学二调)cos130°-sin1170°=( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4
解析 cos130°-sin1170°=cos130°-sin110° = 3ssiinn1100°°c-osc1o0s°10°=2sin12?1si0n°2-0°30°?=-122sisnin2200°°=-4. 故选 D.

6.若 0<α<π2,-π2<β<0,cos????4π+α????=13,cos????π4 - β2????= 33,

则 cos????α+β2????=(

)

3 A. 3

B.-

3 3

53 C. 9

D.-

6 9

解析 cos????α+β2????=cos????????π4+α????-????4π-β2????????

=cos????π4+α????cos????4π-β2????+sin????4π+α????sin????4π-β2????,



0<α<π2,得π4<α+π4<34π,则

sin????4π+α????=2

3

2 .

由-π2<β<0,得π4<π4-β2<π2,则 sin????4π-β2????= 36,代入上式,

得 cos????α+β2????=5 9 3.故选 C.

7.(2018·长春模拟)已知 tan(α+β)=-1,tan(α-β)=21,

则ssiinn22αβ的值为( )

1 A.3

B.-13

C.3

D.-3

解析 ssiinn22αβ=ssiinn[[??αα+ +ββ??+ -??αα- -ββ??]] =ssiinn??αα+ +ββ??ccooss??αα- -ββ??+ -ccooss??αα+ +ββ??ssiinn??αα- -ββ?? =ttaann??αα+ +ββ??+ -ttaann??αα- -ββ??=13.故选 A.

8.(2017·山西八校联考)若将函数 f(x)=sin(2x+φ)+ 3

cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度,平移后的

图象关于点????2π,0????对称,则函数 g(x)=cos(x+φ)在????-π2,π6????上 的最小值是( )

A.-12

B.-

3 2

2 C. 2

1 D.2

解析 ∵f(x)=sin(2x+φ)+ 3cos(2x+φ)=2sin( 2x+φ +π3 ),∴将函数 f(x)的图象向左平移π4个单位长度后,得到函 数解析式为 y=2sin????2????x+π4????+φ+π3????=2cos????2x+φ+π3???? 的图 象.∵该图象关于点????2π,0????对称,对称中心在函数图象上, ∴2cos????2×π2+φ+π3????=2cos????π+φ+π3????=0,解得 π+φ+π3=kπ +π2,k∈Z,即 φ=kπ-56π,k∈Z.

∵0<φ<π,∴φ=π6,∴g(x)=cos????x+π6????, ∵x∈????-π2,π6????,∴x+π6∈????-π3,π3????, ∴cos????x+π6????∈????12,1????, 则函数 g(x)=cos(x+φ)在????-π2,π6????上的最小值是12.故选 D.

9.(2018·兰州检测)在斜三角形 ABC 中,sinA=- 2 cosB·cosC,且 tanBtanC=1- 2,则角 A 的值为( )
π π π 3π A.4 B.3 C.2 D. 4 解析 由题意知,- 2cosBcosC=sinA=sin(B+C)= sinBcosC + cosBsinC , 等 式 - 2 cosBcosC = sinBcosC + cosBsinC 两边同除以 cosBcosC,得 tanB+tanC=- 2,又 tan(B+C)=1t-anBta+nBttaannCC=-1=-tanA,即 tanA=1,所以 A=π4.故选 A.

10.(2018·河北模拟)已知 θ∈????0,4π????,且 sinθ-cosθ=

- 414,则2ccooss????π42θ+-θ1???? 等于(

)

2433 A.3 B.3 C.4 D.2

解析 由 sinθ-cosθ=- 414,得 sin????4π-θ????= 47, ∵θ∈????0,4π????,∴π4-θ∈????0,4π????, ∴cos????π4-θ????=34, ∴2ccooss????π42θ+-θ1???? =sinco????π4s-2θθ????=ssiinn????π2????π4--2θθ???????? =sisnin????2????4π????π4--θθ????????????=2cos????4π-θ????=32.故选 D.

二、填空题
1 11.已知 cos(α+β)cos(α-β)=13,则 cos2α-sin2β= ___3_____.
解析 ∵(cosαcosβ-sinαsinβ)(cosαcosβ+sinαsinβ)=31, ∴cos2αcos2β-sin2αsin2β=31. ∴cos2α(1-sin2β)-(1-cos2α)sin2β=13. ∴cos2α-sin2β=31.



12.已知 α,β∈(0,π),且 2α-β 的值为__-__3_4π___.

tan(α-β)=12,tanβ=-17,

解析



tanα



tan[(α



β)



β]



tan?α-β?+tanβ 1-tan?α-β?tanβ



1+12-12×17 17=13>0,又 α∈(0,π),∴0<α<π2,

又∵tan2α=1-2tatannα2α=12-×????1331????2=43>0,

∴0<2α<π2, ∴tan(2α-β)=1t+an2taαn-2αttaannββ=1-34+34×17 17=1. ∵tanβ=-17<0,∴π2<β<π,-π<2α-β<0, ∴2α-β=-34π.

13.(2017·江苏模拟)已知 α,β 为三角形的两个内角,

cosα=71,sin(α+β)=5143,则

π β=_____3___.

解析 因为 0<α<π,cosα=17,所以 sinα= 1-cos2α=

4 7

3,故π3<α<π2,又因为

0<α+β<π,sin(α+β)=5143<

23,

所以 0<α+β<π3或23π<α+β<π.

由π3<α<π2,知23π<α+β<π, 所以 cos(α+β)=- 1-sin2?α+β?=-1114, 所以 cosβ=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=12, 又 0<β<π,所以 β=π3.

14.已知 sinα=21+cosα,且 值为_-___2_1_4__.

α∈????0,2π????,则sinco????αs-2απ4????的

解析 ∵sinα=12+cosα,∴sinα-cosα=12, ∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=14, ∴2sinαcosα=34. ∵α∈????0,2π????, ∴sinα+cosα= sin2α+cos2α+2sinαcosα = 1+43= 27,

∴sinco????αs-2απ4????=?cosα+22?ssininαα?-?cocsoαs-α? sinα?

=-

2(sinα+cosα)=-

14 2.

B级

三、解答题

15.(2017·合肥质检)已知 a=(sinx, 3cosx),b=(cosx,

-cosx),函数

f(x)=a·b+

3 2.

(1)求函数 y=f(x)图象的对称轴方程;

(2)若方程 f(x)=13在(0,π)上的解为 x1,x2,求 cos(x1-

x2)的值.

解 (1)f(x)=a·b+ 23=(sinx, 3cosx)·(cosx,-cosx)+

3 2



sinx·cosx



3 cos2x +

3 2



1 2

sin2x



3 2

cos2x



sin????2x-π3????. 令 2x-π3=kπ+π2(k∈Z),得 x=51π2+k2π(k∈Z),

即函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x=152π+k2π(k∈Z).

(2)由条件知 sin????2x1-π3????=sin????2x2-π3????=31>0,设 x1<x2, 则 0<x1<51π2<x2<23π,易知(x1,f(x1))与(x2,f(x2))关于直线 x=152π 对称,则 x1+x2=56π,
∴ cos(x1 - x2) = cos ????x1-????56π-x1???????? = cos ????2x1-56π???? = cos????????2x1-π3????-π2????=sin????2x1-π3????=13.

16.(2017·黄冈质检)已知函数 f(x)=2cos2x-sin????2x-76π????. (1)求函数 f(x)的最大值,并写出 f(x)取最大值时 x 的取 值集合; (2)已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若 f(A)=32,b+c=2.求实数 a 的取值范围.

解 (1)f(x)=2cos2x-sin????2x-76π???? =(1+cos2x)-????sin2xcos76π-cos2xsin76π???? =1+ 23sin2x+12cos2x=1+sin????2x+π6????. ∴函数 f(x)的最大值为 2. 当且仅当 sin????2x+π6????=1,即 2x+π6=2kπ+π2(k∈Z),即 x=kπ+π6,k∈Z 时取到.

∴ 函 数 f(x) 的 最 大 值 为 2 时 x 的 取 值 集 合 为 {x????x=kπ+π6,k∈Z?????.
(2)由题意,f(A)=sin????2A+π6????+1=32, 化简得 sin????2A+π6????=12. ∵A∈(0,π),∴2A+π6∈????6π,163π????, ∴2A+π6=56π,∴A=π3.

在△ABC 中,根据余弦定理, 得 a2=b2+c2-2bccosπ3=(b+c)2-3bc. 由 b+c=2,知 bc≤????b+2 c????2=1,即 a2≥1. ∴当且仅当 b=c=1 时,取等号. 又由 b+c>a 得 a<2.所以 a 的取值范围是[1,2).

17.(2017·青岛诊断)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的 边分别为 a,b,c,且 asinB+ 3acosB= 3c.
(1)求角 A 的大小; (2)已知函数 f(x)=λcos2????ωx+A2????-3(λ>0,ω>0)的最大值 为 2,将 y=f(x)的图象的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 32倍后便得到函数 y=g(x)的图象,若函数 y=g(x)的最小正 周期为 π.当 x∈????0,π2????时,求函数 f(x)的值域.

解 (1)∵asinB+ 3acosB= 3c, ∴sinAsinB+ 3sinAcosB= 3sinC. ∵C=π-(A+B), ∴sinAsinB+ 3sinAcosB= 3sin(A+B) = 3(sinAcosB+cosAsinB). 即 sinAsinB= 3cosAsinB. ∵sinB≠0,∴tanA= 3,∵0<A<π,∴A=π3.

(2)由 A=π3,得 f(x)=λcos2????ωx+π6????-3=λ·1+cos????22ωx+π3???? -3=2λcos????2ωx+π3????+2λ-3,
∴λ-3=2,λ=5. ∴f(x)=5cos2????ωx+π6????-3=52cos????2ωx+π3????-12, 从而 g(x)=25cos????34ωx+π3????-21,

∴432ωπ=π,得 ω=32,

∴f(x)=52cos????3x+π3????-21. 当 x∈????0,2π????时,π3≤3x+π3≤116π, ∴-1≤cos????3x+π3????≤ 23, 从而-3≤f(x)≤5 34-2,

∴f(x)的值域为???-3,5 ?

34-2????.

18 . (2017·江 西 南 昌 三 校 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) = sin????56π-2x????-2sin????x-π4????cos????x+34π????.
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)若 x∈????1π2,π3????,且 F(x)=-4λf(x)-cos????4x-π3????的最小 值是-32,求实数 λ 的值.

解 (1)∵f(x)=sin????56π-2x????-2sin????x-π4????cos????x+34π???? =12cos2x+ 23sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx) =12cos2x+ 23sin2x+sin2x-cos2x =12cos2x+ 23sin2x-cos2x =sin????2x-π6????.

∴函数 f(x)的最小正周期 T=22π=π. 由 2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2得 kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈Z), ∴函数 f(x)的单调递增区间为????kπ-π6,kπ+π3????(k∈Z).

(2)F(x)=-4λf(x)-cos????4x-π3 ???? =-4λsin????2x-π6????-????1-2sin2????2x-π6???????? =2sin2????2x-π6????-4λsin????2x-π6????-1 =2????sin????2x-π6????-λ????2-1-2λ2. ∵x∈????1π2,π3????,∴0≤2x-π6≤π2,

∴0≤sin????2x-π6????≤1. ①当 λ<0 时,当且仅当 sin????2x-π6????=0 时,F(x)取得最小 值,最小值为-1,这与已知不相符; ②当 0≤λ≤1 时,当且仅当 sin????2x-π6????=λ 时,F(x)取得 最小值,最小值为-1-2λ2,由已知得-1-2λ2=-32,解得 λ=-12(舍)或 λ=12;

③当 λ>1 时,当且仅当 sin????2x-π6????=1 时,F(x)取得最小 值,最小值为 1-4λ,由已知得 1-4λ=-32,解得 λ=85,这 与 λ>1 矛盾.
综上所述,λ=12.


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