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湖北襄阳市2014年6月调研测试高一数学试题


试卷类型 A
机 密 ★ 启用前

20 14 年 6 月 襄 阳 市 普 通 高 中 调 研 统 一 测 试

高 一 数 学
命题人:襄阳教研室 郭仁俊 襄阳五中 何宇飞 审定人: 谷城一中 司立权 本试题卷共9页,21 题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。

★祝考试顺利★
注意事项: 1. 答卷前,请考生认真阅读答题卡上的注意事项。非网评考生务必将自己的学校、班级、 姓名、考号填写在答题卡密封线内,将考号最后两位填在登分栏的座位号内。网评考生务必将 自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置,贴好条形码或将考号对应数字涂黑。用 2B 铅笔 将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2. 选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3. 填空题和解答题的作答:用 0.5 毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题 区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4. 考生必须保持答题卡的清洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。) 1. 不等式 x2 ? 4 x ? 5 ? 0 的解集是 A.{x |-1≤ x≤ 5} C.{x |-1< x < 5} 2. 若 a、b、c 为实数,则下列命题正确的是 A.若 a > b,则 ac2 > bc2 B.若 a < b < 0,则 a2 > ab> b2 1 1 b a C.若 a < b < 0,则 ? D.若 a < b < 0,则 ? a b a b 3. 等差数列{an}的公差 d < 0,且 a2a4 = 12,a2 + a4 = 8,则数列{an}的通项公式是 A.an = 2n-2 (n∈N*) C.an =-2n + 12 (n∈N*) 4. 下列命题中正确的是
高一数学 试卷 A 型 第 1 页 (共 9 页)

B.{x | x≥ 5 或 x≤ -1} D.{x | x > 5 或 x <-1}

B.an = 2n + 4 (n∈N*) D.an =-2n + 10 (n∈N*)

试卷类型 A
A.空间三点可以确定一个平面 B.三角形一定是平面图形 C.若 A、B、C、D 既在平面α 内,又在平面β 内,则平面α 和平面β 重合 D.四条边都相等的四边形是平面图形

1 5. 不等式 ax 2 ? bx ? 2 ≥ 0 的解集为 {x | ?2 ≤ x ≤ ? } ,则 4 A.a =-8,b =-10 B.a =-1,b = 9
C.a =-4,b =-9 D.a =-1,b = 2

6. 一平面截球 O 得到半径为 5 cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 2cm,则球 O 的体积 是 A.12π cm3 C. 64 6? cm3 B.36π cm3 D. 108? cm3
主视图 侧视图

7. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,实线画 出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积 为 A.6 C.12 B.9 D.18

俯视图

8. 在△ ABC 中角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 4sin 2
c ? 7 ,则△ ABC 的面积为

A? B 7 ? cos 2C ? ,且 a + b = 5, 2 2
D.
3 3 4

A.

3 3 2

B.

3 2

C.

3 4

9. 对于平面 α 和共面的直线 m、n,下列命题正确的是 A.若 m、n 与 α 所成的角相等,则 m∥ n C.若 m⊥ α,m⊥ n,则 n∥ α B.若 m∥ α,n∥ α,则 m∥ n D.若 m?α,n∥ α,则 m∥ n

10. 已知数列{an}满足 an = nkn(n∈ N*,0 < k < 1),下面说法正确的是 1 ① 当 k ? 时,数列{an}为递减数列; 2 1 ② 当 ? k ? 1 时,数列{an}不一定有最大项; 2 1 ③ 当 0 ? k ? 时,数列{an}为递减数列; 2 k ④ 当 为正整数时,数列{an}必有两项相等的最大项. 1? k

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试卷 A 型

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试卷类型 A
A.① ② B.② ④ C.③ ④ D.② ③

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填在答题卡对应题号 的位置上。 ....... 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。) 11. 已知圆锥的底面半径为 2cm,高为 1cm,则圆锥的侧面积是 ▲
2 12. 数列{an}中,a1 = 3, an?1 ? an (n ? N* ) ,则数列的通项公式 ▲

cm2. .

13. 已知 log2 x ? log2 y ? 1 ,则 x + y 的最小值为 ▲ 14.

. P E C A O B

2cos10? ? tan 20? ? cos 20?





15. 如图,PA⊥ ⊙ O 所在的平面,AB 是⊙ O 的直径,C 是⊙ O 上的一 点,E、F 分别是点 A 在 PB、PC 上的射影.给出下列结论: ① AF⊥ PB; ③ AF⊥ BC; ② EF⊥ PB; ④ AE⊥ 平面 PBC. .

F

其中正确命题的序号是 ▲

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 16. (本大题满分 12 分)
4 3 已知 sin(? ? ) ? sin ? ? ? ,求 3 5

?

2sin(2? ?

?

) cos ? ? 3 sin ? 6 的值. cos 2?

17. (本大题满分 12 分) 某旅游景点有一座风景秀丽的山峰,游客可以乘长为 3km 的索道 AC 上山,也可以沿山路 BC 上山,山路 BC 中间有一个距离山脚 B 为 1km 的休息点 D.已知∠ ABC = 120° ,∠ ADC = 150° .假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时 1.2km,请问:两位登山爱好者能否在 2 个小时内徒步登上山峰(即从 B 点出发到达 C C 点).

D A 18. (本大题满分 12 分) B

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D D1 C1

C 4m

试卷类型 A
某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD ,公园由长方形休闲区 A1B1C1D1 和环公园人行道(阴影部分)组成. 已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4000m2, 人行道 的宽分别为 4m 和 10m(如图所示). AB (1)若设休闲区的长和宽的比 1 1 ? x ,求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数解析式; B1C1 (2)要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长和宽应如何设计?

19. (本大题满分 12 分) 已知各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为 60,且 a6 为 a1 和 a21 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和 Sn; (2)若数列{bn}满足 bn?1 ? bn ? an (n ? N* ) ,b1 = 3,求数列 {
1 } 的前 n 项和 Tn. bn

20. (本大题满分 13 分) 已知△ABC 是边长为 l 的等边三角形,D、E 分别是 AB、AC 边上的点,AD = AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将△ABF 沿 AF 折起,得到三棱锥 A-BCF,其中 BC ? (1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥ 平面 ABF; 2 (3)当 AD ? 时,求三棱锥 F-DEG 的体积 V. 3 A A
2 . 2

D B

G

E D C B

G

E

F

F

C

高一数学

试卷 A 型

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试卷类型 A
21. (本大题满分 14 分) 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 an + 1 = 2Sn + 2 (n∈ N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)在 an 与 an + 1 之间插入 n 个数,使这 n + 2 个数组成一个公差为 dn 的等差数列. ①在数列{dn}中是否存在三项 dm,dk,dp (其中 m,k,p 成等差数列)成等比数列?若存在, 求出这样的三项,若不存在,说明理由; 1 1 1 1 15 ? ? ? ? ( n ? N* ) . ②求证: ? d1 d 2 d 3 d n 16

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试卷 A 型

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试卷类型 A

2014 年 6 月襄阳市普通高中调研统一测试 高一数学参考答案及评分标准
说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标 准的精神进行评分。 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当 考生的解答在某一步出现错误, 影响了后继部分, 但该步以后的解未改变这一题的内容和难 度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半, 如果有较严重的概念性错误,就不给分。 3.解答题中右端所标注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数。 一.选择题:DBDBC 二.填空题:11. 2 5? 三.解答题: 16.解:由 sin(? ? ∴ BCADC 12. an ? 32
n ?1

13. 2 2

14. 3

15.①②③

?
3

) ? sin ? ? ?

4 3 3 3 4 3 cos ? ? ? 得: sin ? ? 5 2 2 5

2分 4分

3 sin ? ? cos ? ? ?

) cos ? ? 3 sin ? 6 cos 2? ( 3 sin 2? ? cos 2? ) cos ? ? 3 sin ? = cos 2? 2 3 sin ? (2 cos ? ? 1) ? cos 2? cos ? = cos 2?

2sin(2? ?

?

8 5

6分 8分 10 分 12 分 2分 4分

? 3 sin ? ? cos ?

??

8 . 5

17.解:由∠ ADC = 150° 得:∠ DAB = 30° 1 AD 由正弦定理得: ,∴ AD ? 3 ? sin 30? sin120? 在△ ADC 中,由余弦定理得: | AC |2 ?| AD |2 ? | DC |2 ?2 | AD | ? | DC | cos150? 即 32 ? ( 3 )2 ? | DC |2 ?2 3 ?
3 | DC | ? | DC |2 ?3 | DC | ?6 ? 0 2

6分

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试卷 A 型

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试卷类型 A
解得: | DC |? ∴ | BC | ? 1 ? 由于
5.8 ? 2 ?3 ? 33 km 2

8分 km 10 分

?3 ? 33 ?1 ? 33 ? 2 2 33.64 ? 2

33 ?1 ? 33 ,∴ 2.4 ? 2 2

因此两位登山爱好者能够在 2 个小时内徒步登上山峰. 18.(1)解:设休闲区的宽为 a 米,则其长为 ax 米 由 a2x = 4000,得: a ?
20 10 x

12 分

2分 4分

则 S = (a + 8)(ax + 20) = a2x + (8x + 20)a + 160 = 4000 ? (8 x ? 20) ? 即 S ? 80 10 (2 x ?
20 10 5 ? 160 ? 80 10 (2 x ? ) ? 4160 x x

5 ) ? 4160 x 5 ) ? 4160 ≥160 10 ? 10 ? 4160 ? 5760 x

6分 8分 10 分

(2)解: S ? 80 10 (2 x ? 当且仅当 2 x ?

5 ,即 x = 2.5 时取等号 x 此时 a = 40,ax = 100
所以要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 应设计为长 100 米,宽 40 米. 19.(1)解:设数列{an}的公差是 d,则 6?5 S6 ? 6a1 ? d ? 6a1 ? 15d ? 60 ,即 2a1 ? 5d ? 20 2 ∵ a6 为 a1 和 a21 的等比中项
2 ∴ a6 ? a1a21 ,即 (a1 ? 5d )2 ? a1 (a1 ? 20d )

12 分



2分



4分 6分

由① ② 解得:a1 = 5,d = 2 ∴ an ? 2n ? 3 , Sn ? n2 ? 4n . (2)解:由(1)知:

bn?1 ? bn ? 2n ? 3 bn ? bn?1 ? 2(n ? 1) ? 3 bn?1 ? bn?2 ? 2(n ? 2) ? 3 b2 ? b1 ? 2 ? 1 ? 3
累加,得: bn ? b1 ? 2(1 ? 2 ? 3 ?
? n ? 1) ? 3(n ? 1)
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8分

高一数学

试卷类型 A
=

2(1 ? n ? 1)(n ? 1) ? 3(n ? 1) = n2 ? 2n ? 3 2
10 分

∴ bn ? n2 ? 2n 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bn n(n ? 2) 2 n n ? 2 ∴ Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2 1 1 1 1 3n 2 ? 5n ? (1 ? ? ? )? 2 2 n ?1 n ? 2 4(n ? 1)(n ? 2)

12 分

AD AE ? DB EC 在折叠后的三棱锥 A-BCF 中也成立,∴ DE∥ BC
20.(1)证:在等边三角形 ABC 中,AD = AE,∴ ∵ DE 在平面 BCF 外,BC 在平面 BCF 内,∴ DE∥平面 BCF. (2)证:在等边三角形 ABC 中,F 是 BC 的中点,所以 AF⊥ BC,折叠后,AF⊥ FC ∵ 在△ BCF 中, BC ?
2 1 , BF ? CF ? 2 2

2分 4分 6分

∴ BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ,因此 CF⊥ BF 又 AF、BF 相交于 F,∴ CF⊥平面 ABF. (3)解:由(1)可知 GE∥ CF,结合(2)可得:GE⊥ 平面 ABF,∴ VF ?DEG ? VE ?DFG
2 1 1 1 1 3 2 时, DG ? GE ? BF ? ,FG ? AF ? ? 1 ? ( ) 2 ? 3 3 3 3 2 6 3 1 1 1 1 3 1 3 ? ? ∴ VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GE ? ? ? . 3 2 6 3 6 3 324

8分 10 分 11 分 12 分 13 分

当 AD ?

21.(1)解:由 an + 1 = 2Sn + 2,得:an = 2Sn-1 + 2 (n≥2) 两式相减:an + 1 = 3an 因此 an ? 2 ? 3n?1 . (n≥2) 2分 4分
n?1

∵ 数列{an}是等比数列,∴ a2 = 2S1 + 2 = 2a1 + 2 = 3a1,故 a1 = 2

4?3 n ?1 ①假设在数列{dn}中存在三项 dm,dk,dp (其中 m,k,p 成等差数列)成等比数列
(2)解:由题意 an?1 ? an ? (n ? 2 ? 1)dn ,即 2 ? 3n ? 2 ? 3n?1 ? (n ? 1)dn ,故 dn ? 则 (dk )2 ? dmd p ,即: (
4 ? 3k ?1 2 4 ? 3m?1 4 ? 3 p?1 32 k 3m? p ) ? ? ? ? k ?1 m ?1 p ?1 (k ? 1) 2 (m ? 1)( p ? 1)

6分

(*)

8分

∵ m,k,p 成等差数列,∴ m + p = 2k (*)可以化为 k2 = mp,故 k = m = p,这与题设矛盾

高一数学

试卷 A 型

第 8 页 (共 9 页)

试卷类型 A
∴ 在数列{dn}中不存在三项 dm,dk,dp (其中 m,k,p 成等差数列)成等比数列. ②令 Tn ?
1 1 1 ? ? ? d1 d 2 d3 ? 1 2 3 4 ? ? ? ? 0 1 dn 4 ? 3 4?3 4 ? 32 ? n ?1 4 ? 3n?1

10 分

1 2 3 4 n ?1 则 Tn ? ? ? ? ? 1 2 3 3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n 2 2 1 1 1 n ?1 两式相减得: Tn ? ? ? ? ? ? 0 1 2 n?1 3 4?3 4?3 4?3 4?3 4 ? 3n 1 1 (1 ? n?1 ) 1 1 3 n ? 1 5 2n ? 5 3 ? ? ? ? ? ? 1 2 4 4 ? 3n 8 8 ? 3n 1? 3 15 2n ? 5 15 ∴ Tn ? . ? ? 16 16 ? 3n?1 16

11 分

13 分

14 分

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试卷 A 型

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