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江苏省张家港高级中学2016-2017学年高二第二学期数学期中试卷(理)


张家港

2016—2017

张家港高级中学 2016—2017 学年高二数学第二学期期中试卷(理)
一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分,请将正确结果填在相应横线上.) 1.复数 1-i 的共轭复数是__________. 1 ? i
m 2. 若 k ? N , k ? 4) ,则将 (k ? 3)(k ? 2)(k ? 1)k 用排列数符号 An 表示为 4? n 9? n 3.求值 Cn ? Cn ?1 =__________.2

. Ak

4

4. 用反证法证明“在一个三角形的 3 个内角中,至少有 2 个锐角”时,应假设的内容是 至多有 1 个锐角 5. 如果复数(m2+i)(1+mi)(其中 i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 m=________. 0 或 1 6. 设随机变量 X 的分布列为 P(X=i)= 1? ? 7.二项式?x- ?8 的展开式中常数项等于 x? ? 8.若 X ~ B(5,0.5) ,则 P( X ? 4) =



i ,(i=1,2,3),则 P(X=2)等于 2a
. 70
3 ) 16

.

1 3

. 0.1875(或

9. 已知甲、乙、丙 3 名运动员击中目标的概率分别为 0.7,0. 8,0.85,若他们 3 人向目标各发 1 枪,则目标没有被击中的概率为 . 0.009

10.若(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),且 a1+a2=21,则展开式的各项中系数的最大值 为 . 20

11. 在五个数字 1,2,3,4,5 中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是 ________(结果用数值表示).0.3 12 把正整数按一定的规则排成了如右下图所示的三角形数表.设 aij(i,j∈N*)是位于这个三角形 数表中从上往下数第 i 行、 从左往右数第 j 个数, 如 a42=8.若 aij=2009, 则 i 与 j 的和为 13.对于命题:若 O 是线段 AB 上一点,则有|→ OB|·→ OA+|→ OA|·→ OB=0. 将它类比到平面的情形是:若 O 是△ABC 内一点,则有 S△OBC·→ OA+ . 107

S△OCA·→ OB+S△OAB·→ OC=0.
1

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2016—2017

将它类比到空间的情形应该是:若 O 是四面体 ABCD 内一点,则有___ → → → VO-BCD·→ OA+VO-ACD·OB +VO-ABD·OC+VO-ABC·OD=0 14. 已知函数 f(x)= 1-x ?1 ? +lnx,则 f(x)在? ,2?上的最大值等于 x ?2 ? . 1-ln2

二.解答题(本大题共 6 小题,计 90 分,请写出必要的文字表述、计算过程或推演步骤.) 15.已知复数 z=3+bi(b∈R),且(1+3i)z 为纯虚数. (1)求复数 z;(2)若 ω = 解:

z
2+i

,求复数 ω 的模|ω |.

(1)(1+3i)(3+bi)=(3-3b)+(9+b)i, 则 b=1,从而 z=3+i. ?7?2 ? 1?2 ? ? +?- ? = 2. ?5? ? 5?

∵(1+3i)z 是纯虚数,∴3-3b=0 且 9+b≠0, (2)ω =

z
2+i



3+i = 2+i

+ +

- -

7 1 = - i.∴|ω |= 5 5

1? ? 16.在?2 x- ?6 的展开式中,求:(1)第 3 项的二项式系数及系数;(2)含 x2 的项. x? ? 解:(1)第 3 项的二项式系数为 C2 6=15, 所以第 3 项的系数为 24C2 6=240. ? 1? 3-k (2)Tk+1=Ck x)6-k?- ?k=(-1)k26-kCk , 6(2 6x x? ? 令 3-k=2,得 k=1. 所以含 x2 的项为第 2 项,且 T2=-192x2. ? 1? 又 T3=C2 x)4?- ?2=24·C2 6(2 6x, x? ?

17.喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判,通过谈判他们握手言和,准备一起照合影 像(排成一排). (1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻,有多少种排法? (2)要求灰太狼、红太狼不相邻,有多少种排法? (3)记灰太狼和红太狼之间的喜羊羊家族的成员个数为 ? ,求 ? 的概率分布. 解: (1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素, 排法为 A3 3.又因为四位成员交换顺序产生不同排列,
4 所以共有 A3 3·A4=144 种排法.

(2)第一步,将喜羊羊家族的四位成员排好,有 A4 4种排法;第二步,让灰太狼、红太狼插入四人形
4 2 成的空(包括两端),有 A2 5种排法,共有 A4·A5=480 种排法.

2 5 2 2 3 2 1 4 A2 A5 1 A2 A4 A3 1 A2 A4 A4 4 (3) p(? ? 0) ? ? , p(? ? 1) ? ? , p(? ? 2) ? ? 6 6 6 3 15 5 A6 A6 A6 2 3 2 2 4 A2 A4 A2 A2 A4 2 1 p(? ? 3) ? ? , p(? ? 4) ? ? 6 6 15 15 A6 A6

2

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? 的概率分布表如下: ?
P

0
1 3

1
4 15

2
1 5

3
2 15

4
1 15

18.在数列{an}, {bn}中, a1=2, b1=4, 且 an, bn, an+1 成等差数列, bn, an+1, bn+1 成等比数列(n∈N*). 求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此归纳出{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论. 解 由条件得 2bn=an+an+1,a2 n+1=bnbn+1, 由此可得 a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25. 用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由上可得结论成立. ②假设当 n=k 时,结论成立,即 猜测 an=n(n+1),bn=(n+1)2.

ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么当 n=k+1 时, a2 k+1 ak+1=2bk-ak=2(k+1) -k(k+1)=(k+1)(k+2),bk+1= =(k+2)2. bk
2

所以当 n=k+1 时,结论也成立. 由①②,可知 an=n(n+1),bn=(n+1)2 对一切正整数 n 都成立. 19.为推动乒乓球运动的发展, 某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运 动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机 选择 4 人参加比赛. (1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会”求事件 A 发生的概率; (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的概率分布. 解 (1)由已知,有 P( A) ?
2 2 2 2 C2 C3 ? C3 C3 6 ? 4 C8 35

所以事件 A 发生的概率为

6 . 35

(2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4 所以随机变量 X 的分布列为

P?X ? k? ?

k 4?k C5 C3 (k ? 1,2,3,4) C84

X P

1

2

3

4

1 14

3 7

3 7

1 14

20.已知函数 f(x)=ax+x2-xlna,a>1. (1)求证:函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)对任意 x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1 恒成立,求 a 的取值范围.
3

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x x

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(1)证明:f′(x)=a lna+2x-lna=2x+(a -1)lna, 由于 a>1,故当 x∈(0,+∞)时,lna>0,ax-1>0,所以 f′(x)>0, 故函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. (2)由(1)可知,当 x∈(-∞,0)时,f′(x)<0, 故函数 f(x)在(-∞,0)上单调递减. 所以,f(x)在区间[-1,0]上单调递减,在区间[0,1]上单调递增. 所以 f(x)min=f(0)=1, f(x)max=max{f(-1),f(1)},

f(-1)= +1+lna,f(1)=a+1-lna, a f(1)-f(-1)=a- -2lna, a
? 1 1 2 ?1 记 g(x)=x- -2lnx,g′(x)=1+ 2- =? -1?2≥0,

1

1

x

x

x ?x

?

1 1 所以 g(x)=x- -2lnx 递增,故 f(1)-f(-1)=a- -2lna>0,

x

a

所以 f(1)>f(-1),于是 f(x)max=f(1)=a+1-lna, 故对任意 x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|max=|f(1)-f(0)|=a-lna,

a-lna≤e-1,所以 1<a≤e.

4


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