张家港
2016—2017
张家港高级中学 2016—2017 学年高二数学第二学期期中试卷（理）
一.填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分，请将正确结果填在相应横线上.） 1.复数 1－i 的共轭复数是__________. 1 ? i
m 2. 若 k ? N , k ? 4) ，则将 (k ? 3)(k ? 2)(k ? 1)k 用排列数符号 An 表示为 4? n 9? n 3.求值 Cn ? Cn ?1 ＝__________.2
. Ak
4
4. 用反证法证明“在一个三角形的 3 个内角中，至少有 2 个锐角”时，应假设的内容是 至多有 1 个锐角 5. 如果复数(m2＋i)(1＋mi)(其中 i 是虚数单位)是纯虚数，则实数 m＝________. 0 或 1 6. 设随机变量 X 的分布列为 P(X＝i)＝ 1? ? 7.二项式?x－ ?8 的展开式中常数项等于 x? ? 8.若 X ~ B(5,0.5) ，则 P( X ? 4) ＝
。
i ，(i＝1,2,3)，则 P(X＝2)等于 2a
. 70
3 ） 16
.
1 3
. 0.1875（或
9. 已知甲、乙、丙 3 名运动员击中目标的概率分别为 0.7，0. 8，0.85，若他们 3 人向目标各发 1 枪，则目标没有被击中的概率为 . 0.009
10.若(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，且 a1＋a2＝21，则展开式的各项中系数的最大值 为 . 20
11. 在五个数字 1,2,3,4,5 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 ________(结果用数值表示)．0.3 12 把正整数按一定的规则排成了如右下图所示的三角形数表．设 aij(i，j∈N*)是位于这个三角形 数表中从上往下数第 i 行、 从左往右数第 j 个数， 如 a42＝8.若 aij＝2009， 则 i 与 j 的和为 13.对于命题：若 O 是线段 AB 上一点，则有|→ OB|·→ OA＋|→ OA|·→ OB＝0. 将它类比到平面的情形是：若 O 是△ABC 内一点，则有 S△OBC·→ OA＋ . 107
S△OCA·→ OB＋S△OAB·→ OC＝0.
1
张家港
2016—2017
将它类比到空间的情形应该是：若 O 是四面体 ABCD 内一点，则有___ → → → VO－BCD·→ OA＋VO－ACD·OB ＋VO－ABD·OC＋VO－ABC·OD＝0 14. 已知函数 f(x)＝ 1－x ?1 ? ＋lnx，则 f(x)在? ，2?上的最大值等于 x ?2 ? . 1－ln2
二.解答题（本大题共 6 小题，计 90 分，请写出必要的文字表述、计算过程或推演步骤.） 15.已知复数 z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)z 为纯虚数. (1)求复数 z；(2)若 ω ＝ 解:
z
2＋i
，求复数 ω 的模|ω |.
(1)(1＋3i)(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i， 则 b＝1，从而 z＝3＋i. ?7?2 ? 1?2 ? ? ＋?－ ? ＝ 2. ?5? ? 5?
∵(1＋3i)z 是纯虚数，∴3－3b＝0 且 9＋b≠0， (2)ω ＝
z
2＋i
＝
3＋i ＝ 2＋i
＋ ＋
－ －
7 1 ＝ － i.∴|ω |＝ 5 5
1? ? 16．在?2 x－ ?6 的展开式中，求：(1)第 3 项的二项式系数及系数；(2)含 x2 的项． x? ? 解：(1)第 3 项的二项式系数为 C2 6＝15， 所以第 3 项的系数为 24C2 6＝240. ? 1? 3－k (2)Tk＋1＝Ck x)6－k?－ ?k＝(－1)k26－kCk ， 6(2 6x x? ? 令 3－k＝2，得 k＝1. 所以含 x2 的项为第 2 项，且 T2＝－192x2. ? 1? 又 T3＝C2 x)4?－ ?2＝24·C2 6(2 6x， x? ?
17．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影 像(排成一排)． (1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？ (2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？ (3)记灰太狼和红太狼之间的喜羊羊家族的成员个数为 ? ，求 ? 的概率分布. 解： (1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素， 排法为 A3 3.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，
4 所以共有 A3 3·A4＝144 种排法．
(2)第一步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有 A4 4种排法；第二步，让灰太狼、红太狼插入四人形
4 2 成的空(包括两端)，有 A2 5种排法，共有 A4·A5＝480 种排法．
2 5 2 2 3 2 1 4 A2 A5 1 A2 A4 A3 1 A2 A4 A4 4 (3) p(? ? 0) ? ? ， p(? ? 1) ? ? ， p(? ? 2) ? ? 6 6 6 3 15 5 A6 A6 A6 2 3 2 2 4 A2 A4 A2 A2 A4 2 1 p(? ? 3) ? ? ， p(? ? 4) ? ? 6 6 15 15 A6 A6
2
张家港
2016—2017
? 的概率分布表如下： ?
P
0
1 3
1
4 15
2
1 5
3
2 15
4
1 15
18.在数列{an}， {bn}中， a1＝2， b1＝4， 且 an， bn， an＋1 成等差数列， bn， an＋1， bn＋1 成等比数列(n∈N*). 求 a2，a3，a4 及 b2，b3，b4，由此归纳出{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论. 解 由条件得 2bn＝an＋an＋1，a2 n＋1＝bnbn＋1， 由此可得 a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，由上可得结论成立. ②假设当 n＝k 时，结论成立，即 猜测 an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么当 n＝k＋1 时， a2 k＋1 ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1) －k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝ ＝(k＋2)2. bk
2
所以当 n＝k＋1 时，结论也成立. 由①②，可知 an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2 对一切正整数 n 都成立. 19.为推动乒乓球运动的发展， 某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运 动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机 选择 4 人参加比赛. (1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”求事件 A 发生的概率； (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的概率分布. 解 (1)由已知，有 P( A) ?
2 2 2 2 C2 C3 ? C3 C3 6 ? 4 C8 35
所以事件 A 发生的概率为
6 . 35
(2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4 所以随机变量 X 的分布列为
P?X ? k? ?
k 4?k C5 C3 (k ? 1,2,3,4) C84
X P
1
2
3
4
1 14
3 7
3 7
1 14
20.已知函数 f(x)＝ax＋x2－xlna，a>1. (1)求证：函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2)对任意 x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1 恒成立，求 a 的取值范围．
3
张家港
x x
2016—2017
(1)证明：f′(x)＝a lna＋2x－lna＝2x＋(a －1)lna， 由于 a>1，故当 x∈(0，＋∞)时，lna>0，ax－1>0，所以 f′(x)>0， 故函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可知，当 x∈(－∞，0)时，f′(x)<0， 故函数 f(x)在(－∞，0)上单调递减． 所以，f(x)在区间[－1,0]上单调递减，在区间[0,1]上单调递增． 所以 f(x)min＝f(0)＝1， f(x)max＝max{f(－1)，f(1)}，
f(－1)＝ ＋1＋lna，f(1)＝a＋1－lna， a f(1)－f(－1)＝a－ －2lna， a
? 1 1 2 ?1 记 g(x)＝x－ －2lnx，g′(x)＝1＋ 2－ ＝? －1?2≥0，
1
1
x
x
x ?x
?
1 1 所以 g(x)＝x－ －2lnx 递增，故 f(1)－f(－1)＝a－ －2lna>0，
x
a
所以 f(1)>f(－1)，于是 f(x)max＝f(1)＝a＋1－lna， 故对任意 x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|max＝|f(1)－f(0)|＝a－lna，
a－lna≤e－1，所以 1<a≤e.
4