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2014届杨浦区高三数学一模试卷(文科含答案)


杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研

数学试卷(文科)
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 计算: lim

n ??

3n ? 3n ? 1



2.若直线 y ? 3x ? 1 ? 0 的倾斜角是 ? ,则 ? ?

(结果用反三角函数值表示).

3.若行列式

2 x ?1 1

4 2

? 0 ,则 x ?
1 2

.

4.若全集 U ? R ,函数 y ? x 的值域为集合 A ,则 CU A ? 5.双曲线 x ?
2

.

y2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 3 x ,则 b ? ________. b2
x ?1

6.若函数 f ?x ? ? 3 ? 2 的反函数为 f

?x ? ,则 f ?1 ?1? ?



7. 若将边长为 1 cm 的正方形绕其一条边所在直线旋转一周,则所形成圆柱的体积 等于

?cm ? .
3
2 2

8. 已知函数 f ( x) ? lg x ,若 f (ab) ? 1 ,则 f (a ) ? f (b ) ? _________. 9. 已知函数 f ( x) ? sin x cos x ,则函数 f ( x) 的最小正周期为__________.

10. 某公司一年购买某种货物 600 吨,每次都购买 x 吨,运费为 3 万元/次,一年的总存储费 用为 2 x 万元,若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买 吨.

1

11. 已知复数 ? ? 2 ? i ( i 为虚数单位) ,复数 z ? 元二次方程是________.

5

?

? ? ? 2 ,则一个以 z 为根的实系数一

12.若 ( x 2 ? )n 的二项展开式中,所有二项式系数和为 64 ,则 n 等于

1 x



13.在100件产品中有90件一等品,10件二等品,从中随机取出4件产品.则恰含1件二等品 的概率是 .(结果精确到0.01)

14.函数 f ? x ? 是 R 上的奇函数, g ? x ? 是 R 上的周期为 4 的周期函数,已知

f ?? 2? ? g ?? 2? ? 6 ,且
___________.

f ? f ?2? ? g ?2?? ? g ? f ?? 2? ? g ?? 2??

?g ?20 f ?2???

2

?

1 ,则 g ?0 ? 的值为 2

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 若空间三条直线 a 、 b、 c 满足 a ? b , b // c ,则直线 a 与 c ???( ).

( A) 一定平行

( B) 一定相交

(C ) 一定是异面直线

( D) 一定垂直
???( ).

16. “ x ? 1 ? 2 成立”是“

x ? 0 成立”的 x ?1
( B) 必要非充分条件.

( A) 充分非必要条件. (C ) 充要条件.

( D) 既非充分又非必要条件.

17. 设锐角 ?ABC 的三内角 A 、 B 、 C 所对边的边长分别为 a 、 b 、 c , 且 a ? 1 , B ? 2 A , 则 b 的取值范围为 ???( ).

( A)

?

2 , 3 . ( B)

?

?1 , 3 ?

. (C )

?

2, 2 .

?

( D)

?0 , 2?



18.若式子 ? (a, b, c) 满足 ? (a, b, c) ? ? (b, c, a) ? ? (c, a, b) ,则称 ? (a, b, c) 为轮换对称 式.给出如下三个式子:① ? (a, b, c) ? abc ;
2

② ? (a, b, c) ? a ? b ? c ;
2 2 2

③ ? ( A, B, C ) ? cosC ? cos(A ? B) ? cos C ( A, B, C 是 ?ABC 的内角) .
2

其中,为轮换对称式的个数是

???( ).

( A) 0

.

( B) 1 .

(C ) 2 .

( D) 3

.

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分 . 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 a . (1)求异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小; (2)求四棱锥 A1 ? ABCD 的体积.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分 . 已知向量 m ? x , 1 , n ? ?a , 1? 2ax ? ,其中 a ? 0 .函数 g ? x ? ? m ? n 在区间 x ? ?2 , 3?
2

?

?

上有最大值为 4,设 f ?x ? ? (1)求实数 a 的值; (2)若不等式 f 3

g ?x ? . x

? ?? k3
x

x

? 0 在 x ? ?? 1 , 1?上恒成立,求实数 k 的取值范围.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 9 分 . 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域) ” ,其中 AC 、 BD 是过抛物线 ? 焦

3

点 F 的两条弦,且其焦点 F ( 0 ,1) , AC ? BD ? 0 ,点 E 为 y 轴上一点,记 ?EFA ? ? ,其 中 ? 为锐角. (1) 求抛物线 ? 方程; (2) 求证: AF ?

2(cos? ? 1) . sin 2 ?

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分, 第(3)小题满分 6 分.

4

已知数列 ? a n ? , S n 是其前 n 项的和,且满足 a1 ? 2 ,对一切 n ? N ? 都有

S n?1 ? 3S n ? n 2 ? 2 成立,设 bn ? a n ? n .
(1)求 a 2 ; (2)求证:数列 ? bn (3)求使

?

是等比数列;

1 1 1 40 成立的最小正整数 n 的值. ? ? ??? ? ? b1 b2 bn 81

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 10 分,第①问 5 分,第②问 5 分,第(2)小题满分 8 分.

5

已知椭圆 ? :

x2 ? y 2 ? 1. 4

(1) 椭圆 ? 的短轴端点分别为 A , B (如图),直线 AM , BM 分 别与椭圆 ? 交于 E , F 两点,其中点 M ? m ,

? ?

1? ? 满足 m ? 0 ,且 2?

m?? 3.
①用 m 表示点 E , F 的坐标; ②若? BME 面积是? AMF 面积的 5 倍,求 m 的值; (2)若圆 ? : x ? y ? 4 . l1 , l 2 是过点 P(0,?1) 的两条互相垂直的直线,其中 l1 交圆 ? 于 T 、
2 2

R 两点, l 2 交椭圆 ? 于另一点 Q .求 ?TRQ 面积取最大值时直线 l1 的方程.

杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三模拟测试

2014.1.2

6

一.填空题(本大题满分 56 分) 1. 1 ; 2. arctan3 ; 3.2;
2

4. ?? ? , 0 ? ; 5.

3 ; 6. 1 ; 7. ? ; 8. 2;

9. 文 ? ; 10. 30 ; 11. x ? 6 x ? 10 ? 0 ; 12.文 6 ;13.文 0.30; 14.文 2; 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题 15. D ; 16. B; 17. A ; 18. 文 C 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题 19. 【解】 (1)因为 B1C // A1 D ,

?直线 A1 B 与 A1 D 所成的角就是异面直线 A1 B 与 B1C 所成角. ??2 分
又 ?A1 BD 为等边三角形,

?异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小为 60? .

??6 分

7

(2)四棱锥 A1 ? ABCD 的体积 V ? 20. 【解】

1 2 1 ? a ? a ? a3 3 3
2

??12 分

(1)由题得 g ?x ? ? m ? n ? ax ? 1 ? 2ax ? a( x ? 1) ? 1 ? a
2

??4 分

又 a ? 0 开口向上,对称轴为 x ? 1 ,在区间 x ? ?2 , 3? 单调递增,最大值为 4,

? g ?x ?max ? g ?3? ? 4

所以, a ? 1

??7 分

(2)由(1)的他, f ?x ? ?
x

g ( x) 1 ? x? ?2 x x

??8 分

x x 令 t ? 3 ,则 t ? ? ,3? 以 f 3 ? k 3 ? 0 可化为 f (t ) ? kt , 3

?1 ? ? ?

? ?

即k ?

f (t ) 恒成立, t

??9 分

1 ?1 ? 1 f (t ) 1 f (t ) 最小值为 0, ? ( ? 1) 2 且 ? ? ,3? ,当 ? 1 ,即 t ? 1 时 t ?3 ? t t t t

??13 分

?k ? 0
21. 【解】 文科(1) 由抛物线 ? 焦点 F ( 0 ,1) 得,抛物线 ? 方程为 x ? 4 y
2

??14 分

??5 分 ??8 分 ??11 分

(2) 设 AF ? m ,则点 A(?m sin? , m cos? ? 1) 所以, (?m sin? ) ? 4(1 ? m cos? ) ,既 m sin
2

2

2

? ? 4m cos? ? 4 ? 0

解得

AF ?

2( c o? s ? 1) 2 s i n?

??14 分

22. 【解】 文科(1) 由 a1 ? 2 及 S n?1 ? 3S n ? n ? 2
2

当 n ? 1时 ……4 分

故 a2 ? 7
8

(2)由 S n?1 ? 3S n ? n ? 2 及 S n ? 3S n?1 ? (n ? 1) ? 2 (n ? 2)
2 2

……6 分 ……8 分 ……9 分 ……10 分 ……11 分

得 an?1 ? 3an ? 2n ? 1 ,故 (an?1 ? n ? 1) ? 3(an ? n) , 即 bn?1 ? bn (n ? 2) ,当 n ? 1时上式也成立, ,故 ? bn ?是以 3 为首项,3 为公比的等比数列 (3) 由(2)得 bn ? 3n ,

1 1 ? n bn 3

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 3 ? 1 (1 ? 1 ) ? 40 ? ? ??? ? ? 3 1 b1 b2 bn 2 81 3n 1? 3
故 3n ? 81 解得 n ? 4 ,最小正整数 n 的值 5

……14 分

……16 分

23【解】 (文科)解: (1)①因为 A(0,1), B(0,?1) ,M (m,

1 ),且 m ? 0 , 2 1 3 ,直线 BM 斜率为 k2= , ?直线 AM 的斜率为 k1= ? 2m 2m 3 ?直线 AM 的方程为 y= ? 1 x ? 1 ,直线 BM 的方程为 y= x ?1 , 2m 2m

……2 分

? x2 ? y 2 ? 1, ? 由? 4 得 ? m 2 ? 1? x 2 ? 4mx ? 0 , ? y ? ? 1 x ? 1, 2m ?

? x ? 0, x ?

4m ? 4m m 2 ? 1 ? , ?E ? 2 , 2 ?, 2 m ?1 ? m ?1 m ?1?

……4 分

? x2 ? y 2 ? 1, 由? 4 得 m 2 ? 9 x 2 ? 12mx ? 0 , ? ? y ? 3 x ? 1, 2m ?

?

?

9

? x ? 0, x ?

12m 12m 9 ? m 2 ? ; , ?F ? , 2 2 ? ? 2 m ?9 ? m ?9 m ?9?

……5 分

② S?AMF ?

1 1 | MA || MF | sin ?AMF , S?BME ? | MB || ME | sin ?BME , ?AMF ? ?BME , 2 2
| ME | | MF |

5S?AMF ? S?BME ,? 5 | MA || MF |?| MB || ME | ,? 5 | MA | ? | MB | ,

……7 分

?

5m m ? , 4m 12m ? m ? m m2 ? 1 9 ? m2
2

m?0,

?整理方程得

1 15 ? 2 ? 1 ,即 (m2 ? 3)(m2 ? 1) ? 0 , m ?1 m ? 9
……10 分

又有 m ? ? 3 ,? m2 ? 3 ? 0 , ? m 2 ? 1 ,? m ? ?1 为所求.

(2) 因为直线 l1 ? l2 ,且都过点 P(0, ?1) ,所以设直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 , 直线 l2 : y ? ?

1 x ? 1 ? x ? ky ? k ? 0 , k

……12 分

所以圆心 (0, 0) 到直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ?

1 1? k2


,

所以直线 l1 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 所截的弦 TR ? 2 4 ? d ?
2

2 3 ? 4k 2 1? k 2

? x ? ky ? k ? 0 ? ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?4

8k xQ ? xP ? ? 2 k ?4

1 64 k 2 8 k2 ?1 ? 2 所以 QP ? (1 ? 2 ) 2 k (k ? 4) 2 k ?4

……15 分

10

所以 S ?TRQ ?

1 8 4k 2 ? 3 QP TR ? ? 2 k2 ?4

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k 2 ? 3

?

32 16 ? 13 2 13 13

当 4k ? 3 ?

2

13 4k 2 ? 3

? k2 ?

5 10 ?k?? 时等号成立, 2 2
……18 分

此时直线 l1 : y ? ?

10 x ?1 2

11


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