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函数类型应用题的求解方法


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高 中 数 学 教 与 学  

2 0 0 0 年  

▲  

o 复 习 与 考 试 。  

函 数 类 型 应 用 题 的 求 解 方 法  
浙 江 省 上 虞 东 关 中 学夏 国 华  
函 数 类 型 的 应 用 题 是 近 几 年 的 高 考 重 点 内 容 . 本 文 拟 对 这 类 问 题   的 几 种 常 见 类 型 作 一 概 括 、 归 纳 .   次 函 数 型   例1  某 工 厂 在 甲 、 乙 两 个 分 厂 各 生 产 某 种 机 器 1 2 台 和 6 台 , 现 销  


、一

售 给 A 地1 0 台 、 B 地8 台 . 已 知 从 甲 分 厂 调 运1 台 至 A 地 、 B 地 的 费 用  

分 别 是 4 0 0 元 和 8 0 0 元 , 从 乙 分 厂 调 运1 台 至 A 地 、 B 地 的 费 用 分 别 是  
3 0 0 元 和5 0 0 元 .  

( 1 ) 设 从 乙 分 厂 调 运z 台 至 A 地 , 求 总 费 用Y 关 于 z 的 函 数 式 ;   ( 2 ) 若 总 费 用 不 超 过9 0 0 元 , 问 共 有 几 种 调 运 的 方 案 ;   ( 3 ) 求 出 总 费 用 最 低 的 调 运 方 案 及 最 低 的 费 用 .   分 析  设 从 乙 分 厂 销 售 给 A 地 台 数 为 z , 则 由 甲 、 乙 两 分 厂 调 运 至   A 地 、 B 地 的 机 器 台 数 及 费 用 ( 元 ) 列 表 如 下 :  

解  ( 1 ) 依 题 意 知 ,  


4 0 0 ( 1 0 一 z ) + 8 0 0 ( 2 + z ) + 3 0 0 x + 5 0 0 ( 6 一 z )  



2 0 0 ( x + 4 3 ) ( 0 ≤z ≤ 6 , z ∈ z ) .  

( 2 ) 由   <  ̄ 9 0 0 , 可 得 0 ≤ z ≤ 2 , 因 为 z ∈ Z , . 。 . z = 0 , 1 , 2   所 以 调  

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第1 期  
运 的 方 案 有 三 种 .  

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( 3 ) 。 . ’ Y = 2 0 o ( z + 4 3 ) , 0 ≤ z ≤ 6 , z ∈ Z 是 关 于   的 一 次 函 数 且  
是 单 调 递 增 函 数 , 所 以 当 z = 0 时 , Y 达 到 最 小 , 即 从 乙 分 厂 调 运6 台 给   B 地 , 甲 分 厂 调 运1 0 台 给 A 地 , 调 运 2 台 给 B 地 的 调 运 方 案 的 总 费 用 最   低 , 最 低 费 用 为8 6 册元 .   注  本 题 数 量 关 系 较 多 , 利 用 列 表 法 将 数 量 关 系 明 朗 化 , 有 利 于   准 确 建 立 函 数 关 系 式 .   二 、 二 次 函 数 型   例2  某 工 厂 生 产 的 商 品 为 A , 若 每 件 定 价 为 8 0 元 , 则 每 年 可 销 售   8 0 万 件 , 税 务 部 门 对 在 市 场 销 售 的 商 品 A要 征 收 附 加 税 , 为 了 增 加 国   家 收 入 又 要 有 利 于 生 产 发 展 与 市 场 活 跃 , 必 须 合 理 确 定 征 税 的 税 率 , 根   据 市 场 调 查 分 析 , 若 政 府 对 商 品A 征 收 附 加 税 率 为 P % ( 即 每 销 售1 0 0  
元 时 应 征 收P 元 ) 时 , 每 年 销 售 量 将 减 少l O P 万 件 . 据 此 问 :  

( 1 ) 若 税 务 部 门 对 商 品 A 每 年 所 收 的 税 金 不 少 于 9 6 万 元 , 求P 的   取 值 范 围 ;  

( 2 ) 若 税 务 部 门 仅 仅 考 虑 每 年 所 获 的 税 金 最 高 , 求 此 时 P 的 值 .  
分 析  解 此 题 的 关 键 是 列 出 年 收 税 金 关 于P 的 函 数 关 系 式 .   解  ( 1 ) 设 每 年 的 税 金 为Y ( 万 元 ) , 则  
Y =8 0 ( 8 0 ~ 1 0 P ) P % ( 0 <P <8 ) .  

由 8 0 ( 8 0 一 l O P ) P %≥ 9 6 , 解 得2 ≤P ≤6 .   即 当 税 务 部 门 对 商 品A 每 年 所 收 的 税 金 不 少 于 9 6 万 元 时P 的 取   值 范 围 是 2 ≤P ≤6 .   ( 2 ) 因 为 Y = 8 0 ( 8 0 一 l O P ) P %= ~ 8 ( P 一 4 )   + 1 2 8 ,   所 以 当P = 4 时y 达 到 最 大 值1 2 8 ( 万 元 ) .  
三 、 指 数 函 数 型  

这 类 问 题 常 见 于 银 行 的 本 息 的 计 算 及 实 际 生 活 中 的 增 长 率 ( 或 减   少 率 ) 的 有 关 计 算 .   例 3  某 地 投 资 建 印 染 厂 , 为 了 保 护 环 境 , 需 制 定 治 污 方 案 . 甲 方  

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2 O 0 0 年  

^ 

案 为 永 久 性 治 污 方 案 , 需 一 次 投 入1 0 0 万 元 ; 乙 方 案 为 分 期 治 污 方 案 ,   需 每 月 投 资5 万 元 , 若 投 资 额 以 月 利 息1 9 b 的 复 利 计 算 , 试 比 较 投 产 几  

个 月 后 甲 方 案 与 乙 方 案 的 优 劣 ? ( 必 要 时 可 用 以 下 数 据 : l g 1 . 0 1 0 :  
0 . 0 0 4 3 , l g 1 . 2 5 3 : 0 . 0 9 8 0 , l g 1 . 2 5 0 : 0   0 9 6 9 , l g 1 . 2 3 5 : 0 . 0 9 1 7 )   分 析  要 比 较 甲 、 乙 两 方 案 的 优 劣 , 关 键 是 列 出 甲 、 乙 两 方 案 经 过   z 个 月 后 投 入 的 总 本 息 .   解  设 经 过z 个 月 后 甲 、 乙 两 方 案 总 的 本 息 分 别 为 Y 、 z , 则  
Y : 1 0 0 ( 1 + 1 % )   ,  


5 [ 1 + ( 1 + l % ) + ( 1 + 1 9 b )   + … + ( 1 + 1 9 b ) x - 1 ]  


:  

5 0 0 ( 1 . O 1 —1 ) .  

若1 0 0 ( 1 + 1 % )   <   5 0 0 ( 1 . O I   一 1 ) , 贝 0   1 . 0 1   >  ,  
? . .

z>  

=  

2 2 . 5 3  

故 工 厂 投 产2 3 个 月 后 , 甲 方 案 优 于 乙 方 案 , 投 产1 至 2 2 个 月 乙 方   案 优 于 甲 方 案 .   四 、 分 式 函 数 型  

例4( 1 9 9 7 年 高 考 题 , 甲 、 乙 两 地 相 距S 千 米 , 汽 车 从 甲 地 匀 速 行  
驶 到 乙 地 , 速 度 不 得 超 过C 千 米 , 已 知 汽 车 每 小 时 的 运 输 成 本 ( 以 元 为   单 位 ) 由 可 变 部 分 和 固 定 部 分 组 成 : 可 变 部 分 与 速 度   ( 千 米/ i 1 , 时 ) 的   平 方 成 正 比 , 且 比 列 系 数 为b ; 固 定 部 分 为n 元 .   ( I ) 把 全 程 运 输 成 本Y 元 表 示 为 速 度   ( 千 米/ 小 时 ) 的 函 数 , 并 指   出 这 个 函 数 的 定 义 域 ;  

( 2 ) 为 使 全 程 运 输 成 本 最 少 , 汽 车 应 以 多 大 的 速 度 行 驶 ?  

解  ( 1 ) 由   意 知   = n ?  + b y   ?  ,  
,   ‘   、  

即 Y : S ’ ( 旦 十 b y ) ,   ∈ ( 0 , c ] .  
( 2 ) 对 于 任 意 的   l ,   2 > 0 , 且   l <" 0 2 , 易 得 f ( ' o I ) 一 f ( v 2 ) :  

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J s (   l 一   2 ) (  。 a   : ) .  
由 ( 1 ) 知 , 当   l <   2 ≤ √ 詈 时 , 有 f ( v 1 ) 一 f ( v 2 ) ≥ 0 , 即 函 数  

) 在 ( 0  ] 上 单 调 递 减 ; 而  ≥ √ 詈 町 (   - ) _ , (   : )  
≥ 0 , H P i  ̄ y   , (   ) 在   ≥ √ 詈 时 单 调 递 增 , 由 此 可 见 , 当 √ 詈 ≤   c 时 , j ,   , (   ) 在   : √ 詈 时 取 最 小 值 ; 当 √ 詈 > c 时 ,   = , (   )  

在 ( 0 √ 詈 J 上 单 调 递 减 , 所 以 j ,   , (   ) 在  c 时 取 最 小 值 .  
综 上 所 述 , 要 使 运 输 成 本 最 小 , 则 当 √ 詈 < c 时 , 行 驶 速 度   =  

√ 詈 ; 当 √ 詈 ≥ c 时 , 行 驶 速 度   = c .  

小 结 : 对 于 求 形 如 j , = 甜 + 詈 ( n > 0 , 6 > 0 ) 的 分 式 函 数 的 最 小  
值 , 常 用 的 方 法 是 利 用 基 本 不 等 式 甜+  ≥ 2   等 号 当 且 仅 当 z =  

√ 詈 时 达 到 , 若 等 号 不 能 达 到 时 , 则 利 用 函 数 的 单 调 性 求 解 . 即 当 z ∈  

( 0 ,  ] 时 , 函 数 单 调 递 哆 , 当  , o o ) 时 函 数 单 调 递 增 . 故 z =  
√ 詈 时 , j , 取 最 小 值 .   .   ?  
五 、 无 理 函 数 型 .  

这 类 问 题 的 求 解 常 用 的 方 法 是 用 判 别 式 法 , 或 用 三 角 换 元 法 .  
例5 条 河 宽I k m , 两 岸 各 有 一 座 城 市 A 和 B , A 与 B 的 直 线  
一 .

离 是4 k m , 今 需 在 A 和 B 间 铺 设 一 条 电 缆 . 已 知 地 下 电 缆 的 修 建 费 2 万  

元 / k n i , 水 下 电 缆 的 修 建 费 是 4 万 元 / k n i . 假 若 河 两 岸 呈 平 行 的 直 线 状 ,  
那 么 如 何 铺 设 电 缆 方 可 使 总 施 工 费 用 达 到 最 小 .   .  

分 析  总 施 工 费 用 与 铺 设 电 缆 的 距 离 与 每 公 里 的 修 建 费 都 有 关 .  

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2 o o o 年  

若 从B 城 通 过 水 下 电 缆 连 结 A 城 距 离 较 短但 每 公 里 施 工 的 修 建 费 较  


高 ? 因 此 为 使 施 工 费 用 最 少 , 就 应 在 B 城 所 在 河 岸 选 一 点 D先 由 B 沿  


河 岸 到 D , 再 由 D 渡 河 到 达 A 城故 考 虑 选 取 点D 位 置 有 关 的 量 为 自 变  


量 , 建 立 关 于 施 工 费 用 的 函 数 关 系 式通 过 求 函 数 的 最 小 值 来 确 定 D 点  


的 位 置 .  

略 解  如 图 , 设C D :  .  

则 A D =  ̄ / 1 + z 2 .  
‘ .

‘ A B:4 , A C=1
.  .





C B:  

, D B=  

一  .  

总费 用   =4  ̄ , / 丁   +   2 (   一 z ) ( 0 <  ≤  ̄ / 1   ) .  
‘ .



附 图  

设   = 唔   ( 0 <   < 詈 ) , 则  
Y=4 s e c O 一 2 t g O + 2   :— 4 - 2 s i   n O + 2  


.  

容 易 求 得, 当  :  时 , Y 取 最 小 值2  + 2  
六 、 分 段 函 数 型  

.  

例6“ 依 法 纳 税 是 每 个 公 民 的 应 尽 义 务” 国 家 征 收 个 人 工 资 、 薪  


金 所 得 税 是 分 段 计 算 的 , 总 收 入 不 超 过8 ( 1 o 元 的 免 征 个 人 工 资薪 金 所  


得 税 ; 超 过8 0 0 元 部 分 需 征 税 . 设 全 月 计 税 金 额 为z , z = 全 月 总 收 入   元 , 税 率 见 下 表 :  

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( 1 ) 若 应 税 额 为 f ( x ) , 试 用 分 段 函 数 表 示1 ~ 3 级 纳 税 额 f ( x ) 的   计 算 公 式 ;  
( 2 ) 甲 1 9 9 9 年 3 月 份 工 资 总 收 人 为 3 0 0 0 元 , 试 计 算 甲 3 月 份 应 缴 纳  
个 人 所 得 税 多 少 元 ?  

解  ( 1 ) f ( x ) =  
f 5 % x , 0 <z ≤5 o 0  

1 0 % ( z 一 5 0 0 ) + 5 0 0 × 5 % ,  
( 2 ) z : 3 O 0 0 — 8 0 o : 2 2 0 0 ,  

5 0 0 < z ≤2 0 0 0  

L 1 5 % ( z 一 2 0 0 O ) + 1 5 0 0 × 1 0 %+ 5 0 0 × 5 % .  5 0 0 < z ≤5 0 0 0  

2 2 0 0 ) = 1 5 % ( 2 2 0 0 — 2 0 0 0 ) + 1 5 0 0 × 1 0 %+ 5 0 0 × 5 %   = 2 0 5 ( 元 ) ,  
所 以1 9 9 9 年3 月 份 应 交 税2 0 5 元 .  

高 三 数 学 测 试 题  




选 择 题 ( 本 大 题 共1 4 小 题 ; 第1 ~ 1 0 题 每 小 题 4 分 ,   (   )  

第1 1 — 1 4 题 每 小 题 5 分 , 共6 0 分 )   1 . 函 数 .   = O 0  — s i n 2 z 的 周 期 是  


( A ) 詈  ( B )  ( c ) 普 7 r  ( D ) 2 7 r  
(   )  
2  

2 . , 为 全 集 , 若 非 空 集 合 A 、 B 满 足 B  A   c , , 则 下 列 集  

合 为 空 集 的 是  

( A ) A   n   B   ( B ) A   " I 1   B  ( C ) A   t , O   B  ( D ) B   n   A   3 . 极 坐 标 方 程p e o s 6 =  表 示   ( A ) 一 条 平 行 于  轴 的 直 线   。   ? (   )  


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