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上海2013届高三理科数学最新试题精选(13份含16区二模)分类汇编5:数列


上海 2013 届高三理科数学最新试题(13 份含 16 区二模)分类汇编 5:数列 姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题 . (上海市奉贤区 2013 年高考二模数学(理)试题 )数列 {an } 前 n 项和为 S n ,已知 a1

?

1 ,且对任意正整 5


数 m, n ,都有 am ? n ? am ? an ,若 Sn ? a 恒成立,则实数 a 的最小值为 A.



1 4

B.

3 4

C.

4 3

D.4

. (上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题)设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则

“ a1 ? 0 ”是“ S3 ? S 2 ”的





A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 二、填空题 . ( 四 区 ( 静 安 杨 浦 青 浦 宝 山 ) 联 考 2012 学 年 度 第 二 学 期 高 三 ( 理 ) ) 给 出 30 行 30 列 的 数 表

5 9 13 ? 1 ? 10 15 20 ? 5 ? 9 15 21 27 A :? ? 13 20 27 34 ?? ? ? ? ? ?117 150 183 216 ?

? 117 ? ? ? 150 ? ? 183 ? ? , 其特点是每行每列都构成等差数列 ,记数表主对角线上的 ? 216 ? ? ? ? ? ? 1074 ? ?

数 1, 10, 21, 34, ?, 1074 按顺序构成数列 ?bn ? , 存在正整数 s、t (1 ? s ? t ) 使 b1 , bs , bt 成等差数列 , 试写出一组 (s, t ) 的值_____________.
. (上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学(理)试题 )已知数列 ?an ?满足 3an ?1 ? an

? 4 (n∈N*)
( )

且 a1 =9,其前 n 项和为 Sn,则满足不等式|Sn―n―6|< A.5 B.6 C.7 D.8

1 的最小整数 n 是 125

. ( 上 海 市 十 二 校 2013 届 高 三 第 二 学 期 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题

) 对 于 自 然 数 i? N? , 设

ai ,k ? i ? 3(k ? 1) ( k ? 1, 2,3, ???) , 如 a3, 4 ? 3 ? 3(4 ? 1) ? ?6 , 对 于 自 然 数 n, m , 当 n ? 2, m ? 2 时 , 设 b(i, n) ?a i ,1 ? a i , 2 ? a i ,3 ? ? ? ? ? a i ,n , S ( m, n) ? b(1, n) ? b(2, n) ? b(3, n) ? ? ? ? ? b(m, n) ,则 S (10,6) ? ____________. [来源:学科网 ZXXK]

a n ?的前 n 项和,若 . (上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学(理)试题 ) 设 S n 为等差数列 ? S 5 ? 10, S10 ? ?5 ,则公差为____.

. ( 上 海 市 黄 浦 区 2013 年 高 考 二 模 理 科 数 学 试 题 ) 等 差 数 列

?an ? 的 前

10 项 和 为 30, 则

a1 ? a4 ? a7 ? a10 ? ___________.
. (上海市虹口区 2013 年高考二模数学(理)试题 )设 a n

? log n ?1 (n ? 2) (n ? N ? ) ,称 a1 a 2 a3 ? a k 为整

数的 k 为“希望数”,则在 (1,

2013) 内所有“希望数”的个数为___________. ? n ? sin n? ,前 n 项和为 S n ,则 S13 ? ____________. 2 Sn }

(上海虹口 2013 二模数学 . (理) ) 数列 ? a n ?的通项 a n

. (上海市奉贤区 2013 年高考二模数学(理)试题 )设正项数列 ? a n ?的前 n 项和是 S n ,若 ? a n ?和{

都是等差数列,且公差相等,则 a1 ? d ? ________
. (上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(理)试题 )(理)设 S n 为数列 ?a n ? 的前 n 项和,若不等式
2 Sn a ? 2 ? ma12 对任意等差数列 ?a n ? 及任意正整数 n 都成立,则实数 m 的最大值为 _______. n 2 n

. (上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学 (理) 试题) 设等差数列 ?an ?满足:公差 d ? N , an ? N ,
* *

且 ?an ?中任意两项之和也是该数列中的 一项. 若 a1 ? 3 ,则 d 的所有可能取值之和为_______.
5

. (上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题)已知 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 S n ,

若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则公差 d =_____.
. ( 2013 年 上 海 市 高 三 七 校 联 考 ( 理 ) ) 设 等 差 数 列 {a n } 的 公 差 为 正 , 若

a2 ? 1 , a1a2 a3 ? ?3 , 则

a4 ? a5 ? a6 ? ____.
. (2013 届浦东二模卷理科题)数列 {a n } 满足 a n ?1

?

4a n ? 2 ? ( n ? N ). an ? 1

①存在 a1 可以生成的数列 {a n } 是常数数列; ②“数列 {a n } 中存在某一项 a k ?

49 ”是“数列 {a n } 为有穷数列”的充要条件; 65

③若 {an } 为单调递增数列,则 a1 的取值范围是 ( ??,?1) ? (1,2) ; ④只要 a1 ?

3k ? 2k ?1 ? ,其中 k ? N ,则 lim an 一定存在; n?? 3k ? 2k

其中正确命题的序号为____________.
. (2013 届闵行高三二模模拟试卷(数学)理科) 公差为 d ,各项均为正整数的等差数列 {an } 中,若

a1 ? 1, an ? 73 ,则 n ? d 的最小值等于_________________.
三、解答题 . (上海徐汇、松江、金山区 2013 年高考二模理科数学试题)已知数列 ?an ?( n ? N
*

) 的前 n 项和为 S n ,数列

1 ? Sn ? ? ? 是首项为 0 ,公差为 的等差数列. 2 ?n?
(1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)设 bn ?

4 a ? ??2 ? n (n ? N * ) ,对任意的正整数 k ,将集合 ?b2 k ?1 , b2 k , b2 k ?1? 中的三个元素排成一个 15

递增的等差数列,其公差为 d k ,求证:数列 ?d k ?为等比数列; (3)对(2)题中的 d k ,求集合 x d k ? x ? d k ?1 , x ? Z 的元素个数.
. (四区(静安杨浦青浦宝山)联考 2012 学年度第二学期高三(理) )本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,

?

?

第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? a ( a ? 3 ), a n ?1 ? S n ? 3 ,设 bn ? S n ? 3 n , n ? N ? .
n

(1)求证:数列 ?bn ?是等比数列; (2)若 a n ?1 ≥ a n , n ? N ? ,求实数 a 的最小值; (3)当 a ? 4 时,给出一个新数列 ?en ? ,其中 en ? ?

?3 , n ? 1 ,设这个新数列的前 n 项和为 C n ,若 ?bn , n ? 2

C n 可以写成 t p ( t , p ? N ? 且 t ? 1, p ? 1 )的形式,则称 C n 为“指数型和”.问 ? C n ?中的项是否存
在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.
. (上海市闸北区 2013 届高三第二学期期中考试数学(理)试卷)本题满分 16 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小 题满分 8 分

设数列 ?an ? 与 {bn } 满足:对任意 n ? N ,都有 ban ? 2 ? ? b ? 1? Sn , bn ? an ? n ? 2n?1 .
?

n

其中 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和. (1)当 b ? 2 时,求数列 ?an ? 与 {bn } 的通项公式; (2)当 b ? 2 时,求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n .
. (上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学(理)试题 )(本题满 分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小

题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 如果存在常数 a 使得数列 ?an ?满足:若 x 是数列 ?an ?中的一项,则 a ? x 也是数列 ?an ?中的一项,称 数列 ?an ?是关于常数 a 的“兑换数列”. (1) 若数列: 1, 2, 4, m ( m ? 4) 是关于 a 的“兑换数列”,求 m 和 a 的值;

(2) 已知项数为 n0 ( n0 ? 3 )有限 等差数列 ? bn ?,其所有项的和是 B ,求证:数列 ?bn ?是关于常数 ..

2B n0

的“兑换数列”. (3) 对于一个不少于 3 项,且各项皆为正整数的递增 等比数列 ?cn ?,是否是“兑换数列”?若是,请求 出常数 a 的值;否则请说明理由.[来源:学科网 ZXXK][来源:学科网 ZXXK]
. (上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(理)试题)本大题共有 3 小题,第 1 小题满

分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满分 8 分. 对 于 任 意 的 n ? N , 若 数 列 {a n } 同 时 满 足 下 列 两 个 条 件 , 则 称 数 列 {a n } 具 有 “ 性 质
*

m ”:①

an ? an ? 2 ? a n ?1 ; 2

②存在实数 M ,使得 an ? M 成立.

(1)数列 {a n } 、 {bn } 中, an ? n 、 bn ? 2 sin

n? ( n ? 1,2,3,4,5 ),判断 {a n } 、 {bn } 是否具有“性质 6 1 7 , S3 ? ,证明:数列 {S n } 具有“性质 4 4

m ”;
(2)若各项为正数的等比数列 {cn } 的前 n 项和为 S n ,且 c3 ?

m ”,并指出 M 的取值范围;
(3)若数列 {d n } 的通项公式 d n ?

t (3 ? 2 n ? n) ? 1 * * ( n ? N ).对于任意的 n ? 3 ( n ? N ),数列 {d n } n 2

具有“性质 m ”,且对满足条件的 M 的最小值 M 0 ? 9 ,求整数 t 的值
. (上海市黄浦区 2013 年高考二模理科数学试题)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6

分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 ?an ?具有性质:① a1 为整数;②对于任意的正整数 n ,当 an 为偶数时,

an ?1 ?

an a ?1 ;当 an 为奇数时, an ?1 ? n . 2 2

(1)若 a1 为偶数,且 a1 , a2 , a3 成等差数列,求 a1 的值; (2)设 a1 ? 2 ? 3 ( m ? 3 且 m ? N),数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,求证: S n ? 2
m m ?1

?3;

(3)若 a1 为正整数,求证:当 n ? 1 ? log 2 a1 ( n ? N)时,都有 an ? 0 .
.( 上 海 市 虹 口 区 2013 年 高 考 二 模 数 学 ( 理 ) 试 题 )已知复数

z n ? a n ? bn ? i , 其 中

a n ? R , bn ? R , n ? N ? , i 是虚数单位,且 z n ?1 ? 2 z n ? z n ? 2i , z1 ? 1 ? i .
(1)求数列 ? a n ?, ? bn ?的通项公式; (2)求和:① a1 a 2 ? a 2 a3 ? ? ? a n a n ?1 ;② b1b2 ? b2 b3 ? b3 b4 ? b4 b5 ? ? ? ( ?1)
n ?1

bn bn ?1 .

已知数列{an}中,a2=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn ? . (上海市奉贤区 2013 年高考二模数学 (理) 试题 ) (1)求 a1,a3;[来源:学.科.网] (2)求证:数列{an}为等差数 列,并写出其通项公式; (3)设 lg bn ?

n(an ? a1 ) . 2

an ?1 ,试问是否存在正整数 p,q(其中 1<p<q),使 b1,bp,bq 成等比数列?若存在,求出所有满 3n

足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.

. (上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(理)试题 )

(理)已知三个互不相等的正数 a , b , c 成等比数列,公比为 q .在 a , b 之间和 b , c 之 间共插入 n 个数, 使这 n ? 3 个数构成等差数列. (1)若 a ? 1 ,在 b , c 之间插入一个数,求 q 的值; (2)设 a ? b ? c , n ? 4 ,问在 a , b 之间和 b , c 之间各插入几个数,请说明理由; (3)若插入的 n 个数中,有 s 个位于 a , b 之间,个位于 b , c 之间,试比较 s 与的大小.
. (上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题) 对于数列 A : a1 , a2 , a3 ( ai ? N, i ? 1, 2,3) ,定义“ T 变换”: T 将数列

A 变换成数列 B : b1 , b2 , b3 ,其 中 bi ? | ai ? ai ?1 | (i ? 1, 2) ,且 b3 ? | a3 ? a1 | .这种“ T 变换” 记作 B ? T ( A) .继续对数列 B 进行 “ T 变换”,得到数列 C : c1 , c2 , c3 ,依此类推,当得到的数列各项均为 0 时变换结束.
(1)试问 A : 2, 6, 4 经过不断的“ T 变换”能否结束?若能,请依次写出经过“ T 变换”得到的各数列; 若不能,说明理由; (2)设 A : a1 , a2 , a3 , B ? T ( A) .若 B : b, 2, a ( a ? b) ,且 B 的各项之和为 2012 .求 a , b ; (3)在(2)的条件下,若数列 B 再经过 k 次“ T 变换”得到的数列各项之和最小,求 k 的最小值,并说

明理由. . (2013 年上海市高三七校联考(理) )本题共有 3 小题,第( 1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分. y … A4 A2 A0 A1 O 一青蛙从点 A0 ( x0, y0 ) 开始依次水平向右和竖直向上跳动,其落点坐标
?

A3

x
第 23 题图

依次

是 Ai ( xi, yi )(i ? N ) ,(如图所示, A0 ( x0, y0 ) 坐标以已知条件为准), S n 表示青蛙从点 A0 到点 An 所经过的 路程.

y0 ) 为抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 准线上一点,点 A1 、 A2 均在该抛物线上,并且直线 (1)若点 A0 ( x0,
2

A1 A2 经过该抛物线的焦点,证明 S 2 ? 3 p .
(2)若点 An ( xn, yn ) 要么落在 y ? x 所表示的曲线上,要么落在 y ? x 所表示的曲线上,并且
2

1 1 A0 ( , ) ,试写出 lim S n (请简要说明理由); n ??? 2 2 (3)若点 An ( xn, yn ) 要么落在 y ? x 所表示的曲线上,要么落在 y ? 2 x 所表示的曲线上,并且 1 A0 ( , 1) ,求 S n 的表达式. 2
. (2013 届浦东二模卷理科题)本题共有 3 个小题, 第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满

分 6 分. 已知直角 ?ABC 的三边长 a, b, c ,满足 a ? b ? c (1)在 a, b 之间插入 2011 个数,使这 2013 个数构成以 a 为首项的等差数列 ?an ? ,且它们的和为 2013 , 求 c 的最小值; (2)已知 a, b, c 均为正整数,且 a, b, c 成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列

S1 , S 2 , S3 ,?, S n ,且 Tn ? ? S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? (?1) n S n ,求满足不等式 T2 n ? 6 ? 2n ?1 的所有 n 的值;
c? ? a? ? (3)已知 a, b, c 成等比数列,若数列 ? X n ? 满足 5 X n ? ? ? ? ? ? ? ? (n ? N ) ,证明:数列 ?a? ? c? 的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,且 X n 是正整数.
n n

?

Xn 中

?

. (2013 届闵行高三二模模拟试卷(数学)理科)

如图,过坐标原点 O 作倾斜角为 60 的直线交抛物线 ? : y ? x 于 P 1 点,过 P 1 点作倾斜角为 120 的直
? 2 ?

线交 x 轴于 Q1 点,交 ? 于 P2 点;过 P2 点作倾斜角为 60 的直线交 x 轴于 Q2 点,交 ? 于 P 3 点;过 P 3点
?

作 倾 斜 角 为 120

?

的 直 线 , 交 x 轴 于 Q3 点 , 交 ? 于 P4 点 ; 如 此 下 去 . 又 设 线 段 的 长 分 别 为

OQ1 , Q1Q2,Q2Q3 , ?,Qn ?1Qn, ?

a1 , a2 , a3 , ?, an , ? , ?OPQ ?Q1 P2Q2, ?Q2 P3Q3 , ?,?Qn ?1 PnQn, ? 的 面 积 分 别 为 1 1, G1 , G2 , G3 , ?, Gn , ?, 数列 ?an ?的前 n 项的和为 S n .
(1)求 a1 , a2 ;
a

(2)求 an , lim

n ??

Gn ; Sn

(3)设 bn ? a n ( a ? 0且a ? 1) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,对于正整数 p, q, r , s ,若 p ? q ? r ? s ,且

p ? s ? q ? r ,试比较 Tp ? Ts 与 Tq ? Tr 的大小.
y P1 O Q1 P2 P4 Q2 Q3 P3 x

上海 2013 届高三理科数学最新试题精选(13 份含 16 区二模)分类汇编 5:数列参考答案 一、选择题

A C 二、填空题

(17,25) .
三、解答题

C

? 120

?1

12

9;

7;

3 4

1 5

364

2

21 ①④

18 ;

本题共有 3 个小题,第(1)小题满分4 分,第(2)小题满分 6 分, 第(3)小题满分 6 分. 解:(1)由条件得

Sn 1 n ? 0 ? (n ? 1) ,即 S n ? (n ? 1) , n 2 2
*

所以, an ? n ? 1( n ? N )

4 ? (?2) n ?1 (n ? N * ) 15 4 4 4 4 所以, b2 k ?1 ? (?2) 2 k ? 2 ? ? 22 k ? 2 , b2 k ? (?2) 2 k ?1 ? ? ? 22 k ?1 , 15 15 15 15 4 4 b2 k ?1 ? (?2) 2 k ? ? 22 k , 15 15
(2) 由(1)可知 bn ? 由 2b2 k ?1 ? b2 k ? b2 k ?1 及 b2 k ? b2 k ?1 ? b2 k ?1 得

b2 k , b2 k ?1 , b2 k ?1 依次成递增的等差数列,
所以 d k ? b2 k ?1 ? b2 k ?1 ?

4 2 k 4 2 k ? 2 4k ?2 ? ?2 ? , 15 15 5

满足

d k ?1 ? 4 为常数,所以数列 ?d k ?为等比数列 dk

(3)①当 k 为奇数时,
1 k ?1 5 ? Ck2 5k ? 2 ? ? ? (?1) k 4k (5 ? 1) k 5k ? Ck ? ? 5 5 5 , 1 k ?1 1 k ?2 2 k ?3 k ?1 0 k ?1 ? 5 ? Ck 5 ? Ck 5 ? ? ? Ck 5 (?1) ? 5

dk ?

4k ?1 (5 ? 1) k ?1 1 1 k ?1 同样,可得 d k ?1 ? ? ? 5 k ? Ck ? Ck2?1 5k ? 2 ? ? ? Ckk?1 50 (?1) k ? , ?1 5 5 5 5
所以,集合 x d k ? x ? d k ?1 , x ? Z 的元素个数为 ( d k ?1 ? ) ? ( d k ? ) ? 1

?

?

1 5

1 5

? d k ?1 ? d k ?

3 3(4k ? 1) ; ? 5 5

②当 k 为偶数时,同理可得集合 x d k ? x ? d k ?1 , x ? Z 的元素个数为

?

?

3 ? (4k ? 1) 5

本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.

解:(1) a n ?1 ? S n ? 3 ? S n ?1 ? 2 S n ? 3 , bn ? S n ? 3 n , n ? N ? ,当 a ? 3 时,
n n

bn ?1 S n ?1 ? 3n ?1 2 S n ? 3n ? 3n ?1 ? ? =2,所以 ?bn ? 为等比数列. bn S n ? 3n S n ? 3n

b1 ? S1 ? 3 ? a ? 3 , bn ? ( a ? 3) ? 2 n ?1 .
(2) 由(1)可得 S n ? 3 n ? ( a ? 3) ? 2 n ?1

a n ? S n ? S n ?1 , n ? 2, n ? N ?

a n ?1 ? an ? ? ; n ?1 n?2 n?2 ?2 ? 3 ? (a ? 3) ? 2

? a 2 ? a1 a n ?1 ?a n , ? ?a n ?1 ? a n n ? 2
(3)由(1)当 a ? 4 时, bn ? 2 n ?1

, a ? ?9

所以 a ? ?9 ,且 a ? 3 .所以 a 的最小值为

当 n ? 2 时, C n ? 3 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? 2 ? 1 , C1 ? 3 ,
n

所以对正整数 n 都有 C n ? 2 n ? 1 . 由 t p ? 2 n ? 1 , t p ? 1 ? 2 n ,( t , p ? N 且 t ? 1, p ? 1 ), t 只能是不小于 3 的奇数.
?

p p

p n

①当 p 为偶数时, t ? 1 ? (t 2 ? 1)(t 2 ? 1) ? 2 ,
p p

因为 t 2 ? 1 和 t 2 ? 1 都是大于 1 的正整数,
p p

所以存在正整数 g , h ,使得 t 2 ? 1 ? 2 g , t 2 ? 1 ? 2 h ,

2 g ? 2 h ? 2 , 2 h (2 g ? h ? 1) ? 2 , 所 以 2 h ? 2 且 2 g ? h ? 1 ? 1 ? h ? 1, g ? 2 , 相 应 的 n ? 3 , 即 有
C 3 ? 3 2 , C 3 为“指数型和”;
②当 p 为奇数时, t ? 1 ? (t ? 1)(1 ? t ? t ? ? ? t
p 2 2 p ?1
2 p ?1 ) ,由于 1 ? t ? t ? ? ? t 是 p 个奇数之和,

仍为奇数,又 t ? 1为正偶数,所以 (t ? 1)(1 ? t ? t ? ? ? t

p ?1

) ? 2 n 不成立,此时没有“指数型和”.

解:由题意知 a1 ? 2 ,且

ban ? 2n ? ? b ? 1? Sn

ban ?1 ? 2n ?1 ? ? b ? 1? Sn ?1
两式相减得 b ? an ?1 ? an ? ? 2 ? ? b ? 1? an ?1
n

即 an ?1 ? ban ? 2 n



(1)当 b ? 2 时,由①知 an ?1 ? 2an ? 2 n 于是 an ?1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2
n n n

? 2 ? an ? n ? 2n ?1 ?
又 a1 ? 1 ? 2 n ?1 ? 1 ? 0 ,所以 an ? n ? 2 n ?1 是首项为 1,公比为 2 的等比数列. 故知, bn ? 2
n ?1

?

?

,
n ?1

再由 bn ? a n ? n ? 2 另解:

,得 an ? ? n ? 1? 2

n ?1

.

an ?1 an 1 ? ? 2n ?1 2n 2 a 1 ?a ? ?? n ? 1 ,公差为 的等差数列, 是首项为 1 n ? 1 2 2 ?2 ? ? an n ?1 n ?1 ? 1? ? n 2 2 2

? an ? ?n ? 1?? 2n ?1 bn ? ?n ? 1?? 2n ?1 ? n ? 2n ?1 ? 2n ?1
(2)当 b ? 2 时,由①得

an ?1 ?

1 1 1 ? ? ? 2n ?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 ? b ? an ? ? 2n ? 2?b 2?b 2?b ? ?
n

若 b ? 0 , Sn ? 2

若 b ? 1 , an ? 2 , S n ? 2
n

n ?1

?2

1 ,数列 ?a n ? 若 b ? 0、

? ?

1 2(1 ? b) ? ? 2 n ? 是以 为首项,以 b 为 公比的等比数列,故 2?b 2?b ?

1 2(1 ? b) n ?1 ? 2n ? ?b , 2?b 2?b 1 an ? 2 n ? ?2 ? 2b ?b n ?1 2?b an ?

?

?

Sn ?

1 2(1 ? b) 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? ? ? 2 n ? 1 ? b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n ?1 2?b 2?b

?

?

?

?

Sn ?

2(2n ? bn ) 2?b

b ? 1 时, S n ? 2n ?1 ? 2 符合上式
所以,当 b ? 0 时, Sn ? 当 b ? 0 时, S n ? 2
n

2(2n ? bn ) 2?b

另解: 当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 2 当 n ? 2 时,? ban ? 2 ? ? b ? 1? Sn
n

? b ? Sn ? Sn ?1 ? ? 2n ? ? b ? 1? Sn

? Sn ? bSn ?1 ? 2n
若 b ? 0 , Sn ? 2
n

若 b ? 0 ,两边同除以 2 得
n

Sn b Sn ?1 ? ? ?1 2n 2 2n ?1



Sn Sn b Sn ?1 b Sn ?1 2 ? 2m ?m? ? n ? 1 ? m ,即 n ? m ? ?( n ? ) n ?1 2 2 2 2 2 2 ?1 b 2 ? 2m 2 得m ? b b?2

由m ?

?{

Sn 2 b b ? } 是以 为首项, 为公比的等比数列 n 2 b?2 b?2 2

?

Sn 2 b b ? ? ? ( )n ?1 , n 2 b?2 b?2 2

所以,当 b ? 0 时, Sn ?

2(2n ? bn ) 2?b

解:(1)在数列 {a n } 中,取 n ? 1 ,则 在 数 列

a1 ? a3 ? 2 ? a 2 ,不满足条件①,所以数列 {a n } 不具有“ m 性质”; 2

{bn } 中 ,

b1 ? 1 ,

b2 ? 3

,

b3 ? 2

,

b4 ? 3

,

b5 ? 1 , 则

b1 ? b3 ? 3 ? 2 3 ? 2b2 , b2 ? b4 ? 2 3 ? 4 ? 2b3 , b3 ? b5 ? 3 ? 2 3 ? 2b4 , 所 以 满 足 条 件
①; bn ? 2 sin

n? ? 2 ( n ? 1,2,3,4,5 )满足条件②,所以数列 {bn } 具有“性质 m ” 6

(2)因为数列 {c n } 是各项为正数的等比数列,则公比 q ? 0 , 将 c3 ?

c c 1 7 代入 S 3 ? 3 ? 3 ? c3 ? 得, 6q 2 ? q ? 1 ? 0 , [来源:Z,xx,k.Com] 2 4 q 4 q

1 1 或 q ? ? (舍去), 2 3 1 1 所以 c1 ? 1 , c n ? n ?1 , S n ? 2 ? n ?1 2 2
解得 q ? 对于任意的 n ? N ,
*

S n ? S n?2 1 1 1 ? 2 ? n ? n ? 2 ? 2 ? n ? S n ?1 ,且 S n ? 2 2 2 2 2

所以数列数列 {S n } 具有“ m 性质”

M ?2
(3)由于 d n ? 3t ?

tn ? 1 t (n ? 1) ? 1 t (n ? 2) ? 1 ,则 d n ?1 ? 3t ? , d n ? 2 ? 3t ? n n ?1 2 2 2 n?2
*

由于任意 n ? [3, ? ?] 且 n ? N ,数列 {d n } 具有“性质 m ”,所以 d n ? d n ? 2 ? 2d n ?1

tn ? 1 t (n ? 2) ? 1 t (n ? 1) ? 1 ,化简得, t ( n ? 2) ? 1 ? ? 2? n n?2 2 2 2 n ?1 1 * 即t ? 对于任意 n ? [3, ? ?) 且 n ? N 恒成立,所以 t ? 1 ① n?2 tn ? 1 t (n ? 1) ? 1 t (n ? 1) ? 1 = 由于 n ? 3 及①,所以 d n ?1 ? d n d n ?1 ? d n ? n ? 2 2 n ?1 2 n ?1 tn ? 1 即 n ? 3 时,数列 {d n } 是单调递增数列,且 lim d n ? lim(3t ? ) ? 3t n?? n?? 2n 只需 3t ? 9 ,解得 t ? 3 ② 由① ②得 1 ? t ? 3 ,所以满足条件的整数 t 的值为 2 和 3. 经检验 t ? 2 不合题意,舍去,满足条件的整数只有 t ? 3
即 【解析】⑴设 a1 ? 2k , a2 ? k ,则: 2k ? a3 ? 2k , a3 ? 0 分两种情况: k 是奇数,则 a3 ? 若 k 是偶数,则 a3 ?

a2 ? 1 k ? 1 ? ? 0 , k ? 1 , a1 ? 2, a2 ? 1, a3 ? 0 2 2

a2 k ? ? 0 , k ? 0 , a1 ? 0, a2 ? 0, a3 ? 0 2 2

⑵当 m ? 3 时, a1 ? 2 m ? 3, a2 ? 2 m ?1 ? 1, a3 ? 2 m ? 2 , a4 ? 2 m ?3 ,

a5 ? 2 m ? 4 ,? , am ? 2, am ?1 ? 1, am ? 2 ? ? ? an ? 0
∴ S n ? S m ?1 ? 1 ? 2 ? ? ? 2 m ? 4 ? 2 m ? 3 ⑶∵ n ? 1 ? log 2 a1 ,∴ n ? 1 ? log 2 a1 ,∴ 2 n ?1 ? a1

? an , a 是偶数 ? a ?2 n ? n 由定义可知: an ?1 ? ? ? an ? 1 , a 是奇数 2 n ? ? 2


an ?1 1 ? an 2 an an ?1 a 1 ? ?? ? 2 ? a1 ? n ?1 a1 an ?1 an ? 2 a1 2

∴ an ? ∴ an ?

1 ? 2n ?1 ? 1 2n ?1

∵ an ? N ,∴ an ? 0 , 综上可知:当 n ? 1 ? log 2 a1 ( n ? N ) 时,都有 an ? 0

( 14 分 ) 解 :(1) ? z1 ? a1 ? b1 ? i ? 1 ? i , ? a1 ? 1 , b1 ? 1 .[ 来 由 z n ?1 ? 2 z n ? z n ? 2i 得

?a n ?1 ? 3a n an?1 ? bn?1 ? i ? 2(an ? bn ? i) ? (an ? bn ? i) ? 2i ? 3an ? (bn ? 2) ? i ,? ? ?bn ?1 ? bn ? 2 ? 数列 ? a n ?是 以 1 为 首 项 公 比 为 3 的 等 比 数 列 , 数 列 ? bn ?是 以 1 为 首 项 公 差 为 2 的 等 差 数
列,? a n ? 3
n ?1

, bn ? 2n ? 1
n ?1

(2)① 由 (1) 知 a n ? 3

,?

a k a k ?1 ? 32 , ? 数 列 ? a n a n ?1 ?是 以 3 为 首 项 , 公 比 为 3 2 的 等 比 数 a k ?1 a k 3(1 ? 3 2 n ) 3 2 n ?1 3 ? ? 1? 9 8 8
[来源:学。科。网]

列. ? a1 a 2 ? a 2 a3 ? ? ? a n a n ?1 ? ②当 n ? 2k , k ? N 时,
?

b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ? ? (?1) n?1 bn bn?1 ? (b1b2 ? b2b3 ) ? (b3b4 ? b4b5 ) ? ? ? (b2k ?1b2k ? b2k b2k ?1 )

? ?4b2 ? 4b4 ? ? ? 4b2 k ? ?4(b2 ? b4 ? ? ? b2 k ) ? ?4 ?

k (b2 ? b2 k ) ? ?8k 2 ? 4k ? ?2n 2 ? 2n 当 2

n ? 2k ? 1 , k ? N ? 时, b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ? ? (?1) n ?1 bnbn ?1

? (b1b2 ? b2 b3 ) ? (b3b4 ? b4 b5 ) ? ? ? (b2k ?1b2k ? b2k b2k ?1 ) ? b2k ?1b2k ?2 ? ?8k 2 ? 4k ? (4k ? 1)(4k ? 3) ? 2n 2 ? 2n ? 1
又 n ? 1 也满足上式
? 2 n 2 ? 2 n ? 1 当 n 为奇数时 ? b1 b 2 ? b 2 b 3 ? b 3 b 4 ? b 4 b 5 ? ? ? ( ? 1) n ?1 b n b n ?1 ? ? ? 2 ? ?? 2n ? 2n 当 n 为偶数时

解:(1)令 n=1,则 a1=S1= (2)由 Sn ? ②-①,得

1(a1 ? a1 ) =0 ; 2 ①

a3=2;
得 Sn ?1 ? ③ ④ (n ? 1)an ?1 . 2 ②

n(an ? a1 ) na ,即 Sn ? n , 2 2 (n ? 1)an ?1 ? nan .

于是, nan ? 2 ? (n ? 1)an ?1 .

③+④,得 nan ? 2 ? nan ? 2nan ?1 ,即 an ? 2 ? an ? 2an ?1 又 a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列{an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列. 所以,an=n-1 法二②-①,得 (n ? 1)an ?1 ? nan . ③

于是,

a n ?1 a a a a ? n ,? n ? n ?1 ? ? ? 2 n n ?1 n ?1 n ? 2 1
所以,an=n-1.

?

an ?1 n ?1

(3)假设存在正整数数组(p,q),使 b1,bp,bq 成等比数列, 则 lgb1,lgbp,lgbq 成等差数列, 于是, 2p 1 q ? ? 3 p 3 3q 2p 1 ? ) (☆).易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解 3p 3 2( p ? 1) 2 p 2 ? 4 p ? p ? p ?1 <0, 3 p ?1 3 3

所以, q ? 3q (

当 p≥3,且 p∈N*时, 故数列{ 于是

2p }(p≥3)为递减数列 3p

2p 1 3 ? 1 <0,所以此时方程(☆)无正整数解 ? ≤ 2? p 3 3 3 3 3

综上,存在唯一正整数数 对(p,q)=(2,3),使 b1,bp,bq 成等比数列

(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题 6 分) 解:(1)因为 a , b , c 是互不相等的正数,所以 q ? 0 且 q ? 1 . 由已知, a , b , c 是首项为,公比为 q 的等比数列,则 b ? q , c ? q ,
2

当插入的一个数位于 b , c 之间, 设由 4 个数构成的 等差数列的公差为 d ,则 ? 得 2q ? 3q ? 2 ? 0 ,
2

?q ? 1 ? d
2 ?q ? 1 ? 3d

,消去 d

因为 q ? 1 ,所以 q ? 2 (2)设所构成的等差数列的公差为 d ,由题意, d ? 0 ,共插入 4 个数.

若在 a , b 之间插入个数,在 b , c 之间插入 3 个数,则 ? 于是

?b ? a ? 2d , ?c ? b ? 4d

b?a c?b 2 , 2b ? 2a ? c ? b , q ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2 ? 2 4

若在 a , b 之间插 入 3 个数,在 b , c 之间插入个数,则 ? 于是

?b ? a ? 4d , ?c ? b ? 2d

b?a c?b 1 , 2c ? 2b ? b ? a 解得 q ? (不合题意,舍去) ? 4 2 2

若 a , b 之间和 b , c 之间各插入 2 个数,则 ? 解得 q ? 1 (不合题意,舍 去)

?b ? a ? 3d ,b ? a ? c ? b, ?c ? b ? 3d

综上, a , b 之间插入个数,在 b , c 之间插入 3 个数 (3)设所构成的等差数列的公差为 d ,

b?a b?c ,又 c ? b ? (t ? 1) d , d ? , s ?1 t ?1 b?a c?b q ? 1 q (q ? 1) t ?1 所以 ,即 ,因为 q ? 1 ,所以 ? ? ? q [来源:学*科*网] s ?1 t ?1 s ?1 t ?1 s ?1
由题意, b ? a ? ( s ? 1) d , d ? 所以,当 q ? 1 ,即 a ? b ? c 时, s ? t ;当 0 ? q ? 1 ,即 a ? b ? c 时, s ? t .

解:(1)设 A0 ( ?

p , y0 ) ,由于青蛙依次向右向上跳动, 2 p p 所以 A1 ( , y0 ) , A2 ( ,? y0 ) ,由抛物线定义知: S 2 ? 3 p 2 2
(2) 依题意, x2 n ?1 ?
n ??

x2 n ?1, x2 n ? x2 n ?1, y2 n ? y2 n ?1 ? x2 n ?1 (n ? N * )

lim S n ?| A0 A1 | ? | A1 A2 | ? | A2 A3 | ? | A3 A4 | ? ? ? | A2 n ? 2 A2 n ?1 | ? | A2 n ?1 A2 n | ? ? ? ( x1 ? x0 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( x3 ? x2 ) ? ( y4 ? y3 ) ? ( x5 ? x4 ) ? ? ? ( x2 n ?1 ? x2 n ) ? ( y2 n ? y2 n ?1 ) ? ? ? 2( x1 ? x0 ) ? 2( x3 ? x2 ) ? 2( x5 ? x4 ) ? ? ? 2( x2 n ?1 ? x2 n ) ? ? , 1) 随着 n 的增大,点 An 无限接近点 (1
横向路程之和无限接近 1 ?

1 1 1 1 ? ,纵向路程之和无限接近 1 ? ? 2 2 2 2

所以 lim S n =
n ???

1 1 ? ?1 2 2

(注:只要能说明横纵坐标的变化趋势,用文字表达也行)

y2 k ), A2 k ?1 ( x2 k ?1, y2 k ?1 ) ,由题意, An 的坐标满足如下递推关系: (3)设点 A2 k ( x2 k, 1 x0 ? , y0 ? 1 ,且 y2 k ?1 ? y2 k (k ? 0,,,, 1 2 3 ?), x2 k ?1 ? x2 k ? 2 (k ? 0,,,, 1 2 3 ?) 2 y2 k ? 2 x2 k ,∴ x2 k ?1 ? x2 k ? 2 ? 2 x2 k , 其中 y2 k ?1 ? x2 k ?1,
(方法一)∴ {x2 k } 是以 x0 ? 即当 n 为偶数时, xn ?
k

1 1 k k 为首项, 2 为公比的等比数列,∴ x2 k ? ? 2 , y2 k ? 2 2 2

n 1 n ? 2 2 , yn ? 2 2 2 n ?1 2 n ?1 2

又 x2 k ?1 ? x2 k ? 2 ? 2 , y2 k ?1 ? x2 k ?1 ? 2 ,∴当 n 为奇数时, xn ? 2
k

, yn ? 2

于是,当 n 为偶数时,

| A0 A1 | ? | A1 A2 | ? | A2 A3 | ? | A3 A4 | ? ? ? | A2 k ? 2 A2 k ?1 | ? | A2 k ?1 A2 k | ? ( x1 ? x0 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( x3 ? x2 ) ? ( y4 ? y3 ) ? ( x5 ? x4 ) ? ? ? ( x2 k ?1 ? x2 k ?2 ) ? ( y2 k ? y2 k ?1 ) ? ( x1 ? x0 ) ? ( y2 ? y0 ) ? ( x3 ? x1 ) ? ( y4 ? y2 ) ? ( x5 ? x3 ) ? ? ? ( x2 k ?1 ? x2 k ?3 ) ? ( y2 k ? y2 k ? 2 ) 3 3 ? ( x2 k ? y2 k ) ? ( x0 ? y0 ) ? ? 2k ? 2 2 当 n 为奇数时, | A0 A1 | ? | A1 A2 | ? | A2 A3 | ? | A3 A4 | ? ? ? | A2 k ? 2 A2 k ?1 | ? | A2 k A2 k ?1 | ? ( x1 ? x0 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( x3 ? x2 ) ? ( y4 ? y3 ) ? ( x5 ? x4 ) ? ? ? ( y2 k ? y2 k ?1 ) ? ( x2 k ?1 ? x2 k ) ? ( x1 ? x0 ) ? ( y2 ? y0 ) ? ( x3 ? x1 ) ? ( y4 ? y2 ) ? ( x5 ? x3 ) ? ? ? ( y2 k ?1 ? y2 k ) ? ( x2 k ?1 ? x2 k ?1 ) ? ( x2 k ?1 ? y2 k ?1 ) ? ( x0 ? y0 ) ? 2 ? 2k ?
?1 ? n2 3 2 ? ? 2 ∴ Sn ? ? n 3 2 ? (2 ? 1) ?2

3 2

n为奇数 n为偶数 1 1 k k 为首项, 2 为公比的等差数列,∴ x2 k ? ? 2 , y2 k ? 2 2 2
k

(方法二)∴ {x2 k } 是以 x0 ?
k

又 x2 k ?1 ? x2 k ? 2 ? 2 , y2 k ?1 ? x2 k ?1 ? 2 ∴ x2 k ?1 ? x2 k ? 2 ?
k

1 k 1 k ? 2 ? ? 2 , y2 k ? 2 ? y2 k ?1 ? 2k ?1 ? 2k ? 2k 2 2

于是,当 n 为偶数时,

| A0 A1 | ? | A1 A2 | ? | A2 A3 | ? | A3 A4 | ? ? ? | A2 k ? 2 A2 k ?1 | ? | A2 k ?1 A2 k | ? ( x1 ? x0 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( x3 ? x2 ) ? ( y4 ? y3 ) ? ( x5 ? x4 ) ? ? ? ( x2 k ?1 ? x2 k ?2 ) ? ( y2 k ? y2 k ?1 ) 1 1 3 3 ? ( ? 1 ? 2 ? ? ? ? 2k ?1 ) ? (1 ? 2 ? ? ? 2k ?1 ) ? ? 2k ? 2 2 2 2 当 n 为奇数时, | A0 A1 | ? | A1 A2 | ? | A2 A3 | ? | A3 A4 | ? ? ? | A2 k ? 2 A2 k ?1 | ? | A2 k A2 k ?1 | ? ( x1 ? x0 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( x3 ? x2 ) ? ( y4 ? y3 ) ? ( x5 ? x4 ) ? ? ? ( y2 k ? y2 k ?1 ) ? ( x2 k ?1 ? x2 k ) 1 1 3 ? ( ? 1 ? 2 ? ? ? ? 2k ) ? (1 ? 2 ? ? ? 2k ?1 ) ? 2 ? 2k ? 2 2 2 n ?1 ? 2 3 n为奇数 ?2 ? 2 ∴ Sn ? ? . n 3 2 ? (2 ? 1) n为偶数 ?2
(注:本小题若没有写出递推关系,直接归纳得到正确结论而没有证明,扣 4 分)

解:(1) ?an ? 是等差数列,∴
2 2 2

2013 ? (a ? b) ? 2013 ,即 a ? b ? 2 2

所以 c ? a ? b ? ? ? 2 , c 的最小值为 2 ; (2)设 a, b, c 的公差为 d (d ? Z ) ,则 a 2 ? (a ? d )2 ? (a ? 2d )2 ? a ? 3d 设 三 角 形 的 三 边 , 长 为

3d , 4d ,5d

,



积 ,

Sd ?

1 ? 3d ? 4d ? 6d 2 ( d ? Z ) 2

S n ? 6n 2

T2 n ? ? S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S 2 n ? 6[?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? (2n) 2 ] ? 6(1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ?2n) ? 12n 2 ? 6n 1 n ? 2n , 2 n(n ? 1) 1 n 当 n ? 5 时, 2 ? 1 ? n ? ? ? ? 2 ? 2n ? ( n 2 ? n) ? n 2 ? n , 2 2 1 1 2 n 2 n 经检验当 n ? 2,3,4 时, n ? n ? 2 ,当 n ? 1 时, n ? n ? 2 2 2
由 T2 n ? 6 ? 2
n ?1

得n ?
2

综上所述,满足不等式 T2 n ? 6 ? 2

n ?1

的所有 n 的值为 2、3、4

(3)证明:因为 a, b, c 成等比数列, b ? ac .
2

由于 a, b, c 为直角三角形的三边长,知 a ? ac ? c ,
2 2

c 1? 5 , ? a 2

n n ?1? 5 ? ?1? 5 ? c? ? a? ? ? ? ? 又 5X n ? ? ? ? ? ? ? ? (n ? N ) ,得 5 X n ? ? ? 2 ? ?? 2 ? , ?a? ? c? ? ? ? ?

n

n

?1? 5 ? ?1? 5 ? ?1? 5 ? ? ? ? ? ? 于是 5 X n ? 5 X n ?1 ? ? ? 2 ? ?? 2 ? ?? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?
n?2

n

n

n ?1

?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?

n ?1

?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?

n?2

? 5 X n?2

? X n +X n ?1 ? X n ? 2 ,则有?
故数列

?

Xn

? +?
2

X n ?1

? ??
2

X n?2

?.
2

?

X n 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形

?

2 2 ?? 5 ? 1 ?1 ? 1 ? 5 ?1 ? 5? ? , ?? 5 ? 1 ? ? 1 ? 5 ? ? ? 因为 X 1 ? 5 ? ? =1 X ? ? ? ?? ?? 2 ? ? ? 2 ? ?? ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? =1 5 ?? 2 5 ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?

? X 3 ? X1 ? X 2 ? 2 ? N ? ,
由 X n ? X n ?1 ? X n ? 2 ,同理可得 X n ? N , X n ?1 ? N ? X n ? 2 ? N , 故对于任意的 n ? N 都有 X n 是正整数 [解] (1)如图,由 ?OQ1 P 1 是边长为 a1 的等边三角形,得点 P 1 的坐标为 (
?

?

?

?

a1 3a1 a1 3a1 , ) ,又 P , )在 1 ( 2 2 2 2

3a12 a1 2 抛物线 y ? x 上,所以 ? ,得 a1 ? 4 2 3
2

同理 P2 ( ? (2) 如 图

2 3

a2 3a2 4 ,? ) 在抛物线 y 2 ? x 上,得 a2 ? 2 2 3
, 法 1: 点

Qn ?1









(a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ?1 , 0)

,





( S n ?1 , 0)(点Q0与原点重合,S0 =0) , 所 以 直 线 Qn ?1 Pn 的 方 程 为 y ? 3( x ? S n ?1 ) 或 ? y2 ? x ? y ? ? 3( x ? S n ?1 ) ,因此,点 Pn 的坐标满足 ? ? ? y ? 3( x ? S n ?1 )
消去 x 得 3 y ? y ? 3S n ?1 ? 0 ,
2

所以 y ?

1 ? 1 ? 12 S n ?1 2 3

又 y ? an ? sin 60 ?
? 2

3 an ,故 3an ? 1 ? 1 ? 12 S n ?1 2


从而 3an ? 2an ? 4 S n ?1

由①有 3an ?1 ? 2an ?1 ? 4 S n
2 2 2



②-①得 3( an ?1 ? an ) ? 2( an ?1 ? an ) ? 4an 即 ( an ?1 ? an )(3an ?1 ? 3an ? 2) ? 0 ,又 an ? 0 ,于是 an ?1 ? an ? 所以 {an } 是以

2 3
[来源:Z*xx*k.Com]

2 2 2 为首项、 为公差的等差数, an ? a1 ? ( n ? 1) d ? n 3 3 3 (a1 ? an )n 1 Sn ? ? n(n ? 1) 2 3 G 3 2 3 2 3n 2 3 an ? n , lim n ? lim ? n ?? S n ?? 3n( n ? 1) 4 9 3 n
理2分

Gn ?

法 2:点 Qn ?1 的坐标为 ( a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ?1 , 0) ,即点 ( S n ?1 , 0)(点Q0与原点重合,S0 =0) , 所以直线 Qn ?1 Pn 的方程为 y ?

3( x ? S n ?1 ) 或 y ? ? 3( x ? S n ?1 )

? y2 ? x ? 2 因此,点 Pn ( x, y ) 的坐标满足 ? 消去 y 得 3( x ? S n ?1 ) ? x , ? ? y ? 3( x ? S n ?1 ) a a 2 a 2 又 x ? S n ?1 ? n ,所以 3( n ) ? S n ?1 ? n ,从而 3an ? 2an ? 4 S n ?1 ① 2 2 2
以下各步同法 1 法 3: 点 Qn ?1 的坐标为 ( a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ?1 , 0) , 即点 ( S n ?1 , 0)(点Q0与原点重合,S0 =0) ,所以 Pn ( S n ?1 ?

an 3an , ), 2 2

又 Pn ( S n ?1 ?
2

an 3an a 3 2 , ) 在抛物线 y 2 ? x 上,得 an ? S n ?1 ? n 2 2 4 2

即 3an ? 2an ? 4 S n ?1 以下各步同法 1

b a (3)(理)因为 n ?1 ? bn

2( n ?1) 3

a

2n 3

?a ,
2 2

2 3

所以数列 {bn } 是正项等比数列,且公比 q0 ? a 3 ? 1 ,首项 b1 ? a 3 ? q0 ,
q r s b1 (1 ? q0p ) b1 (1 ? q0 ) b1 (1 ? q0 ) b1 (1 ? q0 ) 则 Tp ? , Tq ? , Tr ? , Ts ? 1 ? q0 1 ? q0 1 ? q0 1 ? q0

Tp ? Ts ?Tq ? Tr =

b12 s q r p?s q?r ? ?(1 ? q0p )(1 ? q0 ) ? (1 ? q0 )(1 ? q0 )? (注意 q0 ? q0 ) 2 ? ? (1 ? q0 )

?

b12 q r s ? ?(q0 ? q0 ) ? (q0p ? q0 )? 2 ? ? (1 ? q0 )
q r p s q p s r

而 ( q0 ? q0 ) ? ( q0 ? q0 ) ? ( q0 ? q0 ) ? ( q0 ? q0 )
q? p r s ?r q? p r ? q0p (q0 ? 1) ? q0 (q0 ? 1) ? (q0 ? 1)(q0p ? q0 ) (注意 q ? p ? s ? r ) q? p r? p q? p r? p ? (q0 ? 1)q0p (1 ? q0 ) ? ? q0p (q0 ? 1)(q0 ? 1) 2 3

因为 a ? 0且a ? 1 ,所以 q0 ? a ? 0且q0 ? 1 又 q ? p, r ? p 均为正整数,所以 ( q0 故 ? q0 ( q0
p q? p q? p r? p ? 1) 与 (q0 ? 1) 同号,

r? p ? 1)(q0 ? 1) ? 0 ,所以, Tp ? Ts ? Tq ? Tr

(第(3)问只写出正确结论的,给 1 分)


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