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1.3.2函数的奇偶性(一)课件习题2


奇函数、偶函数的图象性质 1.奇函数的图象关于原点成中心对称图形; 2.偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形. 奇偶函数图象的性质可用于: ①简化函数图象的画法; ②判断函数的奇偶性.

已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴右边的图象如 图,画出y=f(x)在 y轴左边的图象. y 解:画法略

o

x

作出函数 y=x2 -2|x|-3 的图象.
? x ? 2 x ? 3, x ≥ 0, ? y?? 2 ? x ? 2 x ? 3, x ? 0. ?
2

y
-1 1

o

x

-3

点评:用对称法作图时,先作出 x≥0的图象,由 函数是偶函数,再用对称法作出另一半的图象.

【1】已知函数f(x)=ax2+bx+c,(2a-3≤x≤1)是 偶函数,则a=___,b=____,c∈___. R 0 1 【2】对于奇函数f(x),若x能取到零,则f(0)=__. 0

【3】对于定义在R上的函数 f (x),下列判断 是否正确? 若f (-2) = f (2),则函数 f (x)是偶函数.
若f (-2)≠f (2),则函数 f (x)不是偶函数.

1] 函数 f ( x) ? ? x ,x ?[?3, 是偶函数.
2

例2. 函数 y ? mx ? (n ? 1) x ? 1是定义在 2 [m ? 6, m]上的偶函数,则该函数的值域是_____.) [?1, ??
2

y ? 2x ? 1
2

? 已知函数 且

f ( x ) ? x ? ax ? bx ? 3
5 3



f ( ?1) ? 8,求 f (1) 的值。

已知f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,求 当 x<0时,f(x)的解析式,并画出此函数f(x) y 的图象. 解:∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x). ∵当x≥0时,f(x)=x2-2x, ∴当x<0时,-x>0, f(-x) = (-x)2-2(-x) = x2+2x, 即 -f(x)= (x2+2x),∴ f(x)=-x2-2x.
? x 2 ? 2 x, x ? 0, ? 故f ( x ) ? ? 2 ? ? x ? 2 x, x ? 0. ?
o x

已知f(x)是定义在R上的奇函数 ,当x≥0 时,f(x)=x(1+x),求当 x<0时,f(x)的解析式, 并画出此函数f(x)的图象.

? x(1 ? x), x ? 0, f ( x) ? ? x(1 ? x), x ? 0. ?

已知 f(x) 是定义在R上的奇函数,当x>0 时, f(x)=x2+x-1, 求函数f(x)的表达式.
? x ? x ? 1, x ? 0, ? f ( x ) ? ?0, x ? 0, 2 ?? x ? x ? 1, x ? 0. ?
2

引申:如果改为偶函数呢?

例:已知函数 f ( x ) 定义域为 R,若对任 意 x, y ? R ,都有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ,求 证: f ( x )为奇函数

已知奇函数 y ? f ( x ), x ? (?1,1) ,在 ( ?1,1) 上是减 函数,解不等式 f (1 ? x ) ? f (1 ? x 2 ) ? 0

? 0,1?

已知函数y=f(x) 在R上是奇函数,而且在(0,+∞) 上是增函数,证明y=f(x)在(-∞,0)上也是增函数.

证明:任取x1, x2∈(-∞,0),且x1<x2. 则 ? x1 ? ? x2 ? 0.

?

? f (? x1 ) ? f (? x2 )
?? f ( x1 ) ? ? f ( x2 ).

f(x)在(0,+∞)上是增函数,

又f(x)在R上是奇函数, 即 f(x1) < f(x2). 所以函数y=f(x)在(-∞,0)上是增函数.

已知函数y=f(x) 在R上是偶函数,而且在 (0,+∞)上是减函数,那么y=f(x)在(-∞,0)上是增 函数还是减函数? 解:设 x 1 <x 2 < 0, 则 -x1 >-x2>0, ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数, ∴ f(-x1 )< f(-x2 ). ∵ f(x) 是偶函数,

∴ f(x1) < f(x2).
故f(x)在(-∞,0)上是增函数.

ax ? b 函数 f ( x ) ? 是定义在 (?1,1)上的奇函 2 1? x
1 2 数,且 f ( ) ? 2 5

x ⑴确定函数f ( x )的解析式; f ( x) ? x 2 ? 1
⑵用定义证明 f ( x) 在 (?1,1)上是增函数; ⑶解不等式 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 0 。

? 1? ? 0, ? ? 2?


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