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北师大版数学必修四课件:第1章7.3 正切函数的诱导公式


7.3 正切函数的诱导公式 1.会推导正切函数的诱导公式. 2. 熟练掌握正切函数的诱导公式,并能根据公式解决化简、 求值等问题. 同学们已经知道,在正、余弦函数中,我们是先学 诱导公式,再学图像与性质的. 在学正切函数时,我们 为什么要先学图像与性质,再学诱导公式呢? 观察下图,角α 与角2π +α ,2π -α , π +α ,π -α ,-α 的正切函数值有何关系? 1、正切函数的诱导公式 我们可以归纳出以下公式: tan(2π +α )=tanα tan(-α )=-tanα tan(2π -α )=-tanα tan(π -α )=-tanα tan(π +α )=tanα tan(π /2+α )=-cotα tan(π /2-α )=cotα } 这些公式 都叫做正 切函数的 诱导公式 其中角α是任意角 参考下面的框图,想想每次变换应该运用哪些公式? 任意 角的 α ±2kπ 锐角 三角 函数 0~2π 的角的 三角函 数 π ±α 的三 角函 数 由此可知,我们可以利用诱导公式,将任意角 的三角函数问题转化为锐角的三角函数问题. 例 1 .若 tanα = 2 ,借助三角函数定义求角α 的正弦函数值和余弦函数值. 3 2 >0 ,∴α 是第一象限或第三象限的角 3 2 可知,角α 终边上必有一点 P(3,2). 3 y x 3 13 2 13 = , cosα = = . r r 13 13 解:∵tanα = (1)如果α 是第一象限的角,则由 tanα = 所以 x=3,y=2. ∵r=|OP|= 13 ∴sinα = (2) 如果α 是第三象限角,同理可得:sinα = y x 2 13 3 13 =- , cosα = =- . r r 13 13 由正切值求角时,一定要注意角的终边可能在的象限. tan 315o ? tan 570o 例2.求 的值. o o tan(?60 ) ? tan 675 o o ? tan 45 ? tan 30 原式= 解: ? tan 60o ? tan 45o 3 1? 3 ?1 ? 3 3 3 = = = ? 3 ?1 1? 3 3 例 3.化简: tan (2p - a ) tan (3p + a ) tan (- p + a ) tan (3p - a ) tan (- a - p ) . - tan a tan (p + a ) 解:原式= 轾 轾 tan p a tan p a - tan (p + a ) ( ) ( ) 臌 臌 (- tan a ) tan a 1 = =- tan a tan a (- tan a )(- tan a ) . 在利用公式进行化简时一定要注意公式变形时符号及函数 名称是否变化. 1. 已知 P(x,3)是角α 终边上一点,且 tanα =- 5 3 为_____________. 3 ,则 x 的值 5 2. 已知 tanx>0,则 x p ) 2 的取值范围为________________. (k p , k p + 3. 已知 tanx=1,则 sinx 2 2 的值为________________. ± 4. 求值: 1 + tan(- 37p 43p ) ?2 tan( ). 6 6 解析: 1 + tan(- 37p 43p ) ?2 tan( ) 6 6 = 1 + tan(= 1 + tan(= 1 + (= 1+

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