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2015-2016学年高中数学 2.2.2反证法练习 新人教A版选修2-2


【成才之路】2015-2016 学年高中数学 2.2.2 反证法练习 新人教 A 版选修 2-2 一、选择题 1.(2014·微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果 a>b>0,那么 a >b ”时,假设 的内容应是( A.a =b C.a ≤b 2 2 2 2 2 ) B.a <b 2 2 2 2 D.a <b ,且 a =b 2 2 2 [答案] C 2.设实数 a、b、c 满足 a+b+c=1,则 a、b、c 中至少有一个数不小于( A.0 1 C. 2 [答案] B 1 1 [解析] 三个数 a、b、c 的和为 1,其平均数为 ,故三个数中至少有一个大于或等于 . 3 3 1 假设 a、b、c 都小于 ,则 a+b+c<1,与已知矛盾. 3 3.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理根,那么 2 ) 1 B. 3 D.1 a、b、c 中至少有一个是偶数”时,下列假设中正确的是( A.假设 a、b、c 都是偶数 B.假设 a、b、c 都不是偶数 C.假设 a、b、c 至多有一个偶数 D.假设 a、b、c 至多有两个是偶数 [答案] B [解析] “至少有一个”的对立面是“一个都没有”. 4.实数 a、b、c 不全为 0 等价于( A.a、b、c 均不为 0 B.a、b、c 中至多有一个为 0 C.a、b、c 中至少有一个为 0 D.a、b、c 中至少有一个不为 0 [答案] D ) ) [解析] “不全为 0”的含义是至少有一个不为 0,其否定应为“全为 0”. 1 [点评] 要与“a、b、c 全不为 0”加以区别,“a、b、c 全不为 0”是指 a、b、c 中没 有一个为 0,其否定应为“a、b、c 中至少有一个为 0”. 1 1 1 5.设 a、b、c∈(-∞,0),则 a+ ,b+ ,c+ ( b c a ) A.都不大于-2 B.都不小于-2 C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小于-2 [答案] C 1 1 1 [解析] 假设都大于-2,则 a+ +b+ +c+ >-6, b c a 1 1 1 但(a+ )+(b+ )+(c+ ) b a c b a c 1 1 1 =(a+ )+(b+ )+(c+ )≤-2+(-2)+(-2)=-6,矛盾. 6.若 m、n∈N ,则“a>b”是“a A.充分不必要条件 C.充分必要条件 [答案] D [解析] ?a >b ? ? n n ? ?a >b m m m n * m+n +b m+n >a b +a b ”的( n m m n ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 am + n + bm + n - anbm - ambn = an(am - bm) + bn(bm - am) = (am - bm)(an - bn)>0 ? m n 或? ?a <b ? ? ?a <b ,不难看出 a>b? / a m+n +b m+n >a b +a b ,a m n n m m+n +b m+n >a b +b a ? / a>b. m n m n 二、填空题 7.“x=0 且 y=0”的否定形式为________________. [答案] x≠0 或 y≠0 [解析] “p 且 q”的否定形式为“?p 或?q”. 8.和两条异面直线 AB、CD 都相交的两条直线 AC、BD 的位置关系是________________. [答案] 异面 [解析] 假设 AC 与 BD 共面于平面 α ,则 A,C,B,D 都在平面 α 内,∴AB? α ,CD ? α ,这与 AB,CD 异面相矛盾,故 AC 与 BD 异面. 9.在空间中有下列命题:①空间四点中有三点共线,则这四点必共面;②空间四点, 其中任何三点不共线,则这四点不共面;③垂直于同一直线的两直线平行;④两组对边分别 相等的四边形是平行四边形.其中真命题是______________. [答案] ① [解析] 四点中若有三点共线,则这条直线与另外一点必在同一平面内,故①真;四点 2 中任何三点不共线,这四点也可以共面,如正方形的四个顶点,故②假;正方体交于同一顶 点的三条棱所在直线中,一条与另两条都垂直,故③假;空间四边形 ABCD 中,可以有 AB= CD,AD=BC,例如将平行四边形 ABCD 沿对角线 BD 折起构成空间四边形,这时它的两组对边 仍保持相等,故④假. 三、解答题 10. (2013·泰州二中高二期中)已知 n≥0, 试用分析法证明: n+2- n+1< n+1- n. [证明] 要证上式成立,需证 n+2+ n<2 n+1, 需证( n+2+ n) <(2 需证 n +2n<n+1, 需证(n+1) >n +2n, 需证 n +2n+1>n +2n, 只需证 1>0, 因为 1>0 显然成立,所以原命题成立. 2 2 2 2 2 2 n+ ), 2 一、选择题 11.设 a、b、c∈R ,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是 P、Q、R 同时大于零的( ) + A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 [答案] C [解析] 若 P>0,Q>0,R>0,则必有 PQR>0;反之,若 PQR>0,也必有 P>0,Q>0,R>0. 因为当 PQR>0 时,若 P、Q、R 不同时大于零,则 P、Q、R 中必有两个负数,一个正数,不妨 设 P<0,Q<0,R>0,即 a+b<c,b+c<a,两式相加得 b<0,这与已知 b∈R 矛盾,因此必有 + P>0,Q>0,R>0. 12.已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b 的位置关系为( A.一定是异面直线 C.不可能是平行直线 [答案] C [解析] 假设

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