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2012高一数学


实例分析1:艾宾浩斯(关于时间间隔与记忆保持量)

实例分析2: 某市年生产总值统计表
生产总值 (亿元)

30
20 10
4.67 19.71

33.60

7.56

1985

1990 1994 1997 年份

实例分析3 :非典病例的变化统计图
1、2003年抗击非典时,北京市从4月21日至5月19 日期间每日新增病例的变化统计图。

13

从图中可知每阶段时间的病情的发展情况,增 加和减弱的趋势。

?画出下列函数的图象,观察其变化规律:

f(x) = x

1.从左至右图象上升还是下降 上升 ____? 2. 在区间 ________ (-∞, +∞) 上,随着 x 的增大, f(x) 的值 增大 . 随着 ______

?画出下列函数的图象,观察其变化规律:

f(x) = x2

(-∞, 0] 上,f(x)的值随着x的增大而_____ 减小 . 1.在区间_______
增大 . (0, +∞) 上,f(x)的值随着x的增大而 _____ 2. 在区间_______

?画出下列函数的图象,观察其变化规律:

x 0 f(x)=x2 0

1 1

2 4

3 9

4 16

… …

2 在区间 ? 0, ? ? ? 上任取两个x1 , x2 ,得到f ( x1 ) ? x1 , 2 f ( x2 ) ? x2 ,当x1 ? x2时,有f ( x1 ) ? f ( x2 ),这时我们就 说函数f ( x ) ? x 2在区间 ? 0, ? ? ? 上是增函数.

一、函数单调性定义

1.增函数

一般地,设函数 y=f(x) 的定义域为 I ,如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1, x2 ,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区 间D上是增函数.

2.减函数

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1, x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在区 间D上是减函数 .

注意:
1.必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2; 当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是增 函数和减函数. 2. 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的 性质,是函数的局部性质;

例1.下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根 析 据图象说出函数的单调区间,以及在每个区间上, 它是增函数还是减函数?

二.典例精

解:函数y=f(x)的单调区间有

[-5, -2), [-2,1), [1, 3), [3, 5].
其中y=f(x)在区间[-5, -2), [1, 3)上是减函数, 在区间[-2, 1), [3, 5] 上是增函数.

例2.证明:函数 f ( x) ? 3x ? 2在 ? ??, ??? 上是增函数.
思考:如何证明一个函数是单调递增的呢?
证明:在区间

? ??, ???上任取两个值 x1 , x2 且 x1 ? x2
? 3( x2 ? x1 )

取值
作差 化简

则f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? (3x2 ? 2) ? (3x1 ? 2)
x1, x2 ? ? ??, ??? ,且 x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? 0

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0即f ( x2 ) ? f ( x1 )

判号

所以函数 f ( x) ? 3x ? 2 在区间上 ? ??, ??? 是增函数. 定论

三、判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤: ①取值: 任取x1,x2∈D,且x1<x2; ②作差:f(x1)-f(x2); ③变形:(因式分解和配方等)乘积或商式; ④定号:(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ⑤下结论:(即指出函数 f(x) 在给定的区间 D上 的单调性).

四、归纳小结
1.函数单调性的定义 2.会利用函数图像找出函数的单调区间

3.函数单调性的证明,证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 化简 → 判号 → 下结论


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