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福建省三明市第一中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 文


三明一中 2014-2015 学年第二学期学段考 高 二 文 科 数 学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) .本试卷共 6 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上,请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超 出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损. 第 I 卷(选择题 共 60 分)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 A ? ?1, a ? 2,5? , CU A ? ?2,4?,则 a 的值为( A. 3 B. 4 ) B. f ( x) ? lg x 2 , g ( x) ? 2 lg x D. f ( ? ) ? C. 5 D. 6 )

2. 下列各对函数中,相同的是( A. f ( x) ? C. f ( x ) ?

x 2 , g ( x) ? x
x2 , g ( x) ? x x

1 ?? 1? ? , g (? ) ? 1 ?? 1? ?
)

3.在同一坐标系中,将曲线 y=3sin 2x 变为曲线 y′=sin x′的伸缩变换是(

? x ? 2 x’ , ? A. ? 1 ' ?y ? y , 3 ?
’ ? ?x ? 2x , C. ? ' ? ?y ? 3y ,

‘ ?x ? 2 x, ? B. ? ’ 1 ? y ? y, 3 ?

‘ ? ? x ? 2 x, D. ? ’ ? ? y ? 3 y,

4.某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表:

x y

1.99 1.5

3 4.04

4 7.5

5.1 12

6.12 18.01

1

对于表中数据,现给出下列拟合曲线,其中拟合程度最好的是 A.y=2x-2 C.y=log2x 1 x B.y=( ) 2 1 2 D.y= (x -1) 2 )

(

)

5.根据右边的算法语句,当输出 y 为 31 时,输入 x 的值为( A.62 B.61
2

INPUT x IF x ? 50 THEN

C.60

D.62 或 60

y ? 0.5 ? x
ELSE

? ?x=2+sin θ , 6.将参数方程? 2 ? ?y=sin θ

(θ 为参数)化为普通方程是( B.y=x+2 D.y=x+2(0≤y≤1)

) y ? 25 ? 0.6 ? ( x ? 50) END IF PRINT y END

A.y=x-2 C.y=x-2(2≤x≤3)
1 3 1 3

1

7.设 y1 ? 0.4 , y 2 ? 0.5 , y3 ? 0.5 4 ,则 ( A.y3<y2<y1 C.y2<y3<y1 B.y1<y2<y3 D.y1<y3<y2

)

8.设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, f ( x ) = 2 x(1 ? x) ,则 f ( ? ) =( A. ?

5 2



1 2

B .?

1 4

C.

1 4

D.

1 2 9.二次函数 f(x)=ax +bx+c(x∈R)的部分 2

对应值如下表:

x -3 -2 -1 y
2

0 -6

1 -6 )

2 -4

3 n

4 6

6

m

-4

可以判断方程 ax +bx+c=0 的两根所在的区间是( A.(-3,-1)和(2,4) C.(-1,1)和(1,2)

B.(-3,-1)和(-1,1) D.(-1,3)和(4,+∞)

10. 函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为 (

)

11. 已知函数 f(x)的定义域为 R,对于定义域内任意 x.y,都有 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y).且x ? 0
2

时,f(x)< 0,则(



A. f ( x ) 是偶函数且在(- ? ,+ ? )上单调递减 B. f ( x ) 是偶函数且在(- ? ,+ ? )上单调递增 C. f ( x ) 是奇函数且在(- ? ,+ ? )上单调递减 D. f ( x ) 是奇函数且在(- ? ,+ ? )上单调递增 12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x+4),且 f(x)在(2,+∞)上为增函数.已知 x1+

x2<4 且(x1-2)·(x2-2)<0,则 f(x1)+f(x2)的值
A.恒小于 0 C.可能等于 0 B.恒大于 0 D.可正也可负 第Ⅱ卷(非选择题

(

)

共 90 分)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. → → 13.若复数 z1=-1,z2=2+i 分别对应复平面上的点 P,Q,则向量PQ对应的模|PQ|=____. 14.下列命题中正确的是
2

. (填序号)
2

①命题“对任意 x∈R,有 x ≥0”的否定是“存在 x0∈R,有 x0 ≥0” . ②命题“若 x -3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x -3x+2≠0” . ③指数函数是增函数, f ( x) ? 2 是指数函数,因此 f ( x) ? 2 正确. ④若 a,b,c∈R,则“ax +bx+c≥0”的充分条件是“b -4ac≤0” . 15.若函数 f ( x ) ?
2 2 2 2

?x

?x

是增函数. 以上推理过程中大前提不

ax ? 1 在 ?? ?, ? 1? 内单调递减,则 a 的取值范围是 x ?1



2 16. 已知函数 f ( x ) ? x ? 1 ,g ( x) ? x 2 ? ax ? 2 ,x ? R , 若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2 在 (0,2)

上有两个不同的零点 x1 , x2 ,则 a 的取值范围是_________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) “ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动,活动规定:被邀请 者要么在 24 小时内接受挑战,要么选择为慈善机构捐款(不接受挑战) ,并且不能重复参加该活 动.若被邀请者接受挑战,则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容,然后便可以邀 请另外 3 个人参与这项活动.为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关,某调查机构进行了随 机抽样调查,调查得到如下 2 ? 2 列联表:

3

男性 接受挑战 不接受挑战 合计 (1)请将上面的列联表补充完整. 30 16

女性

合计

6 40

(2) 根据表中数据,能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别 有关”? 附: ? ?
2

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ??b ? d ?

n ? ad ? bc ?

2

P ? 2 ≥ k0
k0

?

?

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

18. (本小题满分 12 分)设 a 为实数,给出命题 p:关于 x 的不等式 ( )
2

1 2

x ?1

≥a 的解集为 ? ,命题 q:函

数 f(x)=lg(ax +ax+1)的定义域为 R,若命题“p∨q”为真,“p∧q”为假,求 a 的取值范围.

2 ? x =3- t, ? 2 19. (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? 2 ? ?y= 5+ 2 t (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正 半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ =2 5sin θ . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(3, 5),求|PA|+|PB|.

4

20. (本小题满分 12 分)某产品原来的成本为 1 000 元/件,售价为 1 200 元/件,年销售量为 1 万件, 由于市场和顾客要求提高,公司计划投入资金进行产品升级,据市场调查,若投入 x 万元,每件产 品的成本将降低

3 2 x 元,在售价不变的情况下,年销售量将减少 万件,按上述方式进行产品升级 4 x

和销售,扣除产品升级资金后的纯利润为 f(x)(单位:万元). (1)求 f(x)的函数解析式. (2)求 f(x)的最大值,以及 f(x)取得最大值时 x 的值.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

x2 . 1 ? x2
1 4

(1)分别求 f (2) ? f ( ), f (3) ? f ( ), f (4) ? f ( ) 的值, 并归纳猜想一般性结论 (不要求证明) ; (2)求值:

1 2

1 3

1 1 1 1 1 1 2 f (2) ? 2 f (3) ? ? ? 2 f (2015 ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? f ( ) ? 2 f (2) ? 2 f (3) ? ? f (2015 ) 2 3 2015 2 3 2015 2

22. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=ka -a (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)若 f(1)>0,求不等式 f(x +2 x)+ f(x-4)>0 的解集. (2)已知 f(1)=
2 x

-x

3 2x -2x ,若存在 x ? ?1,??? ,使得 a +a -4 m f(x)=0 成立,求实数 m 的取值范围. 2

5

三明一中 2014-2015 学年第二学期学段考 高二文科数学参考答案 一、选择题: 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 D 5 C 6 C 7 B 8 A 9 A 10 D 11 C 12 A

二、填空题: 13. 10 ; 三、解答题: 17.解:(1) 男性 接受挑战 不接受挑战 合计 16 14 30 女性 4 6 10 合计 20 20 40 14.②③; 15. (??,?1) ; 16. (?

11 ,?2 6 ) . 2

-----------4 分 (2) K ?
2

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
?
?

40 ( 16 ? 6 ? 14 ? 4) 2 20 ? 20 ? 30 ? 10
8 ? 2.706 15
------------------------------8 分

所 以 , 不 能 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 0.1 的 前 提 下 认 为 “ 冰 桶 挑 战 赛 与 受 邀 者 的 性 别 有 关” . ---------------------10 分

18. 解:若 p 正确,则由 0< ( )
2

1 2

x ?1

≤1,得 a>1.-----------3 分

若 q 正确,则 ax +a x+1>0 解集为 R.-----------4 分 当 a=0 时,1>0 成立,所以 a=0; -----------5 分 当 a≠0 时,则 ? 故0 ? a ? 4 .

?a ? 0,
2 ?a ? 4a ? 0,

解得 0<a<4.-----------7 分 -----------8 分
6

由题意知, p 和 q 中有且仅有一个正确, 所以 ?

?a ? 1, ?a ? 1, 或? -----------10 分 ?a ? 0或a ? 4 ?0 ? a ? 4,

解得 a≥4 或 0≤a≤1.-----------12 分 19. 解: 法一 (1)由 ρ =2 5sin θ ,得 x +y -2 5y=0, 即 x +(y- 5) =5.
2 2 2 2

-----------4 分

(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程, 得?3-
2

? ?

2 ?2 ? 2 ?2 t? +? t? =5, 2 ? ?2 ? -----------7 分

即 t -3 2t+4=0. 由于 Δ =(3 2) -4×4=2>0, 故可设 t1,t2 是上述方程的两实根,所以? 又直线 l 过点 P(3, 5),
2

?t1+t2=3 2, ?t1·t2=4.

-----------9 分

故由上式及 t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2.-----------12 分

法二 (1)同法一.-----------4 分 (2)因为圆 C 的圆心为(0, 5),半径 r= 5,直线 l 的普通方程为:y=-x+3+ 5.

?x2+?y- 5?2=5, 由? ?y=-x+3+ 5
解得:?

得 x -3x+2=0.-----------7 分

2

?x=1, ?y=2+ 5

或?

?x=2, ?y=1+ 5.

-----------9 分

不妨设 A(1,2+ 5),B(2,1+ 5),又点 P 的坐标为(3, 5). 所以|PA|+|PB|=| (3 - 1) ? ( 5 ? 2 ? 5 ) ? (3 ? 2) ? ( 5 ? 1 ? 5 ) ? 3 2
2 2 2 2

-----------12 分 20.解:(1)依题意,产品升级后,每件的成本为 1 000年销售量为 1-

3x 3x 元,利润为 200+ 元, 4 4

2 万件, x 3x 2 400 x )(1 ? ) ? x = 198 .5 ? ? .-----------6 分 4 x x 4

(200 ? 纯利润为 f (x)=

7

(2) f(x)= 198 .5 ?

400 x 400 x ? ≤198.5-2× ? =178.5.-----------9 分 x 4 x 4

等号当且仅当

400 x ? ,即 x=40 时成立. x 4

所以 f (x)取最大值时的 x 的值为 40.-----------12 分

x2 21. 解:(1)∵ f ( x) ? , 1 ? x2

1 ( )2 1 2 22 1 2 ∴ f (2) ? f ( ) ? ? ? ? ? 1, 2 2 1 2 1 ? 2 1 ? ( ) 2 1 ? 2 1 ? 22 2
2

同理可得 f (3) ? f ( ) ? 1, f (4) ? f ( ) ? 1 . ---------------------------4 分 猜想 f ( x ) ? f ( ) ? 1 .-------------------------6 分 (2) ∵ f ( x) ?

1 3

1 4

1 x

1 x2 ? 1? f ( x ) ? 1 ? 2 ? ? 1 ,-------------------------8 分 2 2 ? x 1? x ? x ?
1 x

又由(1)得, f ( x ) ? f ( ) ? 1 ,则
1 1 1 1 1 1 2 f (2) ? 2 f (3) ? ? ? 2 f (2015 ) ? f ( ) ? f ( ) ??? f ( ) ? 2 f (2) ? 2 f (3) ? ? ? f (2015 ) 2 3 2015 2 3 20152 1 1 1 1 1 1 ? [ f (2) ? f ( ) ? f (2) ? 2 f (2)] ? [ f (3) ? f ( ) ? f (3) ? 2 f (3)] ? ? ? [ f (2015 )? f ( ) ? f (2015 )? f (2015 )] 2 3 2015 2 3 20152

?2 ? 2 ?? ? 2 ? 4028.-----------------------------------------------------12 分 ? ?? ? ?? ?
2014 个2

22. 解:因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数,所以 f(0)=0, 所以 k-1=0,所以 k=1.经检验,符合题意. 故 f(x)=a -a .-------------------------1 分 (1)因为 f(1)>0,所以 a ?
x x -x

1 >0,又 a>0 且 a≠1,所以 a>1, ----------------2 分 a
-x 2 2

而当 a>1 时,y=a 和 y=-a 在 R 上均为增函数,所以 f(x)在 R 上为增函数, --------------3 分 原不等式化为: f(x +2 x)> f(4- x),所以 x +2 x>4- x,即 x +3 x-4>0, ----------------4 分 所以 x>1 或 x<-4, 所以不等式的解集为{ x| x>1 或 x<-4}. ----------------6 分
2

8

(2) 法一:因为 f(1)= 所以 a=2 或 a=-

3 1 3 2 ,所以 a ? ? ,即 2a -3a-2=0, 2 a 2
----------------7 分

1 (舍去), 2

a2x+a-2x-4 m f(x)=22x+2-2x-4 m (2x-2-x)=(2x-2-x)2-4 m (2x-2-x)+2. ----------------8 分
令 t=h(x)=2 -2 (x ? 1),
x -x

则 t=h(x)在[1,+∞)上为增函数, 所以 h(x)≥h(1)=

3 3 ,即 t≥ . 2 2

----------------9 分

即方程 t -4 m t+2=0 在 ? , ? ? ? 有解,
2

?3 ?2

? ?

----------------10 分

? ?? ? 0, ? 3 ? 3 2 记 g(t)= t -4 m t+2,? g (0) ? 2 ,故只需 ? g ( ) ? 0, 或 g ( ) ? 0 , ----------------11 分 2 ? 2 3 ? 2m ? . ? 2 ?

解得 m ?

17 24

所以实数 m 的取值范围 ? 法二: 因为 f(1)=

? 17 ? , ? ?? . ? 24 ?

----------------12 分

3 1 3 2 ,所以 a ? ? ,即 2a -3a-2=0, 2 a 2 1 所以 a=2 或 a=- (舍去), 2
令 t=h(x)=2 -2 (x ? 1),
x -x

----------------7 分

a2x+a-2x-4 m f(x)=22x+2-2x-4 m (2x-2-x)=(2x-2-x)2-4 m (2x-2-x)+2. ----------------8 分

则 t=h(x)在[1,+∞)上为增函数, 所以 h(x)≥h(1)=

3 3 ,即 t≥ . 2 2
2x -2x

----------------9 分

故存在 x ? ?1,??? ,使得 a +a -4 m f(x)=0 成立等价于方程 t -4 m t+2=0 在 ? , ? ? ? 有解,等价
2

?3 ?2

? ?



t2 ? 2 ?3 ? ? m在? , ? ? ? 有解, 4t ?2 ?

----------------10 分

9

记 g(t)=

t2 ? 2 1 2 ? (t ? ) ,因为函数 g(t)在 4t 4 t

?3 ? ? ?? ? 2, ? ??上单调递增,故 g(t)在 ? , ?2 ?



单调递增,所以当 t ? 所以 m ?

3 17 17 时,g(t)有最小值 ,所以 g (t ) ? ,----------------11 分 24 24 2
----------------12 分

17 . 24

10


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