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2017版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算练习


【创新设计】 (浙江专用)2017 版高考数学一轮复习 第三章 导数及 其应用 第 1 讲 导数的概念及运算练习 基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2016·山东师大附中月考)曲线 y=a 在 x=0 处的切线方程是 xln 2+y-1=0,则 a= ( A. 1 2 ) B.2 x x C.ln 2 1 D.ln 2 解析 由题知 y′=a ln a,y′|x=0=ln a,又切点为(0,1),故切线方程为 xln a-y 1 +1=0,∴a= . 2 答案 A 2.若 f(x)=2xf′(1)+x ,则 f′(0)等于( A.2 B.0 C.-2 2 ) D.-4 解析 f′(x)=2f′(1)+2x,∴令 x=1,得 f′(1)=-2, ∴f′(0)=2f′(1)=-4. 答案 D 3.(2016·保定调研)已知曲线 y=ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为( A.e B.-e C. 1 e 1 D.- e ) 1 解析 y=ln x 的定义域为(0,+∞),且 y′= ,设切点为(x0,ln x0),则 y′|x=x0 x 1 1 = ,切线方程为 y-ln x0= (x-x0),因为切线过点(0,0),所以-ln x0= x0 x0 1 -1,解得 x0=e,故此切线的斜率为 . e 答案 C 4.(2016·湖州高三模拟)曲线 y=e 角形的面积为( A. 1 3 B. ) 1 2 -2x -2x +1 在点(0, 2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三 C. 2 3 -2x D.1 +1 在点(0, 2)处的切线方程为 y=- 解析 y′|x=0=(-2e )|x=0=-2, 故曲线 y=e ?2 2? 2x+2,易得切线与直线 y=0 和 y=x 的交点分别为(1,0),? , ?,故围成的三角形的 ?3 3? 1 1 2 1 面积为 ×1× = . 2 3 3 答案 A 5.(2016·郑州质检)已知 y=f(x)是可导函数,如图,直线 y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x= 3 处的切线,令 g(x)=xf(x),g′(x)是 g(x)的导函数,则 g′(3)=( ) A.-1 B.0 C.2 D.4 1 1 解析 由题图可知曲线 y=f(x)在 x=3 处切线的斜率等于- ,∴f′(3)=- , 3 3 ∵g(x)=xf(x),∴g′(x)=f(x)+xf′(x),∴g′(3)=f(3)+3f′(3),又由题图可知 f(3)=1,所以 g′(3)=1+3×?- ?=0. 3 答案 B 二、填空题 6.(2015·天津卷)已知函数 f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中 a 为实数,f′(x)为 f(x) 的导函数,若 f′(1)=3,则 a 的值为________. 1? ? 解析 f′(x)=a?ln x+x· ?=a(1+ln x),由于 f′(1)=a(1+ln 1)=a,又 f′(1) ? 1? ? ? ? x? =3,所以 a=3. 答案 3 7.已知函数 y=f(x)及其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则曲线 y=f(x)在点 P 处的切 线方程是________. 解析 根据导数的几何意义及图象可知, 曲线 y=f(x)在点 P 处的切线的斜率 k=f′(2) =1,又过点 P(2,0),所以切线方程为 x-y-2=0. 答案 x-y-2=0 1 x 8.(2015·陕西卷)设曲线 y=e 在点(0, 1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线垂直, x 则 P 的坐标为________. 2 1 x x 0 解析 y′=e ,曲线 y=e 在点(0,1) 处的切线的斜率 k1=e =1,设 P(m,n),y= (x x 1 1 1 >0)的导数为 y′=- 2(x>0),曲线 y= (x>0)在点 P 处的切线斜率 k2=- 2(m>0), x x m 因为两切线垂直,所以 k1k2=-1,所以 m=1,n=1,则点 P 的坐标为(1,1). 答案 (1,1) 三、解答题 9.求下列函数的导数: (1)y=x lg x; π? 2? (2)y=sin ?2x+ ?; 3? ? (3)y=log3(2x+1). 解 =x (1)y′=nx n-1 n-1 n lg x+x · n 1 xln 10 ?nlg x+ 1 ?. ? ? ln 10? ? π ? 1? 2π ?? ? 2? (2)∵y=sin ?2x+ ?= ?1-cos?4x+ ??, 3 ? 2? 3 ?? ? ? 2π ?? 1? ? ∴y′=- ?cos?4x+ ??′ 3 ?? 2? ? 2π ?? ? 2π ? 2π ? 1 ? ? ? =- ·?-sin?4x+ ??·?4x+ ?′=2sin?4x+ ?. 3 ?? ? 3 ? 3 ? 2 ? ? ? (3)y′= 1 2 ·(2x+1)′= . (2x+1)ln 3 (2x+1)·ln 3 1 3 4 10.已知曲线 y= x + . 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程. 解 1 3 4 2 (1)∵P(2,4)在曲线 y= x + 上,且 y′=x , 3 3 ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为 y′|x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0. 1 3 4? 1 3 4 ? (2)设曲线 y= x + 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A?x0, x0+ ?,则切线的斜率为 3 3? 3 3 ? y′|x=x0=x2 0. 2 3 4 ? 1 3 4? 2 2 ∴切线方程为 y-? x0+ ?=x0(x-x0),即 y=x0·x- x0+ .∵点 P(2

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