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山西省运城市夏县中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理


(理科)高二数学试题
(本试卷满分 100 分,考试时间 90 分钟) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中只 有一个是符合题目要求的) 1.5 名高中毕业生报考三所重点院校,每人限报且只报一所院校,则不同的报名方法有 ( ) A.3 种 C.60 种
5

B.5 种 D.10 种 )

3

2.设随机变量 X 等可能取 1、2、3... n 值,如果 p( X ? 4) ? 0.4 ,则 n 值为(

A. 4 B. 6 C. 10 D. 无法确定 3.变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1)、(11.3,2)、(11.8,3)、(12.5,4)、(13,5); 变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5)、(11.3,4)、(11.8,3)、(12.5,2)、(13,1).r1 表示变 量 Y 与 X 之间的线性相关系数,r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,则( A.r2<r1<0 C.r2<0<r1 B.0<r2<r1 D.r2=r1 )

4.从 5 男 4 女中选出 4 位代表,其中至少有两位男同志和至少一位女同志,分别到四个 不同的工厂调查,不同的选派方法有( A.100 种 C.480 种 ) B.400 种 D.2400 种

5.甲、乙两人进行围棋比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束, 2 假定甲每局比赛获胜的概率均为 ,则甲以 3∶1 的比分获胜的概率为( 3 8 A. 27 4 C. 9 64 B. 81 8 D. 9 )

6.从字母 a,b,c,d,e,f 中选出 4 个数排成一列,其中一定要选出 a 和 b,并且必须 相邻(a 在 b 的前面),共有排列方法( A.36 种 C.90 种 ) B.72 种 D.144 种

? 2 1 ?n 7.如果?x - ? 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大,那么展开式中的所有项的系 2x? ?
数和是( A.0 ) B.256

1

C.64

D.

1 64

8.小明家 1~4 月份用电量的一组数据如下: 月份 x 用电量 y 1 45 2 40 3 30 4 25


由散点图可知,用电量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是y
∧ ∧

=-7x+a,则a等于( A.105 C.52

) B.51.5 D.52.5

9.某机械零件由 2 道工序组成,第一道工序的废品率为 a,第二道工序的废品率为 b, 假设这两道工序出废品是彼此无关的,那么产品的合格率为( A.ab-a-b+1 C.1-ab B.1-a-b D.1-2ab )

10.四个不同的小球全部随意放入三个不同的盒子中,使每个盒子都不空的放法种数为 ( ) A.A3A4 C.C4A2
2 2 1 3

B.C4A3 D.C4C4C2
1 3 2

2 3

11.抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数的样本空间为 S={1,2,3,4,5,6}.令事件 A= {2,3,5},事件 B={1,2,4,5,6},则 P(A|B)的值为( A. C. 3 5 2 5 B. D. 1 2 1 5 ) )

a2 a3 a10 10 2 10 12.设(1-2x) =a0+a1x+a2x +?+a10x ,则 a1+ + 2+?+ 9 的值为( 2 2 2 A.2 C.2 043 B.2 046 D.-2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ ),P(ξ ≤3)=0.841 3,则 P(ξ ≤1)= ________. 14.(x -2x+1) 的展开式中 x 的系数是________. 15.有 6 名学生,其中有 3 名会唱歌,2 名会跳舞,1 名既会唱歌也会跳舞,现从中选出 2 名会唱歌的,1 名会跳舞的去参加文艺演出,则共有选法________种 16.荷花池中, 有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃
2 4 7 2

2

时,均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所 示,假设现在青蛙在 A 叶上,则跳三次之后停在 A 叶上的概率是________. 三、解答题(本大题共 5 个大题,共 48 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 8 分) 中央电视台“星光大道”节目的现场观众来自 4 所学校, 分别在图中 的四个区域Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ坐定.有 4 种不同颜色的服装,同一学校的观 众必须穿上同种颜色的服装,且相邻两个区域的颜色不同,不相邻区域颜 色相同与否不受限制,那么不同着装方法有多少种? 18.(本题满分 10 分) 用 1,2,3,4 四个数字组成可有重复数字的三位数,这些数从小到 大构成数列{an}. (1)这个数列共有多少项? (2)若 an=341,求 n. 19.(本题满分 10 分)一机器可以按各种不同的速度运转,其生产物件有一些会有缺点, 每小时生产有缺点物件的多少随机器运转速度而变化,用 x 表示转速(单位:转/秒) ,用 y 表示每小时生产的有缺点物件个数, 现观测得到 ( x,y) 的 4 组观测值为 (8, 5) , (12, 8) , (14, 9) , (16,11) . (1)假定 y 与 x 之间有线性相关关系,求 y 对 x 的回归直线方程; (2)若实际生产中所容许的每小时最大有缺点物件数为 10,则机器的速度不得超过多少 转/秒. (精确到 1 转/秒) (参考公式:回归直线的方程是 y ? bx ? a ,其中 b ?

? x y ?n? x ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

, a ? y ? bx , )

2

i

? nx

2

20.(本题满分 10 分)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况,随机抽 取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名,下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体 育节目时间的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有 关?

3

非体育迷 男 女 合计

体育迷

合计

10

55

(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方 法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽取 的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望 E(X)和方差 D(X). 附:K = n?ad-bc? . ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2 2

P(K ≥k) k

2

0.05 3.841

0.01 6.635

21. (本题满分 10 分)三个元件 T1 , T2 , T3 正常工作的概率分别为 1 , 3 , 3 , 将它们中某两个元件 2 4 4 并联后再和第三元件串联接入电路. ⑴在如图的电路中,电路不发生故障的概率是多少? ⑵三个元件连成怎样的电路,才能使电路中不发生故障的概率最大? 请画出此时电路图,并说明理由.

4

高二数学试卷答案 一 选择题(本题共 12 个小题,每小题只有一个正确答案,每小题 3 分,共 36 分) 1 A 2 C 3 C 4 D 5 A 6 A 7 D 8 D 9 A 1 3 10 B 11 C 12 D

二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 0.158 7 14. -8 15. 15 16.

三 解答题(本大题共 5 个小题,共 48 分) 17. (本小题满分 8 分) 4 解析:分三种情况:①四所学校的观众着装颜色各不相同时,有 A4=24 种方法; 3 ②四所学校的观众着装颜色有三种时,即有两所相同时,只能是Ⅰ与Ⅲ,或Ⅱ与Ⅳ,故有 2C4 3 A3=48 种方法; 2 ③四所学校的观众着装颜色有两种时,则Ⅰ与Ⅲ相同,同时Ⅱ与Ⅳ相同,故有 A4=12 种方法. 根据分类加法计数原理知共有 24+48+12=84 种方法. 18. (本小题满分 10 分) 解 (1)依题意知,这个数列的项数就是由 1,2,3,4 组成有重复数字的三位数的个数,每一个 位置都有 4 种取法.因此共有 4×4×4=64 项. (2)比 341 小的数分为两类:第一类:百位数字是 1 或 2,有 2×4×4=32 个;第二类:百位 数字是 3,十位数可以是 1,2,3,有 3×4=12 个. 因此比 341 小的数字有 32+12=44 个,所以 n=45. 19. (本小题满分 10 分)
? 解: (1)设回归直线方程为 y ? bx ? a , x ? 12.5 , y ? 8.25 ,

?x
i ?1

4

2 i

? 660



?x y
i ?1 i

4

i

? 438



于是

b?

438 ? 4 ? 12.5 ? 8.25 25.5 51 51 33 51 25 6 ? ? a ? y ? bx ? 8.25 ? ? 12.5 ? ? ? ? ? 2 660 ? 4 ? 12.5 35 70 , 70 4 70 2 7.

51 6 ? y? x? 70 7; ∴所求的回归直线方程为 51 6 760 ? y? x ? ≤10 x≤ ? 15 70 7 51 (2)由即机器速度不得超过 ,得 ,15 转/秒.
20 解: (1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,从而 2×2 列 联表如下: 非体育迷 男 女 合计
2

体育迷 15 10 25
2

合计 45 55 100

30 45 75

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 n?n11n22-n12n21? 100×?30×10-45×15? K= = n1+n2+n+1n+2 75×25×45×55
2



100 ≈3.030. 33

因为 3.030<3.841,所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关.

5

(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一 1 名“体育迷”的概率 . 4 1 由题意知 X~B(3, ),从而 X 的分布列为 4 X P 1 3 E(X)=np=3× = . 4 4 21. (本小题满分 10 分) 解:记“三个元件 0 27 64 1 27 64 2 9 64 3 1 64

1 3 9 D(X)=np(1-p)=3× × = . 4 4 16

T1 , T2 , T3 正常工作”分别为事件 A1 , A2 , A3 ,则

P( A1 ) ?

1 3 3 , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? . 2 4 4

⑴不发生故障的事件为 ∴不发生故障的概率为

( A2 ? A3 ) A1 . P 1 ? P[( A2 ? A3 ) A 1 ] ? P( A 1 ? A3 ) ? P( A 1)

1 1 1 15 ? ]? ? 4 4 2 32 ⑵如图,此时不发生故障的概率最大.证明如下: ? [1 ? P( A2 ) ? P( A3 )] ? P( A1 ) ? [1 ?
图 1 中发生故障事件为 ∴不发生故障概率为

( A1 ? A2 ) A3
21 2 ? P 1 32 ,? P

P2 ? P[( A1 ? A2 ) A3 ] ? P( A1 ? A2 ) ? P( A3 ) ? [1 ? P( A1 ) ? P( A2 )] P( A3 ) ?
图 2 不发生故障事件为

( A1 ? A3 ) A2 ,同理不发生故障概率为 P 3 ?P 2 ?P 1

6


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