伤城文章网 > 数学 > 1.2.2 第1课时 函数的表示法 学案(人教A版必修1)

1.2.2 第1课时 函数的表示法 学案(人教A版必修1)


1.2.2
第 1 课时

函数的表示法
函数的表示法

【课标要求】 1.掌握函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. 2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数. 【核心扫描】 1.用解析法和图象法表示函数.(重点) 2.求函数的解析式,画函数的图象.(难点、易错点)

新知导学
1.函数的表示方法 表示法 解析法 图象法 列表法 2.函数三种表示法的优缺点 定 义 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 用图象表示两个变量之间的对应关系 通过表格来表示两个变量之间的对应关系

温馨提示:函数的三种表示互相兼容和补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在 实际操作中,仍以解析法为主.

互动探究
探究点 1 判断一个图形是不是函数图象的依据是什么? 提示 作垂直于 x 轴的直线,并沿 x 轴平移,如果图象始终与此直线至多有一个交点, 则此图形可以作为函数的图象,否则不能作为函数的图象. 探究点 2 任何一个函数都能用解析法表示吗? 提示 不一定.如某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无 法用解析法表示.

类型一 函数的三种表示方法 【例 1】 下列式子或表格: ①y=2x,其中 x∈{0,1,2,3},y∈{0,2,4};

②x2+y2=2; ③y= x-2+ 1-x; ④ x y 1 90 2 89 3 88 4 85 5 95

其中表示 y 是 x 的函数的是________. [思路探索] 解答本题的关键是分析所给式子或表格是否满足函数的定义. 解析 ①不表示 y 是 x 的函数,因为当 x=3 时,y 没有值与其对应; ②不表示 y 是 x 的函数,因为当 x=1 时,y=± 1,即 y 有两个值与 x 的值对应; ③不表示 y 是 x 的函数,因为原表达式中 x∈ ; ④能表示 y 是 x 的函数,因为该表格既满足函数概念中的确定性也满足唯一性. 答案 ④ [规律方法] 1.列表法、 图象法、 解析法均是函数的表示方法, 无论用哪种方式表示函数, 都必须满足函数的概念. 2.判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义. 【活学活用 1】 (2013· 朝阳高一检测)若函数 y=f(x)的定义域 M={x|-2≤x≤2},值域 为 N={x|0≤y≤2},则函数 y=f(x)的图象可能是( ).

解析 A 中定义域是{x|-2≤x≤0},不是定义域 M,C 中对于 x=0,有两个 y 值对应, 不满足唯一性,不是函数关系,D 中的值域不是集合 N={y|0≤y≤2}. 答案 B 类型二 求函数的解析式 【例 2】 (1)已知 f(x)是二次函数,其图象的顶点是(1,3),且过原点,求 f(x). (2)已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x). [思路探索] (1)待定系数法,(2)换元法(或配凑法). 解 (1)由于图象的顶点是(1,3), 故设 f(x)=a(x-1)2+3,a≠0. 因为图象过原点,所以 a+3=0,解得 a=-3, 所以 f(x)=-3(x-1)2+3. (2)法一 x+2 x=( x)2+2 x+1-1=( x+1)2-1, ∴f( x+1)=( x+1)2-1( x+1≥1). 即 f(x)=x2-1(x≥1). 法二 令 t= x+1,则 x=(t-1)2,t≥1.代入原式,有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1 +2t-2=t2-1. ∴f(x)=x2-1(x≥1). [规律方法] 1.若已知函数的类型,可用待定系数法求解.由函数类型设出函数解析式,

再利用题目中的条件列方程(或方程组),通过解方程(组)求出待定系数. 2.对于已知 f[g(x)]的表达式,求 f(x)常用“换元法”,需特别说明一点:需保证换元前 后自变量的范围不变!否则易弄错函数的定义域. 【活学活用 2】 (1)已知 g(x-1)=2x+6,求 g(3). (2)若二次函数 f(x)满足:f(0)=0,f(x+1)-f(x)=2x,求 f(x). 解 (1)法一 令 x-1=t,则 x=t+1, ∴g(t)=g(x-1)=2(t+1)+6=2t+8, ∴g(x)=2x+8,∴g(3)=2×3+8=14. 法二 令 x-1=3,则 x=4,∴g(3)=2×4+6=14. (2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∵f(0)=0,∴c=0. 又∵f(x+1)-f(x)=2x, ∴a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=2x,
?2a=2, ? 即 2ax+a+b=2x.∴? ?a+b=0. ?

∴a=1,b=-1.从而 f(x)=x2-x. 类型三 作函数的图象 【例 3】 作出下列函数的图象: (1)y=x+1(x∈Z); (2)y=x2-2x(x∈[0,3)). [思路探索] 用描点法作图,但要注意定义域对图象的影响. 解 (1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线 y=x+1 上,如图(1)所示.

(2)因为 0≤x<3,所以这个函数的图象是抛物线 y=x2-x 介于 0≤x<3 之间的一部分, 如图(2)所示. [规律方法] 1.作函数图象主要有三步:列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数 的定义域,再在定义域内化简函数解析式,再列表画出图象. 2.函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意关键点,如图 象与坐标轴的交点、区间端点,二次函数的顶点等等,还要分清这些关键点是实心点还是空 心点. 【活学活用 3】 画出下列函数的图象: (1)y=x+1(x≤0); (2)y=x2-2x(x>1 或 x<-1). 解 (1)y=x+1(x≤0)表示一条射线,图象如图. (2)y=x2-2x=(x-1)2-1, (x>1 或 x<-1)是抛物线 y=x2-x 去掉-1≤x≤1 之间的部 分后剩余曲线.

方法技巧 赋值法求抽象函数的解析式与函数值 抽象函数是相对于具体的函数而言的,是指没有给出具体的函数解析式或对应关系,只 是给出函数所满足的一些条件或性质的一类函数.求解此类问题,关键是分析条件和性质, 恰当赋值代换. 【示例】 设 f(x)是 R 上的函数,且满足 f(0)=1,并且对任意的实数 x,y 都有 f(x-y) =f(x)-y(2x-y+1),求 f(x)的表达式. [思路分析] 求 f(x),关键是消去 y,将 f(x-y)转化为常量(含 x=y). 解 法一 由已知条件得 f(0)=1, f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1), 设 x=y,则 f(x-y)=f(0)=f(x)-x(2x-x+1), 所以 f(x)=x2+x+1. 法二 令 x=0,得 f(0-y)=f(0)-y(-y+1), 即 f(-y)=1-y(-y+1), 将-y 用 x 代换到上式中得 f(x)=x2+x+1. [题后反思] 当所给的函数中含有两个变量时,可对这两个变量交替用特殊值代入,或使 这两个变量相等代入,再根据已知条件求出函数解析式.具体取什么特殊值,根据题目特征 而定.需要说明的是依据这样的关系式不是都可以求出函数解析式的.

课堂达标
1.已知函数 f(x)由下表给出,则 f(3)等于( x f(x) 1≤x<2 1 ). 2 2 2<x≤4 3

A.1 B.2 C.3 D.不存在 解析 由表可知 f(3)=3. 答案 C 2.下列各图中,不能表示函数 f(x)图象的是(

).

解析 结合函数的定义知,对 A、B、D,定义域中每一个 x 都有唯一函数值与之对应, 对于 C,对大于 0 的 x 而言,有两个不同值与之对应,不符合函数定义,故选 C. 答案 C 3.已知 f(x)是正比例函数,且过点(1,1),则 f(x)=________.

解析 设 f(x)=ax(a≠0),∴f(1)=a=1,∴f(x)=x. 答案 x 4.已知 f(2x+1)=3x-2 且 f(a)=4,则 a 的值为________. 3 7 解析 ∵f(2x+1)=3x-2= (2x+1)- , 2 2 3 7 3 7 ∴f(x)= x- ,∴f(a)=4,即 a- =4,∴a=5. 2 2 2 2 答案 5 5.

已知函数 p=f(m)的图象如图所示.求: (1)函数 p=f(m)的定义域; (2)函数 p=f(m)的值域. 解 (1)观察函数 p=f(m)的图象,可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是 -3≤m≤0 或 1≤m≤4, 所以函数的定义域是 [-3,0]∪[1,4]. (2)观察函数 p=f(m)的图象, 可以看出图象上所有点的纵坐标的取值范围是 -2≤p≤2, 所以函数的值域是[-2,2].

课堂小结
1.作函数图象时应注意以下几点: (1)在定义域内作图; (2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象; (3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是 实心点还是空心点. 2.求函数的解析式的关键是理解对应关系 f 的本质与特点(对应关系就是对自变量进行 对应处理的操作方法,与用什么字母表示无关),应用适当的方法,注意有的函数要注明定义 域.求函数解析式的主要方法有:待定系数法、换元(配凑)法、赋值消元法等.


搜索更多“1.2.2 第1课时 函数的表示法 学案(人教A版必修1)”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com