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湖北省宜昌市第一中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题


宜昌市第一中学 2015 年秋季学期高一年级期中考试 数 学 试 题

考试时间:120 分钟 满分:150 分 ★祝考试顺利★ 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项。 1.已知集合 A ? ?1,3,5? , B ? ?2, a, b? ,若 A ? B ? ?1,3? ,则 a ? b 的值为 B. 7 1 2.函数 f ( x) ? ? lg(1 ? x) 的定义域是 1? x A. 4 A. (??, ?1) B. (1, ??) C. 9 D. 10

C. (?1,1) ? (1, ??)

D. (??, ??)

3.下列各组函数中表示同一函数的是 A. f ( x) ? x 与 g ( x) ? ( x )2 C. f ( x) ? ln e 与 g ( x) ? e
x ln x

B. f ( x) ?| x | 与 g ( x) ? 3 x3

x2 ?1 D. f ( x) ? 与 g ( x) ? x ? 1( x ? 1) x ?1

4.下列函数中,在区间 (0, ??) 为增函数的是 A. y ? ( x ? 1)
2

B. y ?

x ?1

C. y ? 2

?x

D. y ? log0.5 ( x ? 1) 5.如图给出四个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应是

A. ① y ? x

1 3

② y?x

2

③ y?x

1 2

④ y?x

?1

B. ① y ? x

1 3

② y?x

1 2

③ y?x

2



y ? x ?1
C. ① y ? x
2

② y?x

3

③ y ? x2

1

④ y?x

?1

D. ① y ? x

3

② y?x

2

③ y ? x2

1



y ? x ?1
6.若非空数集 A ? ?x | 2a ?1 ? x ? 3a ? 5? ,B ? ?x | 3 ? x ? 22? , 则能使 A ? B 成立的所有 a 的 集合是

-1-

A. ?a |1 ? a ? 9?

B. ?a | 6 ? a ? 9?

C. ?a | a ? 9?

D. ?

7.定义域为 R 的函数 y ? f ( x) 的值域为 ? a, b? ,则函数 y ? f ( x ? a) 的值域为 A. ? a, b? B. ? 2a, a ? b? C. ?0, b ? a? D. ? ?a, a ? b?

8.我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求。音量大小的单位是 分贝

I (其中 I 0 I0 是人耳能听到的声音的最低声波强度),设?1 ? 70dB 的声音强度为 I1 ,?2 ? 60dB 的声音强 度为 I 2 ,则 I1 是 I 2 的
(dB) ,对于一个强度为 I 的声波, 其音量的大小? 可由如下公式计算: ? ? 10 ? lg
A.

7 倍 6

7

B. 10 倍

C. 106 倍

D. ln

7 倍 6

9.定义两种运算: a ? b ? a2 ? b2 , a ? b ? 式为 A. f ( x) ? C. f ( x) ? ? 10. 已 知

(a ? b) 2 ,则函数 f ( x) ?

2? x 的解析 ( x ? 2) ? 2

x2 ? 4 , x ? ? ??, ?2? ? ? 2, ?? ? x x2 ? 4 , x ? ? ??, ?2? ? ? 2, ?? ? x
定 义 在

B. f ( x) ? D. f ( x) ? ? 数

4 ? x2 , x ? ??2,0 ? ? ?0, 2 ? x 4 ? x2 , x ? ??2,0 ? ? ?0, 2 ? x
x?m

R







f ? x? ? 2

?1 为 偶 函 数 ,

a ? f (log0.5 3), b ? f ?log2 5? , c ? f ?2m? ,则 a, b, c 的大小关系为
A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? a ? b D. c ? b ? a 11.如图,面积为 8 的平行四边形 OABC ,对角线 AC ? CO , AC 与 BO 交 于点 E ,某指数函数 y ? a x ? a ? 0, 且a ? 1? ,经过点 E , B ,则 a ? A. 2 C. 2 B. 3 D. 3

12.由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪, 直到 1872 年, 德国数学家戴德金提出了 “戴 德金分割” ,才结束了持续 2000 多年的数学史上的第一次大危机。所谓戴德金分割,是指 将有理数集 Q 划分为两个非空的子集 M 与 N , 且满足 M ? N ? Q ,M ? N ? ? ,M 中 的每一个元素都小于 N 中的每一个元素,则称 ? M , N ? 为戴德金分割。试判断,对于任一 戴德金分割 ? M , N ? ,下列选项中不可能成立的是 A. M 没有最大元素, N 有一个最小元素 C. M 有一个最大元素, N 有一个最小元素 B. M 没有最大元素, N 也没有最小元素 D. M 有一个最大元素, N 没有最小元素
-2-

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置 上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 13.设 x, y , z 都是非零实数, 给出集合 M ? ?m | m ?

? ? ? ?

? x y xy ? ? ? , x, y ? R ? ,则用列举法表 x y xy ? ?

示这个集合是__________________________. 14.函数 f ( x) ?

? x 2 ? 4 x ? 5 的单调递减区间为
2? m 2

. .

15.已知函数 f ( x) ? x

是定义在 [?3 ? m, m ? m] 上的奇函数,则 f (m) ?

16.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是 ?1?C ,空气的温度是 ?0?C , t min 后
?0.24t 物体的温度 ? C 可由公式 ? ? ?0 ? ??1 ??0 ? e 求得.把温度是 100 C 的物体,放在
? ?

10? C 的空气中冷却 t min 后,物体的温度是 40? C ,那么 t 的值约等于
三位有效数字,参考数据: ln 3 取 1.099 , ln 2 取 0.693 )

。(保留

三、解答题:本大题共 6 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本题满分 10 分) (1)计算: 2
1 2

1 log 2 4

? 8 ? ?? ? ? 27 ?
1 2

?

2 3

? lg

1 ? ( 2 ? 1)lg1 100

(2)已知 x ? x

?

? 3 ,求

x 2 ? x ?2 ? 2 的值. x ? x ?1 ? 3

18 . (本题满分 10 分)设集合 A ? ? x x是小于6的正整数? , B ? x ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,

?

?

C ? ? x (m ? 1) x ? 1 ? 0? ;
(1)求 A ? B , A ? B ; (2)若 B ? C ? C ,求由实数 m 为元素所构成的集合 M .

19. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? loga x?a ? 0且a ? 1? ,函数 g ( x) ? ? x ? bx ? c ,且
2

-3-

f (4) ? f (2) ? 1 , g ( x) 的图像过点 A(4, ?5) 及 B(?2, ? 5) . (1)求 f ( x) 和 g ( x) 的表达式; (2)求函数 f ?g ?x ?? 的定义域和值域.

20. (本题满分 12 分)已知幂函数 f ( x) ? (m ? 1) x
2
x

m2 ? 4 m ? 2

在 (0, ??) 上单调递增,函数

g ( x) ? 2 ? k . (1)求 m 的值; (2)当 x ? [1, 2] 时,记 f ( x) 、 g ( x) 的值域分别为集合 A 、 B ,若 A ? B ? A ,求实数 k
的取值范围.

2 21. (本题满分 12 分)已知集合 A ? x x | ( x ? a) ? ? x ? (a ? 1) ? ? ? 0 ,B ? ? x y ? 2 x ? x ? ?
2

?

?

?

1

5 ? ,0 ? x ? 3? . 2 ? (1)若 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围; 2 (2)当 a 取使得不等式 x ? 1 ? ax 恒成立的 a 的最小值时,求 (CR A) ? B .

22. (本题满分 14 分) 已知定义在区间 ? 0, ?? ? 上的函数 f ? x ? ? t ( x ? ) ? 5 , 其中常数 t ? 0 . (1)若函数 f ? x ? 分别在区间 (0, 2),(2, ??) 上单调,试求 t 的取值范围; (2)当 t ? 1 时,方程 f ? x ? ? m 有四个不相等的实根 x1 , x2 , x3 , x4 . ②是否存在实数 a , b ,使得函数 f ? x ? 在区间 ? a, b? 单调,且 f ? x ? 的取值范围为 ①证明: x1 x2 x3 x4 ? 16 ;

4 x

?ma, mb? ,若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

-4-

宜昌一中 2015---2016 学年度高一年级上学期期中考试 数学试题参考答案 一、选择题 题号 1 答案 A 二、填空题 2 C 3 D 4 B 5 D 6 B 7 A 8 B 9 D 10 C 11 A 12 C

13. ??3, ?1,3? 三、解答题 17.(1)原式 ?

14. ? 2,5?

15. ?1

16. 4.58

1 2 ?2 1 9 ? ( ) ? 2 ? 1 ? ? ? 1 ? ?3 4 3 4 4
1 ? 1

5分

(2) x ? x ?1 ? ( x 2 ? x 2 )2 ? 2 ? 32 ? 2 ? 7 则原式 ?

( x ? x ?1 ) 2 ? 4 7 2 ? 4 ? ? 15 x ? x ?1 ? 3 7?4

10 分

18.(1) A ? ? x x是小于6的正整数? ? ?1, 2,3, 4,5? , B ? ?1,2?

A ? B ? ?1,2? , A ? B ? ?1, 2,3, 4,5? (2)? B ? C ? C ,? C ? B
当 C ? ? 时,此时 m ? 1 ,符合题意

5分 7分

1 ? ? m ? 1? 3 1 ? C ? B ,? ? 1或2 ;解得: m ? 2或 2 m ?1 3? ? 综上所述:实数 m 为元素所构成的集合 M ? ?1, 2, ? 2? ?
当 C ? ? 时, m ? 1 ,此时 C ? ? x x ? 19.(1)由 f (4) ? f (2) ? 1 得 loga 4 ? log a 2 ? 1

? ?

10 分

(2) f ? ? g ? x ?? ? ? log 2 (? x ? 2 x ? 3)
2

4 ? log a 2 ? 1 ∴ a ? 2 2 ? ?42 ? 4b ? c ? ?5 ?b ? 2 又由题意得 ? 解得 ? 2 ?c ? 3 ??(?2) ? 2b ? c ? ?5 ∴ f ?x? ? log2 x g ?x ? ? ? x 2 ? 2 x ? 3
即 log a
2 由 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 得 ?1 ? x ? 3

2分 4分 6分

8分 9分

∴f ? ? g ? x ?? ? 的定义域为 (?1,3) ∵ x ? (?1,3)

2 2 又f ? ? g ? x ?? ? ? log 2 (? x ? 2 x ? 3) ? log 2 ? ? ?( x ? 1) ? 4 ? ?

∴f ? ? g ? x ?? ? ? log 2 4 ? 2

11 分 12 分 2分
-5-

∴f ? ? g ? x ?? ? 的值域为 ? ??, 2?
2 20.(1)∵ f ( x ) 为幂函数 ∴ (m ?1) ? 1 ? m ? 0 或 2

当 m ? 0 时, f ( x) ? x2 在 (0, ??) 上单调递增,满足题意
?2

3分

当 m ? 2 时, f ( x) ? x 在 (0, ??) 上单调递减,不满足题意,舍去 4 分 ∴m ? 0 5分 (2)由(1)知, f ( x) ? x2 ∵ A? B ? A ∴? ∵ f ( x ) 、 g ( x) 在 ?1, 2? 上单调递增 ∴ A ? ?1, 4? B ? ?2 ? k ,4 ? k ? 8 分 ∴B ? A 10 分

故实数 k 的取值范围为 A ? ?0,1? 21. A ? {x | x ? a2 ? 1 或 x ? a} 分

?2 ? k ?1 ? 0 ? k ?1 ?4 ? k ? 4

12 分 2

1 2 5 1 x ? x ? ? ( x ? 1) 2 ? 2 2 2 2 0 ? x ? 3 ∵ ∴2? y ? 4 ∴ B ? ? y | 2 ? y ? 4?
又y? 分 (1)∵ A ? B ? ? 分 (2)由 x ? 1 ? ax 得 x ? ax ? 1 ? 0
2 2

4

∴?

? a2 ? 1 ? 4 ?a ? 2

∴ 3 ? a ? 2或 a ? ? 3

6

依题意 ? ? a ? 4 ? 0
2

则 ?2 ? a ? 2

∴ a 的最小值为 ?2

8 10 11 12

分 当 a ? ?2 时, A ? {x | x ? 5 或 x ? ?2} 分 分 分 22.(1)设 h( x) ? t ( x ? ) ∵t ? 0 ∴函数 h ? x ? 分别在区间 (0, 2),(2, ??) 上单调 且 h( x) ? 4t ∴ CR A ? ?x | ?2 ? x ? 5? ∴ (CR A) ? B ? ?x | 2 ? x ? 4?

4 x

要使函数 f ? x ? 分别在区间 (0, 2),(2, ??) 上单调 则只需 4t ? 5 ? 0 ? t ?

5 4 4 x

4分

(2)①当 t ? 1 时, ( x ? ) ? 5 ? m ? ( x ? ) ? 5 ? m 或 ( x ? ) ? 5 ? ? m

4 4 x x 2 2 即 x ? (m ? 5) x ? 4 ? 0 或 x ? (m ? 5) x ? 4 ? 0
∴由根与系数的关系得 x1 x2 x3 x4 ? 4 ? 4 ? 16

∵ x1 , x2 , x3 , x4 为方程 f ? x ? ? m 的四个不相等的实根 8分 ②如图,可知 0 ? m ? 1 , f ( x ) 在 (0,1) 、 (1, 2) 、 (2, 4) 、 (4, ??)

-6-

(i)当 ?a, b? ? ?0,1? 时, f ( x ) 在 ? a, b? 上单调递减 则?

均为单调函数

(ii)当 ?a, b? ? ?1,2? 时, f ( x ) 在 ? a, b? 上单调递增

∵ a, b ? ? 0,1?

? f (a) ? mb 两式相除整理得 (a ? b)(a ? b ? 5) ? 0 ? f (b) ? ma
∴上式不成立 即 a , b 无解, m 无取值 10 分

? f (a) ? ma 4 5 即 m ? ? 2 ? ? 1 在 a ? ?1, 2? 有两个不等实根 a a ? f (b) ? mb 4 5 5 2 9 1 ?1 ? 而令 ? t ? ? ,1? 则 ? 2 ? ? 1 ? ? (t ) ? ?4(t ? ) ? a a 8 16 a ?2 ? 1 9 ?1 ? 作 ? (t ) 在 ? ,1? 的图像可知, ? m ? 2 16 ?2 ? (iii)当 ?a, b? ? ? 2,4? 时, f ( x ) 在 ? a, b? 上单调递减
则?

12 分

? f (a) ? mb 两式相除整理得 (a ? b)(a ? b ? 5) ? 0 ? f (b) ? ma 5 ∴ a ? b ? 5 ∴b ? 5? a ? a ∴2 ? a ? 2 4 5?a ? 4 4 4 a ? 1? 由 ? a ? ? 5 ? mb 得 m ? ? 1? 5 25 a 5?a a(a ? 5) (a ? ) 2 ? 2 4 4 5?a ? a 应有两个不同的解 则 m 关于 a 的函数是单调的,而 m ? 5?a
则? (iiii)当 ? a, b? ? ?4, ??? 时,同(i)可以解得 m 无取值 综上, m 的取值范围为 ? , ∴此种情况无解 13 分

?1 9 ? ? ? 2 16 ?

14 分

-7-


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