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【2019年整理】人大微积分课件10-6高斯公式、通量与散度_图文



----



, P( x, y, z)Q( x, y, z)R( x, y, z)
,

P Q R



(

x



y



z

)dv






Pdydz



Qdzdx



Rdxdy






(P x



Q y



R )dv z

(P cos Q cos Rcos )dS




cos ,cos ,cos ( x, y, z)

.

z

xoy

Dxy .

1 ,2 3 ,

2 3

1 : z z1( x, y)

1

2 : z z2( x, y)

o

Dxy

y

3

x



R dy { z2( x,y) R dz}dxdy

z

z Dxy z1 ( x, y )

{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy.
Dxy


(1, 2 , 3 )

R( x, y, z)dxdy R[x, y, z1( x, y)]dxdy,

1

Dxy

R( x, y, z)dxdy R[x, y, z2( x, y)]dxdy,

2

Dxy

R( x, y, z)dxdy 0.
3
R( x, y, z)dxdy


{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy,

Dxy






R z

dv






R(

x,

y

,

z

)dxdy.






P x

dv






P

(

x,

y,

z

)dydz

,




Q y

dv




Q(

x,

y,

z)dzdx,






(P x



Q y



R z

)dv






Pdydz



Qdzdx



Rdxdy

------------------






(P x



Q y



R)dv z

(P cos Q cos Rcos )dS.

Gauss

.


1
( x y)dxdy ( y z)xdydz

x2 y2 1 z 0, z 3 .
P ( y z)x, Q 0, x R x y,

1
3

z

o1

y

P y z, Q 0, R 0,

x

y

z

z

( y z)dxdydz

()

(r sin z)rdrddz



x

9 . 2

1
3

o1

y

Guass: 1.P,Q, R; 2.;
3. .

2

( x2 cos y2 cos z2 cos )ds,



z

x2 y2 z2

z 0z h(h 0)
h
,

cos ,cos ,cos

( x, y, z)

o

y

.

x

xoy Dxy
z
,

1 : z h ( x2 y2 h2 ) 1 h

1 1 1 . ,



o Dxy

y

x

( x2 cos y2 cos z2 cos )dS

1

h

2 ( x y z)dv

2 dxdy

(x
x2 y2

y z)dz,



Dxy

Dxy {( x, y) | x2 y2 h2 }.



h
dxdy

( x y)dz 0,

x2 y2

Dxy

( x2 cos y2 cos z2 cos )dS

1

(h2 x2 y2 )dxdy 1 h4 .

Dxy

2

( x2 cos y2 cos z2 cos )dS z2dS

1

1

h2dxdy h4 .

Dxy



( x2 cos y2 cos z2 cos )dS




1 h4 h4 2

1 h4 . 2

----

1. :









A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k









A



dS





A



n 0 dS





Pdydz Qdzdx Rdxdy





A( x, y, z) .

2. :

A( x, y, z),M

, V ,V .

V M ,


A dS

lim

,

VM V





AM , divA .






(

P x



Q y



R)dv z






vndS

1 V




(P x



Q y



R)dv z



1 V




vndS

,

(P
x



Q y



R) z

( , ,

)



1 V



vndS

,

P Q R lim 1
x y z M V



vndS

divA



P



Q



R

x y z


divAdv AndS









AnA.

( An



A

n0



P

cos



Q cos





R cos

)


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