我爱你中 国亲爱 的祖国
2017———2018 学年度第二学期期末考试
高二学年理科数学试题
分值:150 分 时间:120 分钟 一、选择题:本题共 12 个小题, 每小题 5 分.共 60 分.在每小题给 出的四个选项中只有一
项是符合题目要求的。
? ? 1.设集合 M={ x | x2 ? x ? 6 ? 0 },N= x1? x ? 3 ,则 M∩N= ( )
A.[1,2)
B.[1,2]
C.(2,3]
D.[2,3]
2.设集合 M={1,2},N={ a 2 },则“ a =1”是“N? M”的
()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
3.命题“存在实数 x ,使 x ?1 ”的否定是
()
A.对任意实数 x ,都有 x ?1
B.不存在实数 x ,使 x ?1
C.对任意实数 x ,都有 x ?1
D.存在实数 x ,使 x ?1
?x ? y ?1
4.已知变量
x
、
y
满足约束条件
? ?
x
?
y
?
1
,则
z
?
x
?
2
y
的最小值为(
)
??x ?1 ? 0
A.3
B.1 C. ?5
D. ?6
5.如果 a ? b ? 0,那么下列不等式成立的是
()
A. 1 ? 1 B. ab ? b2 C. ?ab ? ?a2 D. ? 1 ? ? 1
ab
ab
6.5 个人排成一排,若 A、B、C 三人左右顺序一定(不一定相邻),那么
不同排法有
()
A. A55
B. A33 ? A33
C. A55 A33
D. A33
7.在( x ? 1 )8 的展开式中常数项是 ( ) 2 3x
A.-28 B.-7 C.7 D.28
8.阅读程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( )
A. 8 5
B.1131
C.2113
D.
13 8
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9.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 2 ? 1 ? 1,若 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值 xy
范围是
()
A. ??1,1?
B.?? 4,2?
C. ?0,2?
D. ?0,1?
10.设函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a,b, c ? R) .若 x ? ?1 为函数 f (x)ex 的一个极值点,则下
列图象不可能为 y ? f (x) 的图象是
()
11.若 P= a ? a ? 7 ,Q= a ? 3 ? a ? 4 ( a ? 0 ),则 P、Q 的大小关系是( )
A.P>Q
B.P<Q C.P=Q
D.由 a 的取值确定
12.设方程 log 4
x
? ?? ?
1 ?x ?
4?
?
0 、 log 1
4
x ? ?? ?
1 ?x ?
4?
?
0 的根分别为
x1、x2 ,则
()
A. 0 ? x1x2 ? 1
B. x1x2 ? 1
C.1 ? x1x2 ? 2
D. x1x2 ? 2
二、填空题:本大概题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
13. 已知复数 z 满足(1-i)z=2,则 z 等于
;
14.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集):
①“若 a,b ? R ,则 a ?b ? 0 ? a ? b ”类比推出“若 a,b ?C ,则“ a ?b ? 0 ? a ? b ”;
②“若 a,b, c, d ? R ,则复数 a ? bi ? c ? di ? a ? c,b ? d ”类比推出“若 a,b, c, d ?Q,
则 a ? b 2 ? c ? d 2 ? a ? c,b ? d ”;
③“若 a,b ? R ,则 a ?b ? 0 ? a ? b ”类比推出“若 a,b ?C ,则 a ?b ? 0 ? a ? b ”.
其中类比结论正确的序号为是
;
15.用数学归纳法证明1
?
1 2
?
1 3
?
......?
1 2n ?1
?
n
”时,由
n=k(k>1)不等式成立,推证
n=k+1
时,左边应增加的项数是
项;
16.已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x ? 4) ? ? f (x) ,且在区间[0,2]上是增函数.若
方 程 f (x) ? m 在 区 间 [ - 8 , 8] 上 有 四 个 不 同 的 根 x1, x2 , x3, x4 , 则
x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ________.
三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
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17.(本题满分 10 分)已知不等式 2 ? 1 的解集为 A, x ?1
不等式 x2 ? (2 ? a)x ? 2a ? 0, (a ? 2) 的解集为 B. (1)求集合 A 及 B; (2)若 A? B,求实数 a 的取值范围.
18.(本题满分 12 分)已知函数 f (x) ? x2 ? ax ? 4 (x ? 0) . x
(1)若 f (x) 为奇函数,求 a 的值; (2)若 f (x) 在[2,+∞)上恒大于 0,求 a 的取值范围 19.(本题满分 12 分)已知 x 、 y 、 z 均为正数.求证: x ? y ? z ? 1 ? 1 ? 1 ;
yz zx xy x y z
20. (本题满分 12 分)已知函数 f(x)=a2x+2ax-1(a>0,且 a≠1)在区间[-1,1]上的最 大
值为 14,求实数 a 的值.
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21.( 本题满分 12 分)某校从参加考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数) 分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后得到如下部分频率分布直方图如图. 观察图形的 信息,回答下列问题: (1)求分数在[70,80)内的频率; (2)估计本次考试的中位数;(精确到 0.1) (3)用分层抽样(按[60,70)、[70,80)分数段人 数比 例)的方法在分数段为[60,80)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看成一个总体,从中任取 2 人,求 恰有 1 人在分数段[70,80)的概率.
22.(本题满分 12 分)已知函数 f (x) ? a ln x ? bx2 图象上点 P(1, f (1)) 处的切线方程为 2x ? y ?3 ? 0. (Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的解析式; (Ⅱ)函数 g(x) ? f (x) ? m ? ln 4 ,若方程 g(x) ? 0 在[ 1 ,2]上恰有两解,求实数 m 的取 e
值范围
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2017——2018 学年度第二学期期末考试数学答案 (理科) 一、 选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 答案 A A C C D C C D B D B A
二、填空题 13、__________1+i__________
14、_____①②_________
15、_________ 2k __________
16、________8_或-8_____
? ? 17.解:(1)由已知得: x ?1 ? 0 ; A ? x ?1? x ?1 .………3 分 x ?1 ? ? (x ? a)(x ? 2) ? 0 ; B ? x a ? x ? 2 .………6 分
(2) ? A ? B ?a ? ?1.… ……10 分
18. 解(1)? f (x) 为奇函数;
? f (?x) ? ? f (x)(x ? 0)恒成立,即 x2 ? ax ? 4 ? ? x2 ? ax ? 4 恒成立……3 分
?x
x
得 a ?0;
(2)
f
' ( x)
?
(x
?
2)(x x2
?
2)
? x ??2,??? ? f '(x) ? 0
…………………6 分 ………………7 分
………………8 分
? f (x) 在[2,+∞)单调递增; ………………9 分
? f (x)min ? f (2) ? a ? 4 ; ………………10 分 由 f (x) 在[2,+∞)上恒大于 0
? f (x)min ? 0 成立,即 a ? 4 ? 0
?a ? ?4;
………………12 分
19 证明:因为 x , y , z 全为正数.所以 x ? y ? 2 ,…………………3 分 yz zx z
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同理可得: y ? z ? 2 , ………6 分 zx xy x
x ? z ? 2 ………9 分 yz xy y
当且仅当 x = y = z 时,以上三式等号都成立.
将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得 x ? y ? z ? 1 ? 1 ? 1 ……12 分 yz zx xy x y z
20.解:f(x)=a2x+2ax-1=(ax+1)2-2,∵x∈[-1,1],
(1)当 0<a<1 时,a≤ax≤1a,∴当 ax=1a时,f(x)取得最大值.
∴(1a+1)2-2=14,∴1a=3,∴a=13. …………6 分
(2)当 a>1 时,1a≤ax≤a,∴当 ax=a 时,f(x )取得最大值.
∴(a+1)2-2=14,∴a=3.
综上可知,实数
a
1 的值为3或
3.…………12
分
21、解:(1)分数在[70,80)内的频率为: 1-(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1-0.7=0.3………3 分
(2)中位数 73 1 ? 73.3 …………6 分 3
(3)由题意,[60,70)分数段的人数为:0.15×60=9(人);[70,80)分数段的人数为:0.3×60 =18(人). ∴需在[60,70)分数段内抽取 2 人,在[70,80)分数段内抽取 4 人,……… 8 分 设“从样本中任取 2 人,恰有 1 人在分数段[70,80)内”为事件 A,.
∴P(A)= C41C21 ? C62
8 15………12 分
22.解:(Ⅰ)当 x=1 时,f(1)=2×1-3=-1.
f ′( x)= a ? 2bx , x
∴
? ? ?
f f
?(1) ? a ? 2b (1) ? b ? ?1
?
2
…………1 分 ………2 分
……………3 分
解得 a=4,b=- 1
……………………4 分
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∴y=f(x)=4ln x-x2.
………………5 分
(Ⅱ):g(x)=f(x)+m-ln4=4ln x-x2+m-ln4.
………6 分
令 g(x)= 0 得 m= x2 ? 4ln x ? ln 4 ,则此方程在[ 1 , 2 ]上恰有两解. e
记? (x )= x2 ? 4ln x ? ln 4
令? ′( x)=2x- 4 ? 2x2 ? 4 ? 2( x ? 2)( x ? 2) ? 0 ,得 x= 2 ∈[ 1 , 2 ] …………7
xx
x
e
分
x∈( 1 , 2 ),? ′( x)<0,? (x)单调递减; e
x∈( 2 ,2), ? ′(x)>0,? (x)单调递增.
……………9 分
??( 2) ? 2 ? 4 ln 2 ? 2 ln 2 ? 2
?
又
??? ?
(1 e
)
?
4
?
1 e2
?
2 ln 2
……………11 分
???(2) ? 4 ? 4 ln 2 ? 2 ln 2 ? 4 ? 2 ln 2
∵? (x)的图像如图所示(或∵? ( 1 ) >?(2)) e
∴2<m≤4-2ln2.
………………………………12 分
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