我爱你中 国亲爱 的祖国
2017———2018 学年度第二学期期末考试
高二学年理科数学试题
分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本题共 12 个小题， 每小题 5 分．共 60 分．在每小题给 出的四个选项中只有一
项是符合题目要求的。
? ? 1.设集合 M＝{ x | x2 ? x ? 6 ? 0 }，N＝ x1? x ? 3 ，则 M∩N＝ ( )
A．[1,2)
B．[1,2]
C．(2,3]
D．[2,3]
2．设集合 M＝{1,2}，N＝{ a 2 }，则“ a ＝1”是“N? M”的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
3.命题“存在实数 x ，使 x ?1 ”的否定是
()
A．对任意实数 x ，都有 x ?1
B．不存在实数 x ，使 x ?1
C．对任意实数 x ，都有 x ?1
D．存在实数 x ，使 x ?1
?x ? y ?1
4．已知变量
x
、
y
满足约束条件
? ?
x
?
y
?
1
,则
z
?
x
?
2
y
的最小值为（
）
??x ?1 ? 0
A．3
B．1 C． ?5
D． ?6
5．如果 a ? b ? 0,那么下列不等式成立的是
（）
A． 1 ? 1 B． ab ? b2 C． ?ab ? ?a2 D． ? 1 ? ? 1
ab
ab
6．5 个人排成一排，若 A、B、C 三人左右顺序一定（不一定相邻），那么
不同排法有
（）
A． A55
B． A33 ? A33
C． A55 A33
D． A33
7．在（ x ? 1 ）8 的展开式中常数项是 （ ） 2 3x
A．－28 B．－7 C．7 D．28
8.阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( )
A. 8 5
B.1131
C.2113
D.
13 8
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9.已知 x ? 0, y ? 0 ，且 2 ? 1 ? 1，若 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立，则实数 m 的取值 xy
范围是
（）
A. ??1,1?
B.?? 4,2?
C. ?0,2?
D. ?0,1?
10．设函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a,b, c ? R) ．若 x ? ?1 为函数 f (x)ex 的一个极值点，则下
列图象不可能为 y ? f (x) 的图象是
()
11．若 P＝ a ? a ? 7 ，Q＝ a ? 3 ? a ? 4 ( a ? 0 )，则 P、Q 的大小关系是( )
A．P＞Q
B．P＜Q C．P＝Q
D．由 a 的取值确定
12.设方程 log 4
x
? ?? ?
1 ?x ?
4?
?
0 、 log 1
4
x ? ?? ?
1 ?x ?
4?
?
0 的根分别为
x1、x2 ，则
（）
A. 0 ? x1x2 ? 1
B. x1x2 ? 1
C.1 ? x1x2 ? 2
D. x1x2 ? 2
二、填空题：本大概题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13. 已知复数 z 满足（1-i）z=2，则 z 等于
；
14.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：
①“若 a,b ? R ，则 a ?b ? 0 ? a ? b ”类比推出“若 a,b ?C ，则“ a ?b ? 0 ? a ? b ”；
②“若 a,b, c, d ? R ，则复数 a ? bi ? c ? di ? a ? c,b ? d ”类比推出“若 a,b, c, d ?Q，
则 a ? b 2 ? c ? d 2 ? a ? c,b ? d ”；
③“若 a,b ? R ，则 a ?b ? 0 ? a ? b ”类比推出“若 a,b ?C ，则 a ?b ? 0 ? a ? b ”．
其中类比结论正确的序号为是
；
15.用数学归纳法证明1
?
1 2
?
1 3
?
......?
1 2n ?1
?
n
”时，由
n=k（k＞1）不等式成立，推证
n=k+1
时，左边应增加的项数是
项；
16．已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x ? 4) ? ? f (x) ，且在区间[0，2]上是增函数．若
方 程 f (x) ? m 在 区 间 [ － 8 ， 8] 上 有 四 个 不 同 的 根 x1, x2 , x3, x4 ， 则
x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ________．
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
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17．(本题满分 10 分)已知不等式 2 ? 1 的解集为 A， x ?1
不等式 x2 ? (2 ? a)x ? 2a ? 0, (a ? 2) 的解集为 B. (1)求集合 A 及 B； (2)若 A? B，求实数 a 的取值范围．
18.(本题满分 12 分)已知函数 f (x) ? x2 ? ax ? 4 (x ? 0) ． x
(1)若 f (x) 为奇函数，求 a 的值； (2)若 f (x) 在[2，＋∞)上恒大于 0，求 a 的取值范围 19．(本题满分 12 分)已知 x 、 y 、 z 均为正数．求证： x ? y ? z ? 1 ? 1 ? 1 ；
yz zx xy x y z
20. (本题满分 12 分)已知函数 f(x)＝a2x＋2ax－1(a>0，且 a≠1)在区间[－1，1]上的最 大
值为 14，求实数 a 的值．
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21.( 本题满分 12 分)某校从参加考试的学生中随机抽取 60 名学生，将其数学成绩(均为整数) 分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分频率分布直方图如图. 观察图形的 信息，回答下列问题： （1）求分数在[70,80)内的频率； （2）估计本次考试的中位数；（精确到 0.1） （3）用分层抽样（按[60,70)、[70,80)分数段人 数比 例）的方法在分数段为[60,80)的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取 2 人，求 恰有 1 人在分数段[70,80)的概率．
22.(本题满分 12 分)已知函数 f (x) ? a ln x ? bx2 图象上点 P(1, f (1)) 处的切线方程为 2x ? y ?3 ? 0. (Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的解析式； (Ⅱ)函数 g(x) ? f (x) ? m ? ln 4 ,若方程 g(x) ? 0 在[ 1 ,2]上恰有两解，求实数 m 的取 e
值范围
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2017——2018 学年度第二学期期末考试数学答案 （理科） 一、 选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 答案 A A C C D C C D B D B A
二、填空题 13、__________1+i__________
14、_____①②_________
15、_________ 2k __________
16、________8_或-8_____
? ? 17.解：（1）由已知得： x ?1 ? 0 ； A ? x ?1? x ?1 .………3 分 x ?1 ? ? (x ? a)(x ? 2) ? 0 ； B ? x a ? x ? 2 .………6 分
(2) ? A ? B ?a ? ?1.… ……10 分
18. 解（1）? f (x) 为奇函数；
? f (?x) ? ? f (x)（x ? 0）恒成立，即 x2 ? ax ? 4 ? ? x2 ? ax ? 4 恒成立……3 分
?x
x
得 a ?0；
（2）
f
' ( x)
?
(x
?
2)(x x2
?
2)
? x ??2,??? ? f '(x) ? 0
…………………6 分 ………………7 分
………………8 分
? f (x) 在[2，＋∞)单调递增； ………………9 分
? f (x)min ? f (2) ? a ? 4 ； ………………10 分 由 f (x) 在[2，＋∞)上恒大于 0
? f (x)min ? 0 成立，即 a ? 4 ? 0
?a ? ?4；
………………12 分
19 证明：因为 x ， y ， z 全为正数．所以 x ? y ? 2 ，…………………3 分 yz zx z
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同理可得： y ? z ? 2 , ………6 分 zx xy x
x ? z ? 2 ………9 分 yz xy y
当且仅当 x = y = z 时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2，得 x ? y ? z ? 1 ? 1 ? 1 ……12 分 yz zx xy x y z
20.解：f(x)＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，∵x∈[－1，1]，
(1)当 0<a<1 时，a≤ax≤1a，∴当 ax＝1a时，f(x)取得最大值．
∴(1a＋1)2－2＝14，∴1a＝3，∴a＝13． …………6 分
(2)当 a>1 时，1a≤ax≤a，∴当 ax＝a 时，f(x )取得最大值．
∴(a＋1)2－2＝14，∴a＝3．
综上可知，实数
a
1 的值为3或
3．…………12
分
21、解：(1)分数在[70,80)内的频率为： 1－(0.010＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)×10＝1－0.7＝0.3………3 分
(2)中位数 73 1 ? 73.3 …………6 分 3
(3)由题意，[60,70)分数段的人数为：0.15×60＝9(人)；[70,80)分数段的人数为：0.3×60 ＝18(人)． ∴需在[60,70)分数段内抽取 2 人，在[70,80)分数段内抽取 4 人，……… 8 分 设“从样本中任取 2 人，恰有 1 人在分数段[70,80)内”为事件 A，．
∴P(A)＝ C41C21 ? C62
8 15………12 分
22.解：(Ⅰ)当 x=1 时，f(1)=2×1-3=-1.
f ′( x)= a ? 2bx ， x
∴
? ? ?
f f
?(1) ? a ? 2b (1) ? b ? ?1
?
2
…………1 分 ………2 分
……………3 分
解得 a=4,b=- 1
……………………4 分
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∴y=f(x)=4ln x-x2.
………………5 分
(Ⅱ)：g(x)=f(x)+m-ln4=4ln x-x2+m-ln4.
………6 分
令 g(x)= 0 得 m= x2 ? 4ln x ? ln 4 ，则此方程在[ 1 , 2 ]上恰有两解. e
记? (x )= x2 ? 4ln x ? ln 4
令? ′( x)=2x- 4 ? 2x2 ? 4 ? 2( x ? 2)( x ? 2) ? 0 ，得 x= 2 ∈[ 1 , 2 ] …………7
xx
x
e
分
x∈( 1 , 2 ),? ′( x)＜0，? (x)单调递减； e
x∈( 2 ，2), ? ′(x)＞0，? (x)单调递增.
……………9 分
??( 2) ? 2 ? 4 ln 2 ? 2 ln 2 ? 2
?
又
??? ?
(1 e
)
?
4
?
1 e2
?
2 ln 2
……………11 分
???(2) ? 4 ? 4 ln 2 ? 2 ln 2 ? 4 ? 2 ln 2
∵? (x)的图像如图所示（或∵? ( 1 ) >?（2）） e
∴2＜m≤4-2ln2.
………………………………12 分
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