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2019-2020年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 1.3空间向量基本定理 苏教版选修2-1


2019-2020 年高中数学 第 3 章 空间向量与立体几何 1.3 空间向量基
本定理 苏教版选修 2-1
课时目标 1.掌握空间向量基本定理.2.能正确选择合适基底,并正确表示空间向量.
1.空间向量基本定理 如果三个向量 e1,e2,e3 不共面,那么对空间任一向量 p,存在惟一的有序实数组(x,y, z),使得______________________. 由此可知,如果三个向量 e1,e2,e3 不共面,那么空间的每一个向量组成的集合就是 ________________________________.这个集合可看作是由向量 e1,e2,e3 生成的,我们 把__________叫做空间的一个基底,____________都叫做基向量.空间任何三个不共面 的向量都可构成空间的一个基底. 2.正交基底与单位正交基底 如果空间一个基底的三个基向量是______________,那么这个基底叫做正交基底,当一 个正交基底的三个基向量都是______________时,称这个基底为单位正交基底,通常用 ____________表示. 3.推论 设 O,A,B,C 是__________的四点,则对空间任意一点 P,都存在惟一的有序实数组(x, y,z),使得______________________.
一、填空题 1.若存在实数 x、y、z,使O→P=xO→A+y→OB+z→OC成立,则下列判断正确的是________.(写 出正确的序号) ①对于某些 x、y、z 的值,向量组{→PA,→PB,→PC}不能作为空间的一个基底; ②对于任意的 x、y、z 的值,向量组{P→A,P→B,P→C}都不能作为空间的一个基底; ③对于任意的 x、y、z 的值,向量组{P→A,P→B,P→C}都能作为空间的一个基底; ④根据已知条件,无法作出相应的判断. 2.设 O-ABC 是四面体,G1 是△ABC 的重心,G 是 OG1 上的一点,且→OG=xO→A+yO→B+z→OC,则 (x,y,z)为____________. 3.在以下 3 个命题中,真命题的个数是________. ①三个非零向量 a,b,c 不能构成空间的一个基底,则 a,b,c 共面; ②若两个非零向量 a,b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则 a,b 共线; ③若 a,b 是两个不共线向量,而 c=λ a+μ b(λ ,μ ∈R 且 λ μ ≠0),则{a,b,c}构 成空间的一个基底. 4.若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间一个基底的是________.(写 出符合要求的序号) ①a,2b,3c; ②a+b,b+c,c+a; ③a+2b,2b+3c,3a-9c; ④a+b+c,b,c. 5.已知点 A 在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中 a=i+j,b=j+k,c=k+i, 则点 A 在基底{i,j,k}下的坐标是______________. 6.下列结论中,正确的是________.(写出所有正确的序号)

①若 a、b、c 共面,则存在实数 x,y,使 a=xb+yc; ②若 a、b、c 不共面,则不存在实数 x,y,使 a=xb+yc; ③若 a、b、c 共面,b、c 不共线,则存在实数 x,y,使 a=xb+yc; ④若 a=xb+yc,则 a、b、c 共面. 7.如图所示,空间四边形 OABC 中,→OA=a,→OB=b,O→C=c,点 M 在 OA 上且 OM=MA,BN =12NC,则→MN=__________________. 8.命题:①若 a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 共线;②向量 a、b、c 共面,则它们 所在的直线也共面;③若 a 与 b 共线,则存在惟一的实数 λ ,使 b=λ a.上述命题中的 真命题的个数是________. 二、解答题 9.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底,那么向量 a+b,b+c,c+a 能构成空间的一 个基底吗?为什么?
10. 如图所示,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为 AC 的中点. (1)化简:A→1O-12A→B-12A→D; (2)设 E 是棱 DD1 上的点且→DE=23D→D1,若→EO=xA→B+yA→D+zA→A1,试求 x、y、z 的值.
能力提升

11. 如图所示,已知平行六面体 ABCD—A′B′C′D′. 求证:A→C+AB→′+A→D′=2A→C′.
12.如图所示,空间四边形 OABC 中,G、H 分别是△ABC、△OBC 的重心,设O→A=a,O→B=b, O→C=c,试用向量 a、b、c 表示向量→GH.

1.空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量,空间的基底可以有无穷多个.一个基 底是不共面的三个向量构成的一个向量组,一个基向量指一个基底的某一个向量. 2.利用向量解决立体几何中的一些问题时,其一般思路是将要解决的问题用向量表示, 用已知向量表示所需向量,对表示出的所需向量进行运算,最后再将运算结果转化为要 解决的问题.
3.1.3 空间向量基本定理 知识梳理 1.p=xe1+ye2+ze3 {p|p=xe1+ye2+ze3,x,y,z∈R} {e1,e2,e3} e1,e2,e3 2.两两互相垂直 单位向量 {i,j,k}
3.不共面 →OP=x→OA+yO→B+zO→C
作业设计 1.①
解析 当→OA,→OB,→OC共面时,则→PA,→PB,→PC共面,故不能构成空间的一个基底.
2.(14,14,14) 解析 因为O→G=34O→G1=34(O→A+A→G1) =34→OA+34×23[12(A→B+A→C)] =34→OA+14[(O→B-O→A)+(→OC-→OA)] =14→OA+14→OB+14O→C,
而O→G=x→OA+y→OB+zO→C,
所以 x=14,y=14,z=14. 3.2 解析 命题①,②是真命题,命题③是假命题. 4.①②④ 解析 ∵-3(a+2b)+3(2b+3c)+(3a-9c)=0, ∴3a-9c=3(a+2b)-3(2b+3c), 即三向量 3a-9c,a+2b,2b+3c 共面. 5.(12,14,10) 解析 设点 A 在基底{a,b,c}下对应的向量为 p, 则 p=8a+6b+4c=8i+8j+6j+6k+4k+4i

=12i+14j+10k,故点 A 在基底{i,j,k}下的坐标为(12,14,10). 6.②③④ 解析 要注意共面向量定理给出的一个充要条件.所以第②个命题正确.但定理的应用 又有一个前提:b、c 是不共线向量,否则即使三个向量 a、b、c 共面,也不一定具有线 性关系,故①不正确,③④正确. 7.-12a+23b+13c
8.0 9.解 假设 a+b,b+c,c+a 共面, 则存在实数 λ 、μ 使得 a+b=λ (b+c)+μ (c+a), ∴a+b=λ b+μ a+(λ +μ )c. ∵{a,b,c}为基底,∴a,b,c 不共面.

??1=μ , ∴?1=λ ,
??0=λ +μ .

此方程组无解.

∴a+b,b+c,c+a 不共面. ∴{a+b,b+c,c+a}可以作为空间的一个基底.

10.解 (1)∵A→B+A→D=A→C,

∴A→1O-12→AB-12A→D=A→1O-12(→AB+→AD)=A→1O-12A→C=A→1O-A→O=A→1A. (2)∵E→O=E→D+D→O=23D→1D+12→DB =23D→1D+12(D→A+A→B) =23A→1A+12D→A+12A→B =12→AB-12→AD-23A→A1, ∴x=12,y=-12,z=-23. 11.证明 因为平行六面体的六个面均为平行四边形,

所以→AC=→AB+→AD,A→B′=A→B+A→A′,

A→D′=A→D+AA→′.

所以→AC+A→B′+AD→′

=(→AB+→AD)+(A→B+AA→′)+(A→D+A→A′)

=2(→AB+→AD+A→A′).

又因为AA→′=C→C′,A→D=B→C,

所以→AB+→AD+A→A′=A→B+B→C+C→C′
=A→C+CC→′=A→C′,
故A→C+AB→′+A→D′=2A→C′. 12.解 →GH=→OH-→OG,∵O→H=23→OD, ∴O→H=23×12(→OB+→OC)=13(b+c), →OG=→OA+→AG=→OA+23A→D =O→A+23(→OD-→OA) =13→OA+23×12(→OB+→OC) =13a+13(b+c), ∴G→H=13(b+c)-13a-13(b+c)=-13a, 即G→H=-13a.


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